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  Differenzgleichungen |
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Schmonis
Junior 
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2023-09-28
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Ich habe zwei Funktionen f(x,y) und g(x,y) gegeben. Daraus kann ich die Differenzfunktion h(x,y)=f(x,y)-g(x,y) ausrechnen. Kann ich mithilfe des Gradienten und der Hesse-Matrix daraus Eigenschaften über die Lage der beiden Ursprungsfunktionen herausbekommen, speziell Schnittpunkt und Schnittkurve? Meine Idee wäre bspw eine Nullstelle im Gradient h(x,y), welche durch die Hesse-Matrix als Minima von h(x,y) definierbar ist. Dadurch müsste bewiesen sein, dass die beiden Funktionen sich nur in diesem Punkt schneiden. Gilt das auch für andere Punkte? (Maxima, Sattelpunkte)
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cisfinite
Aktiv 
Dabei seit: 31.01.2023
Mitteilungen: 102
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-28
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Verstehe ich richtig, Du fragst in voller Allgