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| Autor |
 Finden eines Insulaners mit abweichendem Gewicht |
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JoeM
Aktiv 
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 1020
Wohnort: Oberpfalz
 |  Beitrag No.40, eingetragen 2023-10-01
|
Hallo,
hier das Analogon mit 12 Kugeln:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_K1.jpg
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_K2.jpg
Es sind 3 Wägungen erforderlich. Es genügt, den jeweiligen Ausschlag der Waage zu kennen.
viele Grüße
JoeM
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 Profil
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cramilu
Aktiv 
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.41, eingetragen 2023-10-01
|
@haribo: Sehr ausgefeilt!
@ mathemops, JoeM :
Ja, es gibt viele zielführende Strategien; das mit dem
universellen Wäge- bzw. Wippplan finde ich mittlerweile
am interessantesten. Danke, StrgAltEntf! 😉
@mathemops: \(27=3\cdot9\) , also einfach zu Beginn dritteln,
und dann geht es weiter wie bei \(9\) mit zwei Durchgängen.
@Caban:
Wenn Dir das nicht zu aufdringlich ist, möchte ich hier dazu
aufrufen, einen universellen Wäge-/Wippplan für \(39\) mit
vier Durchgängen zu erarbeiten. Eine tabellarische Liste
mit Ternärzahlen könnte auch da zielführend sein... 🤔
Ich würde die Wippanden, Kugeln oder Münzen eindeutig
benennen unter Verwendung aller \(26\) Großbuchstaben
sowie der aus meiner Sicht \(13\) unterscheidungssichersten
Kleinbuchstaben \(a\,b\,d\,e\,g\,i\,j\,m\,p\,q\,r\,t\,y\) .
Für eine Höchstanzahl von \(n\geq2\) Durchgängen sollte die
Höchstanzahl \(w\) an eindeutig bestimmbaren Individuen
$$
w(n)\quad=\quad\sum\limits_{k=2}^n\;3^{(k-1)}\quad=\quad\sum\limits_{k=0}^{n-2}\;3^{(k+1)}\quad=\quad\frac{3^n\,-\,3}{\phantom{2^h}2\phantom{2^h}}
$$
betragen, soweit ich das durchdacht habe...
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mathemops
Junior 
Dabei seit: 12.07.2023
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.42, eingetragen 2023-10-01
|
@haribo: Der Wägeplan ist wirklich cool !
@cramilu: 27 war simple, ich weiß ;-)
Die Formel für die Höchstanzahl ist auch cool.
Ein Wägeplan für 39 Kugeln wär natürlich toll!
@Caban: Danke für das Rätsel !
Konnte wieder einmal ein angenehmes Bad in nostalgischen Erinnerungen nehmen. :-)
Beste Grüße
mathemops
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4640
| Beitrag No.43, eingetragen 2023-10-01
|
Cramilu, wenn du die geordnete ordnung in @39 , oder aber die ordnung von joe‘s zahlenreihen erkennst kannst du sicherlich deinen 4 stufigen 39er wägplan einfach runterschreiben
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JoeM
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 1020
Wohnort: Oberpfalz
| Beitrag No.44, eingetragen 2023-10-02
|
Hallo,
hier eine Möglichkeit für 39 Kugeln, und 4 Wägungen :
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_K11.jpg
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_K22.jpg
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_K33.jpg
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_K44.jpg
viele Grüße
JoeM
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4640
| Beitrag No.45, eingetragen 2023-10-02
|
versuch des "fixen wägeplans"
superfix ist er aber noch nicht, ich bin mir auch nicht sicher ob das gehen kann, denn man könnte ja auch die reihenfolge 1-3-2-4 wägen und wie soll die die gleiche vertauschung von 1-2-3-4 bekommen können?
diesmal wechselt nie ein insulaner seinen platz innerhalb eines bereiches
aus strategischen gründen wurde auf die teilnehmer 14; 28; verzichtet, dafür 40;41; nominiert
@cramilu, bei 39 teilnehmern erscheinen mir zahlen sehr viel beherrschbarer als grossKLEIN-lettern
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_insulaner39-1.JPG
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3261
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-02
|
Hallo
Danke an alle für eure Beiträge, besonders für die ausführlichen Wipppläne.
Ich versuchen sie zu durchdenken
Gruß Caban
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46932
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.47, eingetragen 2023-10-02
|
\quoteon(2023-09-27 19:08 - cramilu in Beitrag No. 21)
Sogar hier auf dem Matheplaneten war das schon
mehrmals Thema:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=231507&start=0
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=197450&start=0
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=209460&start=0
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=241352&start=1840#p1771745
\quoteoff
und es gibt auch diese Beiträge im Forum: hier und hier und hier und hier.
Gruß Buri
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.45 begonnen.]
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.48, eingetragen 2023-10-03
|
Guten Morgen Buri,
danke, dass Du Dir die Mühe gemacht hast, weitere
Forenlinks zum Thema zusammenzusuchen \(-\) immer-
hin rückblickend bis schon 2004.
Mir war die Thematik bis einschließlich zwölf Stücke
und drei Wägungen seit der elften Klasse bekannt.
Jedoch hatte ich zu dem Gesichtspunkt mit einem
universellen Wägeplan noch nie zuvor konkrete Über-
legungen angestellt, und auch den weiterführenden
Schluss, dass man dann mit drei Wägungen auch un-
ter \(13\) Kugeln die eine finden kann, die undefiniert an-
ders ist, hatte ich daher bislang nie bewusst gezogen.
Nach ersten näheren Gedanken dazu scheint es mir,
als sei jene Höchstanzahl an Stücken, für die man in \(n\)
Durchgängen entscheiden kann, welches davon undefi-
niert anders ist als die anderen, stets um genau eins
höher ist als die für die definiert abklärbaren Stücke.
Also bei zwei Duchgängen vier, bei dreien \(13\), bei vier
Durchgängen \(40\) usw.
Kann das jemand bestätigen oder dem gesichert wider-
sprechen, ohne dabei die konkrete Anzahl zu nennen? 😉
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4640
| Beitrag No.49, eingetragen 2023-10-03
|
aber schon universelle wägpläne wurden selten behandelt in den links von damals, und erweiterungs strategien noch seltener
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.47 begonnen.]
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46932
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.50, eingetragen 2023-10-03
|
\quoteon(2023-10-03 09:26 - cramilu in Beitrag No. 48)
dass man dann mit drei Wägungen auch un-
ter \(13\) Kugeln die eine finden kann, die undefiniert an-
ders ist,
\quoteoff
Hi cramilu,
ich habe festgestellt, das meine Überlegungen, bei 13 Kugeln die falsche Kugel mit drei Wägungen bestimmen zu können, möglicherweise Denkfehler enthalten. Ich ziehe daher meine Feststellung zu 13 Kugeln vorläufig zurück.
Gruß Buri
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.51, eingetragen 2023-10-03
|
Hallo Buri,
welche konkreten Überlegungen meinst Du?
Dadurch, dass man für 12 Kugeln einen universellen
Wägeplan erstellen kann, muss es doch wohl so sein,
dass, legt man eine aus 13 von vornherein beiseite,
nach drei Wägungen mit Gleichstand ("000") jene
13. die abweichende sein muss, oder?
Und dagegen, dass man es sogar mit \(14\) hinbekommen
könnte, spricht klar, dass man nach einem ersten Durch-
gang 6-Gegen-6 mit Ausschlag 12 Verdächtige übrig be-
hielte, bei 5-Gegen-5 mit Ausschlag 10 und bei 4-Gegen-
4 mit Ausschlag 8 sowie ohne Ausschlag 6. Alles Restmen-
gengrößen, für die eine Entscheidung in weiteren zwei
Durchgängen rückwärtsbetrachtet nicht mehr möglich ist.
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46932
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.52, eingetragen 2023-10-03
|
\quoteon(2023-10-03 10:03 - cramilu in Beitrag No. 51)
welche konkreten Überlegungen meinst Du?
\quoteoff
Hi cramilu,
ich habe meine Überlegungen nicht mitgeteilt. Deine Argumente verstehe ich nicht.
Gruß Buri
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.53, eingetragen 2023-10-03
|
Hallo Buri, welche meiner Argumente meinst Du konkret?
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46932
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.54, eingetragen 2023-10-03
|
\quoteon(2023-10-03 10:50 - cramilu in Beitrag No. 53)
Hallo Buri, welche meiner Argumente meinst Du konkret?
\quoteoff
Hi,
"jene 13. Kugel die abweichende sein muss" meine ich.
Gruß Buri
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thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1778
Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.55, eingetragen 2023-10-03
|
\quoteon(2023-10-03 10:03 - cramilu in Beitrag No. 51)
Dadurch, dass man für 12 Kugeln einen universellen
Wägeplan erstellen kann, muss es doch wohl so sein,
dass, legt man eine aus 13 von vornherein beiseite,
nach drei Wägungen mit Gleichstand ("000") jene
13. die abweichende sein muss, oder?
\quoteoff
Das denke ich auch.
So stelle ich es mir (und Uli vmtl. auch) vor:
Man lege eine der 13 Kugeln beiseite.
Man wiege die verbleibenden 12 Kugeln in der Hoffnung, dass man dabei eine Kugel findet, deren Gewicht von dem sämtlicher anderer Kugeln (inkl. der beiseitegelegten) abweicht.
Wenn ja: dann ist die abweichende Kugel gefunden, und die anfangs beiseitegelegten hat Mehrheitsgewicht.
Wenn nein: dann ist die abweichende Kugel ebenfalls gefunden: es ist die anfangs beiseitegelegte.
mfg
thureduehrsen
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.56, eingetragen 2023-10-03
|
Hallo Buri,
das ist für mich Schlussfolgerung einer zum Wider-
spruch geführten Annahme...
Erste Prämisse bzw. Zusicherung:
Genau eine unter \(13\) Kugeln ist anders.
Annahme:
Kugel \(\#13\) ist nicht diejenige.
Schlussfolgerung #1:
Die nämliche Kugel muss sich unter \(\#1\) bis \(\#12\) finden.
Zweite Prämisse bzw. Zusicherung:
Für \(12\) Kugeln existiert nachweislich (siehe Beiträge #32 ff.)
mindestens ein universell zielführender Wägeplan [, dessen
Kennzeichen mindestens ist, dass es bei mindestens einer
Wägung einen Ausschlag gibt].
Schlussfolgerung #2:
Entweder fördert der universelle Wägeplan die nämliche Kugel
zutage; dann kennt man sie, und die Annahme stimmt. Oder
er fördert sie nicht zutage, was lediglich dann möglich ist, wenn
eben doch bei keiner Wägung ein Ausschlag erfolgt. Dann aber
muss die Annahme falsch sein und Kugel \(\#13\) doch die 'andere'.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.54 begonnen.]
|
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46932
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.57, eingetragen 2023-10-03
|
\quoteon(2023-10-03 11:26 - cramilu in Beitrag No. 56)
das ist für mich Schlussfolgerung einer zum Wider-
spruch geführten Annahme...
\quoteoff
Hi cramilu,
danke.
Gruß Buri
|
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|
cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.58, eingetragen 2023-10-03
|
@haribo:
Deinen Wägeplan aus Beitrag #45 habe ich inzwischen
geprüft. Mindestens drei Unzulänglichkeiten sind enthal-
ten, und zwar werden #30 und #31 je genau zweimal
gewogen, dabei beide Male miteinander. #35 und #37
werden zwar sogar jeweils dreimal gewogen, aber auch
jedesmal miteinander. Und #38 und #39 werden jeweils
nur einmal gewogen und wiederum bloß miteinander.
Ohne jeweils wenigstens eine Wägung gegeneinander
ergeben sich so mindestens drei unbestimmte Gesamt-
ausgänge; z.B. "0010" = Balance, Balace, links schwerer,
Balance \(-\) ist dann #38 oder #39 die leichtere?
|
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4640
| Beitrag No.59, eingetragen 2023-10-03
|
@cramilu, ich hab das bild in #45 erneuert
|
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4640
| Beitrag No.60, eingetragen 2023-10-04
|
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|
Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1419
| Beitrag No.61, eingetragen 2023-10-04
|
\(\begingroup\)\(
\)
Baumdiagramm (anklicken für größeres Bild).
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/52997_41_555555.png
\showon LaTeX
\sourceon (latex)
\documentclass[border=10pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize\sffamily,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
sibling distance=5em,
level distance=24mm,
level 2/.style={sibling distance=102mm, yshift=-5mm},
level 4/.style={sibling distance=15mm,},
level 5/.style={sibling distance=55mm,},
level 6/.style={sibling distance=25mm,},
level 7/.style={sibling distance=27mm,},
%
%level 2/.append style={nodes={fill=red,},},
%level 3/.append style={nodes={fill=none},},
level 8/.append style={nodes={align=center, inner sep=3mm, very thick, rounded corners},},
%
nodes={draw, inner sep=3pt, align=left},
Titel/.style={rounded corners, very thick, inner sep=1mm, align=center},
Leer/.style={edge from parent/.style={}},
Ball/.style={draw, circle, inner sep=0.5pt},
Cstyle/.style={align=center, yshift=-1.5em},
Vstyle/.style={},
]
% Inhalte ======================
\def\title{\textbf{12 Ball Problem} \\
Finde die leichtere \textbf{(L)} oder schwerere \textbf{(S)} unter 12 Massen.\\[1em]
Unterteile die Massen in drei Gruppen: \\
\begin{tikzpicture}[]
\node[Ball]{A1};
\node[Ball, xshift=2em]{A2};
\node[Ball, yshift=-2em]{A3};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{A4};
\begin{scope}[shift={(15mm,0)}]
\node[Ball]{B1};
\node[Ball, xshift=2em]{B2};
\node[Ball, yshift=-2em]{B3};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{B4};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(30mm,0)}]
\node[Ball]{C1};
\node[Ball, xshift=2em]{C2};
\node[Ball, yshift=-2em]{C3};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{C4};
\end{scope}
\end{tikzpicture}}
\def\textI{
\begin{tikzpicture}[]
\node[Ball](A){A1};
\node(X)[Ball, xshift=2em]{A2};
\node[Ball, yshift=-2em]{A3};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{A4};
\begin{scope}[shift={(20mm,0)}]
\node[Ball]{B1};
\node[Ball, xshift=2em](B){B2};
\node(Y)[Ball, yshift=-2em]{B3};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{B4};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(37mm,0)}]
\draw[] (-4mm,6mm) -- (-4mm,-9mm);
\node[Ball](C){C1};
\node[Ball, xshift=2em](D){C2};
\node[Ball, yshift=-2em]{C3};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{C4};
\end{scope}
\path[draw=none] (C) -- (D) node[midway, above=2mm, draw=none]{Behalte};
\path[] (X) -- (Y) node[midway, draw=none]{vs.};
\path[draw=none] (A) -- (B) node[midway, above=2mm, draw=none]{Wiege};
\end{tikzpicture}}
\newcommand\Iwaage[3]{%
\begin{tikzpicture}[Ball, font=\tiny,]
\draw[] (0,0) -- (2em,0) -- (1em,2em) -- cycle;
\draw[fill=gray, rotate around={#1:(1.5em,3em)}
]
(5em, 2.5em) -- (5em, 2em) -- (-3em, 2em) -- (-3em,2.5em) -- cycle
node[Ball, sloped, above, pos=0.1]{#23}
node[Ball, sloped, above, pos=0.225]{#24}
node[Ball, sloped, above, pos=0.1, yshift=1.0em-0.5pt]{#21}
node[Ball, sloped, above, pos=0.225, yshift=1.0em-0.5pt]{#22}
%
node[Ball, sloped, above, pos=0.9]{#34}
node[Ball, sloped, above, pos=0.7625]{#33}
node[Ball, sloped, above, pos=0.9, yshift=1.0em-0.5pt]{#32}
node[Ball, sloped, above, pos=0.7625, yshift=1.0em-0.5pt]{#31};
%\path[draw=red] (0,0) -- (0,25mm);
\end{tikzpicture}}
\def\textLiii{%
\textbf{Eine Seite schwerer.} \\
Benenne um: \\ schwere S1, S2, S3, S4; \\
leichte L1, L2, L3, L4. \\
\Iwaage{15}{S}{L} \\
S1 S2 S3 S4 $>$ L1 L2 L3 L4}
\def\textRiii{%
\textbf{Beide Seiten gleich.} \\ \\ \\ \\
\Iwaage{0}{A}{B} \\
A1 A2 A3 A4 $=$ B1 B2 B3 B4}
\def\textLiv{%
\begin{tikzpicture}[]
\node(X)[Ball, xshift=1em]{L1};
\node[Ball, yshift=-2em]{S1};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{S2};
\begin{scope}[shift={(20mm,0)}]
\node(Y)[Ball, xshift=1em]{L2};
\node[Ball, yshift=-2em]{S3};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{S4};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(40mm,0)}]
\draw[] (-6mm,-9mm) -- (-6mm,7mm);
\node(Z)[Ball, label=above:Behalte]{L3};
\node[Ball, yshift=-2em]{L4};
\end{scope}
\path[draw=none] (X) -- (Y) node[midway, draw=none, yshift=-0.5em]{vs.};
\path[draw=none] (X) -- (Y) node[midway, above=1.5mm, draw=none]{Wiege};
\end{tikzpicture}}
\def\textRiv{%
\begin{tikzpicture}[]
\node(X)[Ball, xshift=1em]{C1};
\node[Ball, yshift=-2em]{C2};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{C3};
\begin{scope}[shift={(20mm,0)}]
\node(Y)[Ball, xshift=1em]{A1};
\node[Ball, yshift=-2em]{A2};
\node[Ball, xshift=2em, yshift=-2em]{A3};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(40mm,0)}]
\draw[] (-6mm,-9mm) -- (-6mm,7mm);
\node(Z)[Ball, label=above:Behalte]{C4};
\node[Ball, yshift=-2em]{A4};
\end{scope}
\path[draw=none] (X) -- (Y) node[midway, draw=none, yshift=-0.5em]{vs.};
\path[draw=none] (X) -- (Y) node[midway, above=1.5mm, draw=none]{Wiege};
\end{tikzpicture}}
\newcommand\IIwaage[7]{%
\begin{tikzpicture}[Ball, font=\tiny,]
\draw[] (0,0) -- (2em,0) -- (1em,2em) -- cycle;
\draw[fill=gray, rotate around={#1:(1.5em,3em)}
]
(5em, 2.5em) -- (5em, 2em) -- (-3em, 2em) -- (-3em,2.5em) -- cycle
node[Ball, sloped, above, pos=0.1]{#3}
node[Ball, sloped, above, pos=0.2125]{#4}
node[Ball, sloped, above, pos=0.175, yshift=1.0em-0.5pt]{#2}
%
node[Ball, sloped, above, pos=0.9]{#7}
node[Ball, sloped, above, pos=0.7625]{#6}
node[Ball, sloped, above, pos=0.825, yshift=1.0em-0.5pt]{#5};
\path[draw=none] (0,0) -- (0,17mm);
\end{tikzpicture}}
\def\textLVi{L1 S1 S2 $>$ L2 S3 S4 \\
\IIwaage{15}{L1}{S1}{S2}{L2}{S3}{S4}}%
\def\textLVii{L1 S1 S2 $=$ L2 S3 S4 \\
\IIwaage{0}{L1}{S1}{S2}{L2}{S3}{S4}}%
\def\textLViii{L1 S1 S2 $<$ L2 S3 S4 \\
\IIwaage{-15}{L1}{S1}{S2}{L2}{S3}{S4}}%
\def\textRVi{C1 C2 C3 $>$ A1 A2 A3 \\
\IIwaage{15}{C1}{C2}{C3}{A1}{A2}{A3}}%
\def\textRVii{%
C1 C2 C3 $=$ A1 A2 A3 \\
\IIwaage{0}{C1}{C2}{C3}{A1}{A2}{A3}}%
\def\textRViii{C1 C2 C3 $<$ A1 A2 A3 \\
\IIwaage{-15}{C1}{C2}{C3}{A1}{A2}{A3}}%
\def\textLVIIIi{S1 \\ schwerer}
\def\textLVIIIii{L2 \\ leichter}
\def\textLVIIIiii{S2 \\ schwerer}
\def\textLVIIIiv{L4 \\ leichter}
\def\textLVIIIv{L3 \\ leichter}
\def\textLVIIIvi{S3 \\ schwerer}
\def\textLVIIIvii{L1 \\ leichter}
\def\textLVIIIviii{S4 \\ schwerer}
\def\textRVIIIi{C1 \\ schwerer}
\def\textRVIIIii{C3 \\ schwerer}
\def\textRVIIIiii{C2 \\ schwerer}
\def\textRVIIIiv{C4 \\ schwerer}
\def\textRVIIIv{C4 \\ leichter}
\def\textRVIIIvi{C2 \\ leichter}
\def\textRVIIIvii{C3 \\ leichter}
\def\textRVIIIviii{C1 \\ leichter}
\newcommand\wiegeLVI[2]{%
\begin{tikzpicture}[]
\node(X)[Ball, xshift=1em]{#1};
\begin{scope}[shift={(10mm,0)}]
\node(Y)[Ball, xshift=1em]{#2};
\end{scope}
\path[draw=none] (X) -- (Y) node[midway, draw=none, yshift=-0.250em]{vs.};
\path[draw=none] (X) -- (Y) node[midway, above=2.5mm, draw=none]{Wiege};
\end{tikzpicture}}
\def\textLVIi{\wiegeLVI{S1}{S2}}
\def\textLVIii{\wiegeLVI{L3}{L4}}
\def\textLVIiii{\wiegeLVI{S3}{S4}}
\def\textRVIi{\wiegeLVI{C1}{C2}}
\def\textRVIii{\wiegeLVI{C4}{A4}}
\def\textRVIiii{\wiegeLVI{C1}{C2}}
\newcommand\IIIwaage[3]{%
\begin{tikzpicture}[font=\tiny]
\draw[] (0,0) -- (2em,0) -- (1em,2em) -- cycle;
\draw[fill=gray, rotate around={#1:(1.5em,3em)}
] (5em, 2.5em) -- (5em, 2em) -- (-3em, 2em) -- (-3em,2.5em) -- cycle
node[Ball, sloped, above, pos=0.1]{#2}
node[Ball, sloped, above, pos=0.9]{#3};
\path[draw=none] (0,0) -- (0,17mm);
\end{tikzpicture}}%
\def\textLVIIi{S1 $>$ S2 \\ \IIIwaage{15}{S1}{S2}}
\def\textLVIIii{S1 $=$ S2 \\ \IIIwaage{0}{S1}{S2}}
\def\textLVIIiii{S1 $<$ S2 \\ \IIIwaage{-15}{S1}{S2}}
\def\textLVIIiv{L3 $>$ L4 \\ \IIIwaage{15}{L3}{L4}}
\def\textLVIIv{L3 $<$ L4 \\ \IIIwaage{-15}{L3}{L4}}
\def\textLVIIvi{S3 $>$S4 \\ \IIIwaage{-15}{S3}{S4}}
\def\textLVIIvii{S3 $=$ S4 \\ \IIIwaage{0}{S3}{S4}}
\def\textLVIIviii{S3 $<$ S4 \\ \IIIwaage{-15}{S3}{S4}}
\def\textRVIIi{C1 $>$ C2 \\ \IIIwaage{15}{C1}{C2}}
\def\textRVIIii{C1 $=$ C2 \\ \IIIwaage{0}{C1}{C2}}
\def\textRVIIiii{C1 $<$ C2 \\ \IIIwaage{-15}{C1}{C2}}
\def\textRVIIiv{C4 $>$ A4 \\ \IIIwaage{15}{C4}{A4}}
\def\textRVIIv{C4 $<$ A4 \\ \IIIwaage{-15}{C4}{A4}}
\def\textRVIIvi{C1 $>$ C2 \\ \IIIwaage{15}{C1}{C2}}
\def\textRVIIvii{C1 $=$ C2 \\ \IIIwaage{0}{C1}{C2}}
\def\textRVIIviii{C1 $<$ C2 \\ \IIIwaage{-15}{C1}{C2}}
% Baum ============================
\node[Titel]{\title}% 0
child[]{ node(Iw)[Cstyle]{\textI}% 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Linker Teil ======================
child{ node{Eine Seite schwerer}% L2
child{ node{\textLiii}% L3
child{ node[Cstyle](IIwL){\textLiv}% L4
child{ node[Vstyle]{\textLVi}% L51
child{ node{\textLVIi}% L61
child{ node{\textLVIIi}% L71
child{ node{\textLVIIIi} }% L81
}
child{ node{\textLVIIii}% L72
child{ node{\textLVIIIii} }% L82
}
child{ node{\textLVIIiii}% L73
child{ node{\textLVIIIiii} }% L83
}
}
child[Leer]{ }% rechts von L61
}
child{ node[Vstyle]{\textLVii}% L52
child{ node{\textLVIii}% L62
child{ node{\textLVIIiv}% L74
child{ node{\textLVIIIiv} }% L84
}
child{ node{\textLVIIv}% L75
child{ node{\textLVIIIv} }% L85
}
}
}
child{ node[Vstyle]{\textLViii}% L53
child[Leer]{ }% Links von L63
child{ node(IIIwL){\textLVIiii}% L63
child{ node{\textLVIIvi}% L76
child{ node{\textLVIIIvi} }% L86
}
child{ node{\textLVIIvii}% L77
child{ node{\textLVIIIvii} }% L87
}
child{ node{\textLVIIviii}% L78
child{ node{\textLVIIIviii} }% L88
}
}
}
}
child[Leer]{ }% rechts von L4
}
child[Leer]{ }% rechts von L3
}
% Rechter Teil ======================
child{ node{Beide Seiten gleich}% R2
child[Leer]{ }% Links von R3
child{ node{\textRiii}% R3
child[Leer]{ }% Links von R4
child{ node[Cstyle](IIwR){\textRiv}
child{ node{\textRVi}% R51
child{ node(IIIwR){\textRVIi}% R61
child{ node{\textRVIIi}% R71
child{ node{\textRVIIIi} }% R81
}
child{ node{\textRVIIii}% R72
child{ node{\textRVIIIii} }% R82
}
child{ node{\textRVIIiii}% R73
child{ node{\textRVIIIiii} }% R83
}
}
child[Leer]{ }% rechts von R61
}
child{ node{\textRVii}% R52
child{ node{\textRVIii}% R62
child{ node{\textRVIIiv}% R74
child{ node{\textRVIIIiv} }% R84
}
child{ node{\textRVIIv}% R75
child{ node{\textRVIIIv} }% R85
}
}
}
child{ node{\textRViii}% R53
child[Leer]{ }% Links von R63
child{ node{\textRVIiii}% R63
child{ node{\textRVIIvi}% R76
child{ node{\textRVIIIvi} }% R86
}
child{ node{\textRVIIvii}% R77
child{ node{\textRVIIIvii} }% R87
}
child{ node{\textRVIIviii}% R78
child{ node{\textRVIIIviii} }% R88
}
}
}
}
}
}
};%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Annotationen
\node[yshift=-4mm, align=center, draw=none, font=\sffamily\bfseries] at (Iw.south) {$\uparrow$ \\ 1. Wägung};
\path[draw=none](IIwL) -- (IIwR)
node[midway, align=center, draw=none, font=\sffamily\bfseries] at (Iw.south) {$\leftarrow$ 2. Wägung $\rightarrow$};
\path[draw=none](IIIwL) -- (IIIwR)
node[midway, align=center, draw=none, font=\sffamily\bfseries] at (Iw.south) {$\leftarrow$ 3. Wägung $\rightarrow$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
\(\endgroup\)
|
Profil
|
Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3261
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.62, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-04
|
Hallo wario
Danke für die ausführliche Übersicht.
Gruß Caban
|
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|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8452
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.63, eingetragen 2023-10-04
|
\quoteon(2023-09-30 21:47 - haribo in Beitrag No. 39)
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_insulaner3.JPG
\quoteoff
Das sieht super aus! (Bis auf "symetrie" 🙃)
|
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.64, eingetragen 2023-10-05
|
@haribo, falls ich meinen universellen 4-Er-Wippplan
hinbekommen, bzw. Du Deinen noch einmal übersichtlich
darstellst, dann könnte eine Symmetrie-Hinbiege sich ggf.
an Deinem 3-Er aus #39 orientieren:
Zwischen jeweils zwei der vorher vier pro Wippenseite je-
weils drei einfügen und jene Blöcke in einer zweiten Stufe
untereinander verknüpfen?
|
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JoeM
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 1020
Wohnort: Oberpfalz
| Beitrag No.65, eingetragen 2023-10-05
|
Hallo,
siehe Analogon mit 12 Kugeln:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_W11.jpg
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44117_W2.jpg
viele Grüße
JoeM
|
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2653
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.66, eingetragen 2023-10-11
|
Eine Zangengeburt! Aber auch wieder bloß, weil ich
nicht gleich sorgfältig nachgedacht hatte:
\showon
Man notiere zunächst aufsteigend sämtliche \(81 \)
vierstelligen Ternärzahlen "\(0000\)" bis "\(2222\)".
Dann streiche man die drei Stück mit jeweils lau-
ter gleichen Ziffern, "\(0000\)", "\(1111\)" und "\(2222\)".
Sodann bilde man \(40\) geordnete Paare aus jeweils
einer kleineren und ihrer partiellen Komplementär-
zahl, also z.B. \((0112,0221)\); man ordne sie wiede-
rum aufsteigend nach ihrer ersten Komponente.
Für den mittleren 'Block' der Paare ab \((1000,2000)\)
vertausche man jeweils ihre Komponenten.
Und schon passt es vorläufig: Sowohl innerhalb
aller jeweils ersten Paarkomponenten wie auch
innerhalb aller jeweils zweiten kommen die Ziffern
"\(0\)", "\(1\)" und "\(2\)" an jeder der vier Stellen gleich
häufig, also \(13\) mal, vor.
Ich habe dann alphabetisch priorisiert den Paaren
Ordnungsnummern und Kennbuchstaben zugewie-
sen. "A" bis "M" an "\((2...,1...)\)", "N" bis "Z" an
"\((1...,2...)\)" und "a" bis "ü" an "\((0...,0...)\)". Alles
weitere war dann eher Bauch-Intuition:
\showoff
Das beschriebene Verfahren lässt sich auch rückwirkend
analog für \(12\) Wippanden anwenden und sollte ebenso
erweitert für derer \(120\) tauglich sein.
A B C D E F G H I J K L M
vs. N O P Q R S T U V W X Y Z
B G H J N O P R S T U V X
vs. Q W Y Z a b d e g j m p t
C G I K O Q T U W Y a b g
vs. D L M P V X Z d e j q r y
E H I L R T V W Z a d m q
vs. F J K M S U X Y b e p r ü
@haribo: Viel Spaß beim Symmetrisieren! 😉
|
Profil
|
AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3858
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.67, eingetragen 2023-10-12
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \)
Huhu zusammen,
ehrlich gesagt bin ich aus dem, was cramilu als Zangengeburt beschrieb, nicht ganz schlau geworden. Und da es der erste Beitrag war, den ich "wirklich" in diesem Thread las, wurde ich etwas neugierig, habe mich mit dem Problem beschäftigt und versucht ein Verfahren/Wägeplan für beliebige Anzahl an Wägungen zu finden.
Jedes Ergebnis der $n>2$ Wägungen muss eindeutig eine Kugel (oder einen Insulaner...) und die Art der Abweichung identifizieren. Schreiben wir das Ergebnis als Ternärzahl (also dem Toto-Code: 0 Gleichgewicht, 1 links leichter, 2 rechts leichter) $d_1 \ldots d_n$, und betrachten die Abbildung $f$, gegeben durch $f(d_1 \ldots d_n) = f(d_1) \ldots f(d_n)$ und $f(0)=0, f(1)=2, f(2)=1$. Dann ist das Problem in sofern "symmetrisch" als dass, wenn ein Wägeergebnis $t$ eine Kugel $k$ und die Abweichung "leichter" kodiert, $f(t)$ die gleiche Kugel und das Ergebnis "schwerer" kodiert (und natürlich umgekehrt).
Zusätzlich können die Ergebnisse $0 \ldots 0$, $1 \ldots 1$ und $2 \ldots 2$ nicht zum Kodieren genutzt werden. In ersterem Falle dürfte die abweichende Kugel niemals auf der Waage liegen, im zweiten Falle müsse sie bei jeder Wägung benutzt werden.
Damit ist das Problem m.E. bereits gelöst: Man ordne nun jede Kugel einer Äquivalenzklasse von Codes zu, wobei $t \sim s$ gelte, wenn $t = f(s)$ (oder damit auch $s=f(t)$). Den Wägeplan erhält man nun, in dem man einen Code für jede Kugel auswählt und eine Kugel $k$ mit Code $d_1 \ldots d_n$ genau dann in der $j.$ Wägung benutzt, wenn $d_j \neq 0$. Man legt sie für $d_j=1$ aus die linke Seite und bei $d_j=2$ auf die rechte.
Bei der Auswahl der Codes ist nun darauf zu achten, dass diese so bestimmt werden, dass unter allen Codes, deren führende (von $0$ verschiedene) Stelle an Position $p$ steht, gleich häufig $1$ und $2$ gewählt werden. Dies ist aber natürlich ohne weiteres möglich.
Beispielsweise ist hier eine einfache Implementierung:
\showon
\sourceon C#
using System.Collections.Immutable;
int N = args.Length > 0 ? int.Parse(args[0]) : 3;
Console.Write("MP.Wiegeproblem: ");
var data = Ternary.GetRelevantCodes(N).ToImmutableArray();
Console.WriteLine($"{N} Wägungen reichen für {data.Length} Kugeln.\n");
Dictionary dict = new();
for (int i = 0; i < data.Length; i++)
dict.Add(data[i], i);
for (int i = 0; i < N; i++)
{
Console.WriteLine($"Wägung {i + 1}:");
var (l, r) = Ternary.Split(data, i);
var sl = string.Join(',', l.Select(x => dict[x]).ToArray());
var sr = string.Join(',', r.Select(x => dict[x]).ToArray());
Console.Write($" [ {sl} ] \nvs. [ {sr} ]");
Console.WriteLine("\n");
}
Console.WriteLine("CODE-Tabelle:");
dict.Keys.Select(x => $"{x.Data} -> {dict[x]} L")
.Union(dict.Keys
.Select(x => $"{x.Complement.Data} -> {dict[x]} S"))
.Order()
.ToList().ForEach(i => Console.WriteLine($"{i}"));
record struct Ternary(string Data)
{
public readonly Ternary Complement => new(Data.Replace('1', 'X').Replace('2', '1').Replace('X', '2'));
public static (IEnumerable left, IEnumerable right) Split(IEnumerable set, int pos)
{
var left = new List();
var right = new List();
foreach (var i in set)
{
if (i.Data[pos] == '1') left.Add(i);
else if (i.Data[pos] == '2') right.Add(i);
}
return (left, right);
}
public static IEnumerable GetRelevantCodes(int n)
{
if (n < 2) throw new ArgumentException("Argument must be at least 2.");
var result = new List() { "2" };
for (int i = 1; i < n; i++)
{
var e = EnumerateTernarys(i);
var l = e.Count() / 2;
var e1 = e.Take(l);
var e2 = e.Skip(l);
result.AddRange(e1.Select(x => "1" + x));
result.AddRange(e2.Select(x => "2" + x));
}
var ones = new string('1', n);
var twos = new string('2', n);
return result
.Where(x => x != ones && x != twos)
.Select(x => new Ternary(new string('0', n - x.Length) + x));
}
static IEnumerable EnumerateTernarys(int n)
{
if (n < 1) throw new ArgumentException("Argument must be at least 1.");
if (n == 1) return new List() { "0", "1", "2" };
return EnumerateTernarys(n - 1).SelectMany(x => new List() { "0" + x, "1" + x, "2" + x });
}
}
\sourceoff
\showoff
Beispielsweise erzeugt dieses Programm für $n=5$ den folgenden Output. Auf meinem wohl recht flotten Laptop läuft es bis ca $n=15$ in erträglicher Zeit.
\showon
\sourceon output
MP.Wiegeproblem: 5 Wägungen reichen für 120 Kugeln.
Wägung 1:
[ 40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79 ]
vs. [ 80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119 ]
Wägung 2:
[ 13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,41,44,47,50,53,56,59,62,65,68,71,74,77,80,83,86,89,92,95,98,101,104,107,110,113,116,119 ]
vs. [ 26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99,102,105,108,111,114,117 ]
Wägung 3:
[ 4,5,6,7,14,17,20,23,26,29,32,35,38,43,44,45,52,53,54,61,62,63,70,71,72,79,80,81,88,89,90,97,98,99,106,107,108,115,116,117 ]
vs. [ 8,9,10,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,46,47,48,55,56,57,64,65,66,73,74,75,82,83,84,91,92,93,100,101,102,109,110,111,118,119 ]
Wägung 4:
[ 1,5,8,11,16,17,18,25,26,27,34,35,36,49,50,51,52,53,54,55,56,57,76,77,78,79,80,81,82,83,84,103,104,105,106,107,108,109,110,111 ]
vs. [ 2,3,6,9,12,19,20,21,28,29,30,37,38,39,58,59,60,61,62,63,64,65,66,85,86,87,88,89,90,91,92,93,112,113,114,115,116,117,118,119 ]
Wägung 5:
[ 2,7,8,9,22,23,24,25,26,27,28,29,30,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93 ]
vs. [ 0,3,10,11,12,31,32,33,34,35,36,37,38,39,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119 ]
CODE-Tabelle:
00001 -> 0 S
00002 -> 0 L
00010 -> 1 L
00011 -> 3 S
00012 -> 2 S
00020 -> 1 S
00021 -> 2 L
00022 -> 3 L
00100 -> 4 L
00101 -> 10 S
00101 -> 7 L
00110 -> 5 L
00111 -> 12 S
00112 -> 9 S
00120 -> 6 L
00121 -> 11 S
00122 -> 8 S
00200 -> 4 S
00202 -> 10 L
00202 -> 7 S
00210 -> 6 S
00211 -> 8 L
00212 -> 11 L
00220 -> 5 S
00221 -> 9 L
00222 -> 12 L
01000 -> 13 L
01001 -> 22 L
01001 -> 31 S
01010 -> 16 L
01011 -> 25 L
01011 -> 37 S
01012 -> 28 S
01020 -> 19 L
01021 -> 34 S
01100 -> 14 L
01101 -> 23 L
01101 -> 33 S
01110 -> 17 L
01111 -> 39 S
01112 -> 30 S
01120 -> 20 L
01121 -> 36 S
01122 -> 27 S
01200 -> 15 L
01201 -> 24 L
01201 -> 32 S
01210 -> 18 L
01211 -> 38 S
01212 -> 29 S
01220 -> 21 L
01221 -> 35 S
01222 -> 26 S
02000 -> 13 S
02002 -> 22 S
02002 -> 31 L
02010 -> 19 S
02012 -> 34 L
02020 -> 16 S
02021 -> 28 L
02022 -> 25 S
02022 -> 37 L
02100 -> 15 S
02102 -> 24 S
02102 -> 32 L
02110 -> 21 S
02111 -> 26 L
02112 -> 35 L
02120 -> 18 S
02121 -> 29 L
02122 -> 38 L
02200 -> 14 S
02202 -> 23 S
02202 -> 33 L
02210 -> 20 S
02211 -> 27 L
02212 -> 36 L
02220 -> 17 S
02221 -> 30 L
02222 -> 39 L
10000 -> 40 L
10001 -> 67 L
10001 -> 94 S
10010 -> 49 L
10011 -> 112 S
10011 -> 76 L
10012 -> 85 S
10020 -> 58 L
10021 -> 103 S
10100 -> 43 L
10101 -> 100 S
10101 -> 70 L
10110 -> 52 L
10111 -> 118 S
10111 -> 79 L
10112 -> 91 S
10120 -> 61 L
10121 -> 109 S
10122 -> 82 S
10200 -> 46 L
10201 -> 73 L
10201 -> 97 S
10210 -> 55 L
10211 -> 115 S
10212 -> 88 S
10220 -> 64 L
10221 -> 106 S
11000 -> 41 L
11001 -> 68 L
11001 -> 96 S
11010 -> 50 L
11011 -> 114 S
11011 -> 77 L
11012 -> 87 S
11020 -> 59 L
11021 -> 105 S
11100 -> 44 L
11101 -> 102 S
11101 -> 71 L
11110 -> 53 L
11112 -> 93 S
11120 -> 62 L
11121 -> 111 S
11122 -> 84 S
11200 -> 47 L
11201 -> 74 L
11201 -> 99 S
11210 -> 56 L
11211 -> 117 S
11212 -> 90 S
11220 -> 65 L
11221 -> 108 S
11222 -> 81 S
12000 -> 42 L
12001 -> 69 L
12001 -> 95 S
12010 -> 51 L
12011 -> 113 S
12011 -> 78 L
12012 -> 86 S
12020 -> 60 L
12021 -> 104 S
12100 -> 45 L
12101 -> 101 S
12101 -> 72 L
12110 -> 54 L
12111 -> 119 S
12112 -> 92 S
12120 -> 63 L
12121 -> 110 S
12122 -> 83 S
12200 -> 48 L
12201 -> 75 L
12201 -> 98 S
12210 -> 57 L
12211 -> 116 S
12212 -> 89 S
12220 -> 66 L
12221 -> 107 S
12222 -> 80 S
20000 -> 40 S
20002 -> 67 S
20002 -> 94 L
20010 -> 58 S
20012 -> 103 L
20020 -> 49 S
20021 -> 85 L
20022 -> 112 L
20022 -> 76 S
20100 -> 46 S
20102 -> 73 S
20102 -> 97 L
20110 -> 64 S
20112 -> 106 L
20120 -> 55 S
20121 -> 88 L
20122 -> 115 L
20200 -> 43 S
20202 -> 100 L
20202 -> 70 S
20210 -> 61 S
20211 -> 82 L
20212 -> 109 L
20220 -> 52 S
20221 -> 91 L
20222 -> 118 L
20222 -> 79 S
21000 -> 42 S
21002 -> 69 S
21002 -> 95 L
21010 -> 60 S
21012 -> 104 L
21020 -> 51 S
21021 -> 86 L
21022 -> 113 L
21022 -> 78 S
21100 -> 48 S
21102 -> 75 S
21102 -> 98 L
21110 -> 66 S
21111 -> 80 L
21112 -> 107 L
21120 -> 57 S
21121 -> 89 L
21122 -> 116 L
21200 -> 45 S
21202 -> 101 L
21202 -> 72 S
21210 -> 63 S
21211 -> 83 L
21212 -> 110 L
21220 -> 54 S
21221 -> 92 L
21222 -> 119 L
22000 -> 41 S
22002 -> 68 S
22002 -> 96 L
22010 -> 59 S
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22020 -> 50 S
22021 -> 87 L
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22022 -> 77 S
22100 -> 47 S
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22111 -> 81 L
22112 -> 108 L
22120 -> 56 S
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22122 -> 117 L
22200 -> 44 S
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22220 -> 53 S
22221 -> 93 L
\sourceoff
\showoff
lg, AK\(\endgroup\)
|
Profil
|
haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4640
| Beitrag No.68, eingetragen 2023-10-13
|
dann gib mal n=363 ein… cramilu ist kurz davor es lösen zu können
|
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1419
| Beitrag No.69, eingetragen 2023-10-13
|
\(\begingroup\)\(
\)
\quoteon(2023-10-13 16:21 - haribo in Beitrag No. 68)
dann gib mal n=363 ein…
\quoteoff
Die Verallgemeinerung des Problems auf $n\in\mathbb{N}$ ist interessant.
Von zentraler Bedeutung ist hier m.E. wie man die Lösung verständlich, sinnvoll, nachvollziehbar und übersichtlich angibt.
Damit meine ich nicht nur die Anzahl der Wägungen, sondern auch den Gesamtablauf und dessen Möglichkeiten.
Ein Baumdiagramm ist grundsätzlich naheliegend, ist aber bei größeren $n$ nicht mehr umsetzbar.
Daher hatte ich mich gefragt, ob man evtl. eine oder mehrere (geschlossene) Formeln dazu ermitteln kann, die es erlauben de Pfade zu beschreiben.
Ideen?
\(\endgroup\)
|
Profil
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AnnaKath
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Mitteilungen: 3858
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
| Beitrag No.70, eingetragen 2023-10-13
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \)
Huhu Peter,
\quoteon(2023-10-13 16:21 - haribo in Beitrag No. 68)
dann gib mal n=363 ein… cramilu ist kurz davor es lösen zu können
\quoteoff
das bezweifele ich...
$n=6$ (also 6 Wägungen mit bis zu 363 Kugeln) geht natürlich ohne weiteres:
\showon
\sourceon output
MP.Wiegeproblem: 6 Wägungen reichen für 363 Kugeln.
Wägung 1:
[ 121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,227,228,229,230,231,232,233,234,235,236,237,238,239,240,241 ]
vs. [ 242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,256,257,258,259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270,271,272,273,274,275,276,277,278,279,280,281,282,283,284,285,286,287,288,289,290,291,292,293,294,295,296,297,298,299,300,301,302,303,304,305,306,307,308,309,310,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,330,331,332,333,334,335,336,337,338,339,340,341,342,343,344,345,346,347,348,349,350,351,352,353,354,355,356,357,358,359,360,361,362 ]
Wägung 2:
[ 40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,122,125,128,131,134,137,140,143,146,149,152,155,158,161,164,167,170,173,176,179,182,185,188,191,194,197,200,203,206,209,212,215,218,221,224,227,230,233,236,239,242,245,248,251,254,257,260,263,266,269,272,275,278,281,284,287,290,293,296,299,302,305,308,311,314,317,320,323,326,329,332,335,338,341,344,347,350,353,356,359,362 ]
vs. [ 80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,123,126,129,132,135,138,141,144,147,150,153,156,159,162,165,168,171,174,177,180,183,186,189,192,195,198,201,204,207,210,213,216,219,222,225,228,231,234,237,240,243,246,249,252,255,258,261,264,267,270,273,276,279,282,285,288,291,294,297,300,303,306,309,312,315,318,321,324,327,330,333,336,339,342,345,348,351,354,357,360 ]
Wägung 3:
[ 13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,41,44,47,50,53,56,59,62,65,68,71,74,77,80,83,86,89,92,95,98,101,104,107,110,113,116,119,124,125,126,133,134,135,142,143,144,151,152,153,160,161,162,169,170,171,178,179,180,187,188,189,196,197,198,205,206,207,214,215,216,223,224,225,232,233,234,241,242,243,250,251,252,259,260,261,268,269,270,277,278,279,286,287,288,295,296,297,304,305,306,313,314,315,322,323,324,331,332,333,340,341,342,349,350,351,358,359,360 ]
vs. [ 26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99,102,105,108,111,114,117,120,127,128,129,136,137,138,145,146,147,154,155,156,163,164,165,172,173,174,181,182,183,190,191,192,199,200,201,208,209,210,217,218,219,226,227,228,235,236,237,244,245,246,253,254,255,262,263,264,271,272,273,280,281,282,289,290,291,298,299,300,307,308,309,316,317,318,325,326,327,334,335,336,343,344,345,352,353,354,361,362 ]
Wägung 4:
[ 4,5,6,7,14,17,20,23,26,29,32,35,38,43,44,45,52,53,54,61,62,63,70,71,72,79,80,81,88,89,90,97,98,99,106,107,108,115,116,117,130,131,132,133,134,135,136,137,138,157,158,159,160,161,162,163,164,165,184,185,186,187,188,189,190,191,192,211,212,213,214,215,216,217,218,219,238,239,240,241,242,243,244,245,246,265,266,267,268,269,270,271,272,273,292,293,294,295,296,297,298,299,300,319,320,321,322,323,324,325,326,327,346,347,348,349,350,351,352,353,354 ]
vs. [ 8,9,10,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,46,47,48,55,56,57,64,65,66,73,74,75,82,83,84,91,92,93,100,101,102,109,110,111,118,119,120,139,140,141,142,143,144,145,146,147,166,167,168,169,170,171,172,173,174,193,194,195,196,197,198,199,200,201,220,221,222,223,224,225,226,227,228,247,248,249,250,251,252,253,254,255,274,275,276,277,278,279,280,281,282,301,302,303,304,305,306,307,308,309,328,329,330,331,332,333,334,335,336,355,356,357,358,359,360,361,362 ]
Wägung 5:
[ 1,5,8,11,16,17,18,25,26,27,34,35,36,49,50,51,52,53,54,55,56,57,76,77,78,79,80,81,82,83,84,103,104,105,106,107,108,109,110,111,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,229,230,231,232,233,234,235,236,237,238,239,240,241,242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,310,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,330,331,332,333,334,335,336 ]
vs. [ 2,3,6,9,12,19,20,21,28,29,30,37,38,39,58,59,60,61,62,63,64,65,66,85,86,87,88,89,90,91,92,93,112,113,114,115,116,117,118,119,120,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,256,257,258,259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270,271,272,273,274,275,276,277,278,279,280,281,282,337,338,339,340,341,342,343,344,345,346,347,348,349,350,351,352,353,354,355,356,357,358,359,360,361,362 ]
Wägung 6:
[ 2,7,8,9,22,23,24,25,26,27,28,29,30,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,227,228,229,230,231,232,233,234,235,236,237,238,239,240,241,242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,256,257,258,259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270,271,272,273,274,275,276,277,278,279,280,281,282 ]
vs. [ 0,3,10,11,12,31,32,33,34,35,36,37,38,39,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,283,284,285,286,287,288,289,290,291,292,293,294,295,296,297,298,299,300,301,302,303,304,305,306,307,308,309,310,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,330,331,332,333,334,335,336,337,338,339,340,341,342,343,344,345,346,347,348,349,350,351,352,353,354,355,356,357,358,359,360,361,362 ]
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211200 -> 138 S
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211202 -> 305 L
211210 -> 192 S
211211 -> 251 L
211212 -> 332 L
211220 -> 165 S
211221 -> 278 L
211222 -> 359 L
212000 -> 126 S
212002 -> 207 S
212002 -> 290 L
212010 -> 180 S
212012 -> 317 L
212020 -> 153 S
212021 -> 263 L
212022 -> 234 S
212022 -> 344 L
212100 -> 144 S
212102 -> 225 S
212102 -> 299 L
212110 -> 198 S
212111 -> 245 L
212112 -> 326 L
212120 -> 171 S
212121 -> 272 L
212122 -> 353 L
212200 -> 135 S
212202 -> 216 S
212202 -> 308 L
212210 -> 189 S
212211 -> 254 L
212212 -> 335 L
212220 -> 162 S
212221 -> 281 L
212222 -> 362 L
220000 -> 122 S
220002 -> 203 S
220002 -> 285 L
220010 -> 176 S
220012 -> 312 L
220020 -> 149 S
220021 -> 258 L
220022 -> 230 S
220022 -> 339 L
220100 -> 140 S
220102 -> 221 S
220102 -> 294 L
220110 -> 194 S
220112 -> 321 L
220120 -> 167 S
220121 -> 267 L
220122 -> 348 L
220200 -> 131 S
220202 -> 212 S
220202 -> 303 L
220210 -> 185 S
220211 -> 249 L
220212 -> 330 L
220220 -> 158 S
220221 -> 276 L
220222 -> 239 S
220222 -> 357 L
221000 -> 128 S
221002 -> 209 S
221002 -> 288 L
221010 -> 182 S
221012 -> 315 L
221020 -> 155 S
221021 -> 261 L
221022 -> 236 S
221022 -> 342 L
221100 -> 146 S
221102 -> 227 S
221102 -> 297 L
221110 -> 200 S
221111 -> 243 L
221112 -> 324 L
221120 -> 173 S
221121 -> 270 L
221122 -> 351 L
221200 -> 137 S
221202 -> 218 S
221202 -> 306 L
221210 -> 191 S
221211 -> 252 L
221212 -> 333 L
221220 -> 164 S
221221 -> 279 L
221222 -> 360 L
222000 -> 125 S
222002 -> 206 S
222002 -> 291 L
222010 -> 179 S
222012 -> 318 L
222020 -> 152 S
222021 -> 264 L
222022 -> 233 S
222022 -> 345 L
222100 -> 143 S
222102 -> 224 S
222102 -> 300 L
222110 -> 197 S
222111 -> 246 L
222112 -> 327 L
222120 -> 170 S
222121 -> 273 L
222122 -> 354 L
222200 -> 134 S
222202 -> 215 S
222202 -> 309 L
222210 -> 188 S
222211 -> 255 L
222212 -> 336 L
222220 -> 161 S
222221 -> 282 L
\sourceoff
\showoff
(Die Kugeln sind von $0$ bis $362$ nummeriert. Die einzelnen Wägungen sind hoffentlich verständlich angegeben. Die "Codetablle" gibt an, wie das Ergebnis dann zu interpretieren ist, bspw. bedeutet "222212 -> 336 L", dass bei Ausschlägen von "rechts/rechts/rechts/rechts/links/rechts" in den $6$ Wägungen die Kugel mit der Nummer $336$ abweicht und leichter* ("L") ist als die anderen).
Wie gesagt lässt sich das Problem mit dem Programm bis ca. 7174452 Kugeln/Insulaner (unter denen man mit 15 Wägungen die Abweichung identifizieren kann) ohne grosse Wartezeit ausführen.
lg, AK
*) ich mag leichter/schwerer verwechselt haben (was ich glaube...). Nun dann kodiert "L" eben "schwerer"...!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.68 begonnen.]\(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.71, eingetragen 2023-10-13
|
\quoteon(2023-10-13 16:28 - AnnaKath in Beitrag No. 70)
Huhu Peter,
\quoteon(2023-10-13 16:21 - haribo in Beitrag No. 68)
dann gib mal n=363 ein… cramilu ist kurz davor es lösen zu können
\quoteoff
das bezweifele ich...
\quoteoff
Eine Unverfrorenheit sondershausen \(-\) freches Gör! 😉
Zunächst hat Wario Recht mit dem Hinweis auf die
Schwierigkeit, das Zustandekommen einer Lösung
nachvollziehbar anzugeben. Es geht aber!
\showon
Man ermittle aus der angestrebten Höchstanzahl \(w\) an
Wägungen die Höchstanzahl eindeutig entscheidbarer
Wägeindividuen \(n=\frac{3^w-3}{2}\) ; für \(w=6\) also \(n=363\) .
Dann weist man jedem Wägeindividuum von #001 bis #363
(# n) ein geordnetes, aber zunächst leeres Paar \((0,0)\) zu.
Im nächsten Schritt befülle man für das erste Drittel der
Wägeindividuen #001 bis #121 die jeweils zweite Kompo-
nente derer geordneten Paare mit den Zahlen \(3^{(w-1)}\) auf-
steigend, also für \(w=6\) mit \(243,244, 245,...,362,363\) .
Für das zweite Drittel der Wägeindividuen #122 bis #242
befülle man die jeweils erste Paarkomponente mit den Zah-
len \(\frac{3^w+1}{2}\) aufsteigend, also für \(w=6\) mit \(365,366,367,...,\)
\(484,485\) .
Für das dritte Drittel #243 bis #363 befülle man jeweils wie-
der die zweite Paarkomponente, jedoch diesmal absteigend
und gestaffelt: Die ersten \(3^{(w-2)}\) (für \(w=6\): \(81\)) Zahlen er-
halten dort \(3^{(w-1)}-1\) abwärts, also für \(w=6\) \(242,241,240,\)
\(...,163,162\) ; die nächsten \(3^{(w-3)}\) Zahlen erhalten \(3^{(w-2)}-1\)
abwärts, also \(80,79,78,...,55,54\) . Usw. bis schließlich der
zweiten Paarkomponente des Wägeindividuums #363 die \(2\)
zugewiesen wurde.
Es folgt eine schleifenweise Komplettierung der Paarkompo-
nenten. Dabei wird zunächst die Zahl der Nicht-Mehr-Null-
Komponente in ihre korrespondierende Ternärzahl gewan-
delt; als Zeichenkette der fixen Länge \(w\) . Sodann wird
jener Ternärcode teilinvertiert: ersetze Einsen durch Dreien,
dann Zweien durch Einsen, dann Dreien durch Zweien. Das
Ergebnis wird in die jeweilige Noch-Null-Komponente geschrie-
ben. Am Ende weist jedes Wägeindividuum ein geordnetes
Paar auf, dessen erste Komponente angibt, wie der ternär
kodierte Wägeverlauf aussieht, wenn es leichter ist, und in
der zweiten Komponente steht der ternäre Code für den Fall,
dass es schwerer ist.
Am Ende werden die Wägebalken Durchgang für Durchgang
bestückt: Ist die \(k\)-te Ziffer der ersten Paarkomponente eine
Null, so wird das Wägeindividuum bei der \(k\)-ten Wägung nicht
mitgewogen. Ist sie "\(1\)", so liegt das Individuum bei der Wä-
gung rechts auf dem Wägebalken, bei "\(2\)" links.
Ein Wägeverlauf Ausschlag links \(-\) Balance \(-\) Balance \(-\)
Ausschlag rechts \(-\) Ausschlag rechts \(-\) Ausschlag links
wird ternär notiert als "\(100221\)" (\(=268\)), und ein Blick in
die Liste geordneter Paare identifiziert Wägeindividuum
und Paarkomponente \(-\) fertig.
\showoff
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AnnaKath
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| Beitrag No.72, eingetragen 2023-10-14
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \)
Huhu,
\quoteon(2023-10-13 20:28 - cramilu in \(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.73, eingetragen 2023-10-14
|
Dazu...
1. Ich bin neurotisch-pathologisch-notorisch zutiefst
milieugeschädigt und verfalle häufig auf ein Unmut-
kundtun oder sonstige Einlassungen, welche sich an
Film- oder Liedtextzitaten orientieren, z.B. Ulrich Roski.
2. Wir fänden das unter #67 beschriebene Verfahren
nicht nachvollziehbar... »Wer wagt es, so etwas zu be-
haupten?!« (Quelle: Grandpa Gustafson [dt. Synchro] ).
3. »Das ist keine Unverschämtheit, sondern Physik.«
kommt definitiv in mein Bonmotpoesiealbum. 🤗
Mir ging es einzig darum, irgendwie mit halbwegs pro-
saischer Formulierung darzustellen, wie das konzeptio-
nelle Vorgehen etwa auszusehen häbe.
Was Physik und sonstige praktische Idealfallstörgrößen
anbelangt, wird es doch für \(w\geq5\) so oder so übel;
wer wöge oder wippte schon \(40\) oder mehr Greteln oder
Hänseln oder sonstiges? Allein die Vorstellung lässt einen
doch alsbald desillusioniert zurück: \(w=5\) . \(120\) Leutchen.
Keiner darf während der Wipperei trinken, essen, auf Klo
oder der Hitze wegen ein Kleidungsstück ablegen. Würde
sich ja erkenntnistrübend auswirken. Da meldet sich doch
trotzdem spätestens während des zweiten Wipp- oder Wä-
gedurchgangs irgendeine Tante Irmgard aus Castrop-Rau-
xel oder ein Schwippschwager aus Elberfeld mit einem
wie auch immer gearteten Sonderwunsch... 🙄
|
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haribo
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| Beitrag No.74, eingetragen 2023-10-23
|
@AK,
nachvollziebar oder nicht deines verfahrens war nicht soo sehr wichtig,
die frage war ja nicht mehr ob es lösungen gibt, sondern ob es symetrische bzw logisch-erweiterbare gibt
drum bleibt das bemühen über eine "schönere" darstellung auch weiterhin interessant
drum hab ich mich nochmals mit der super-symmetrie #39 beschäftigt, bei der die platzwechsel untereinander jedesmal gleich sind
jedenfals ist es jetzt deutlich geordneter,
der schönheit geschuldet ist dass ich die aktuell nicht gewogenen jetzt in der mitte plaziere... die erste wäägung ist alphabetisch nach llr;llo;lrl sortiert
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_insulaner4.JPG
|
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AnnaKath
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| Beitrag No.75, eingetragen 2023-10-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{F}{F_{\mu\nu} dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} = A_{nu} dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} + A_{\nu} A^{\mu} + A_{\mu} A^{\nu} - 2A_{\sigma}A^{\sigma}}\)
Huhu Peter,
\quoteon(2023-10-23 17:42 - haribo in Beitrag No. 74)
@AK,
die frage war ja nicht mehr ob es lösungen gibt, sondern ob es symetrische bzw logisch-erweiterbare gibt
\quoteoff
wenn dies denn die Frage sein soll, so hoffe ich sehr, dass ihr euch auf prime Anzahlen $p$ an Wägungen bei der malenden Suche beschränkt:
Damit eine Permutation $\sigma \in S_{k_n}$ mit $k_n = \frac{3^n-3}{2}$ vollständig in $n$-Zyklen zerfällt, also das, was ich verstehe, das Du als "symmetrischen Wägeplan" bezeichnest, muss $n$ prim sein.
Bei der Untersuchung ob $n$ prim auch hinreichend ist, muss man natürlich noch beachten, dass jeder Pfad unter $\sigma$ einen anderen Repräsentanten der Äquvalenzklassen (unter der bereits beschriebenen Abbildung $f$) von Ternärdarstellungen der "Insulaner" beschreiben muss. Eine mMn natürliche Wahl dies sicherzustellen liefert für $n=3$ etwa die Permutation $\sigma = (8, 4, 0, 5, 6, 9, 1, 10, 2, 3, 11, 7)$ (die Nummerierung startet bei $0$).
Das ist genau Dein Verfahren aus #74.
lg, AK\(\endgroup\)
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haribo
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| Beitrag No.76, eingetragen 2023-10-24
|
oh, über deine primanforderung müsste ich erst meditieren, bevor ich etwas davon verstehe
aber mir schwante schon sowas beim versuch des nächstgrösseren...
diese permutation erscheint mir noch etwas besser (ich hatte das bild #74 entsprechend getauscht...)
$\sigma = ( 8,4,9,0,5,1,2,10,3,6,11,7 )$
kann es sein dass es nur diese zwei verschiedenen permutationen (ohne rückwärts) gibt für diese anforderung?
(man kann natürlich die jeweils vier plätze untereinander herumtauschen... das meine ich nicht)
|
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AnnaKath
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Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
| Beitrag No.77, eingetragen 2023-10-25
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{F}{F_{\mu\nu} dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} = A_{nu} dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} + A_{\nu} A^{\mu} + A_{\mu} A^{\nu} - 2A_{\sigma}A^{\sigma}}\)
Huhu Peter,
\quoteon(2023-10-24 17:27 - haribo in Beitrag No. 76)
kann es sein dass es nur diese zwei verschiedenen permutationen (ohne rückwärts) gibt für diese anforderung?
(man kann natürlich die jeweils vier plätze untereinander herumtauschen... das meine ich nicht)
\quoteoff
Wie viele mögliche "supersymmetrisch Wägepläne" es gibt, kann man sich leicht aus dem allgemeinen Verfahren zur Aufstellung solcher überlegen. Ich skizziere das hier mal:
\showon
Gegeben sei die Anzahl $n$ der Wägungen. Die Anzahl der Insulaner ist dann $k_n=\frac{3^n-3}{2}$.
Zunächst einmal die grobe Idee:
- Zwei Codes $c,d$ sind als gleich anzusehen, wenn $c = f(d)$. Das bedeutet nichts weiter, als dass etwa L0L und R0R den gleichen Insulaner kodieren werden, nur ist er einmal leichter, einmal schwerer als die anderen.
- Jeder Code (und damit auch der äquivalente Code) darf nur in einem einzigen Zyklus codiert sein. Nur so kann aus dem Wägeergebnis der Insulaner und seine Abweichung eindeutig identifiziert werden.
- Umgekehrt muss jeder Code (bzw. sein äquivalenter Partner) in einem Zyklus vorkommen, damit er "gemessen" werden kann
Sofern $n | k_n$ ist ein supersymmetrischer Wägeplan möglich und ergibt sich konkret wie folgt:
(A) Man zählt alle Zahlen $0, \ldots, k_n-1$ in Ternärdarstellung auf und entfernt die Zahlen, deren Ternärdarstellung nur aus der gleichen Ziffer besteht (also "00...0", "1...1" und "2...2") und erhält so eine Menge $M$.
Man nummeriere die Insulaner und teilt sie dann in drei gleich grosse "Töpfe", die wir mit $S_0$, $S_1$, $S_2$ bezeichnen.
Wir benötigen weiterhin die Funktion $f$, die den bereits beschriebenen "partial flip" bezeichne ($f(0)=0, f(1)=2, f(2)=1$ und für eine mehrstellige Ternärzahl wende man $f$ stellenweise an).
(B) Wir konstruieren nun $k_n/n$ Zyklen der Permutation iterativ.
In jedem Schritt haben wir eine Liste $L$ von noch nicht verwendeten Codes (zum Start ist natürlich L=M). Ausserdem haben wir drei Töpfe $T_1, T_2, T_3$ (die zu Beginn identisch mit $S_1, S_2, S_3$ sind) sowie eine Menge $Z$ von Zyklen (diese ist anfangs leer).
(1) Man wähle einen beliebigen Code $c\in L$, also ein $n$-stellige Ternärzahl $c= z_1 \ldots z_n$.
(2) Man konstruiere einen Zyklus durch Wahl von $n$ "Insulanern", wobei der $d.$ Insulaner gerade aus dem Topf $T_{z_d}$ genommen wird, und füge ihn der Liste $Z$ hinzu.
(3) Ist dies nicht möglich, weil ein Topf bereits leer ist, so wähle man statt $c$ den Code $f(c)$. Für diesen funktioniert das Verfahren dann stets. Man gehe zurück zu (1) mit dem geflippten Code.
(4) Dann entferne man die die Codes $c$ und $f(c)$ aus der Liste sowie alle Codes $c'$, die sich aus zyklischer Permutation der Ziffern von $c$ ergeben (sowie jeweils $f(c')$). Ausserdem entnimmt man allen beteiligten Töpfen die Insulaner, die den entfernten Codes entsprechen (das sind jeweils $2$ Codes je Insulaner nämlich zwei bzgl. $f$ äquivalente).
(5) Ist die Liste der Codes nicht leer, konstruiere man den nächsten Zyklus ab Schritt (1).
Sobald keine Codes mehr vorhanden sind, sind genau $m = k_n/n$ Zyklen der Länge $n$ konstruiert und in der Liste $Z = [z_1 \ldots z_m]$ enthalten (ausserdem sind alle Töpfe leer). Die gesuchte Permutation ist nun $\sigma=(z_1)\ldots(z_m)$.
\showoff
Wenn Du dies einmal für $n=3$ durchführst, erhält man "zum Beispiel" die Permutation $\sigma = (0,2,8)(1,4,6)(3,5,9)(7,10,11) = (8,4,0,5,6,9,1,10,2,3,11,7)$. Sofern ich Dich richtig verstehe, ist dies sogar die einzige derartige Permutation (bis auf Umnummerierung der Insulaner, "Rückwärts-Ausführung" der Zyklen, Austausch von "012" und derlei, das keine "wesentlich" neue Permutation ergibt.)
lg, AK\(\endgroup\)
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Caban
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| Beitrag No.78, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-25
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Hallo
Danke für die vielen Beiträge. Ich werde sie bei Gelegenheit durcharbeiten. Ich hätte nicht gedacht, dass ich damit eine so lange Disskusion auslöse.
Aber ich finde die Disskusion sehr interessant.
Gruß Caban
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haribo
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| Beitrag No.79, eingetragen 2023-10-26
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nun caban,
die trickytale revolution (basierend auf ternären zahlen) wird kommen, weg von dem schwarz-weiss (I-O) des binären zeitalters ist eine waage im gleichgewicht ja schon fast wieder etwas analoges wie eine alte kirchturmuhr
dass wir das noch erleben war eigentlich nicht vorgesehen...
@AK, immerhin begreife ich langsam dass supersymmetrie jeweils ausschlisslich rolierende gruppen der form LLR; RLL; LRL; benötigen
(zitat cramilu)
Für eine Höchstanzahl von \(n\geq2\) Durchgängen sollte die
Höchstanzahl \(w\) an eindeutig bestimmbaren Individuen
$$
w(n)\quad=\quad\sum\limits_{k=2}^n\;3^{(k-1)}\quad=\quad\sum\limits_{k=0}^{n-2}\;3^{(k+1)}\quad=\quad\frac{3^n\,-\,3}{\phantom{2^h}2\phantom{2^h}}
$$
ende zitat
und eine ganzzahliga anzahl von gruppen ist offenbar nur bei n=prim möglich, da beispielsweise 39 (n=4) nicht ganzzahlig durch 4 teilbar ist
aber 1092 (n=7) durch 7 schon (156)
ob n gleichzeitig durch 3 teilbar sein muss verstehe ich immer noch nicht...
mal sehn ob es besser wird wenn wir den insulanern gleich ihre ternärzahlen als trikot also als bezeichnung geben, also bei n=3 (12 teilnehmern) nicht mehr die buchstaben A-M verwenden, sondern die auswahl aus 1-27 vornehmen,
evtl findet man damit geschickt gründe die supersymmerie ausschliessen,
ich werde suchen ob bei n>3 dann immer direkt ternär-brüder in einzelnen ketten auftreten, wie es bei n=4 jedenfals sofort auftritt
RLLR würde als weitere gruppenkandidaten ja RRLL und dann LRRL... benötigen was schon der ternär-bruder von RLLR ist, sich also (unabhängig von der obigen nichtprimzahl) nochmals die supersymetrie ausschliesst
ist das bei n=5 (und folgend) immer auch der fall?
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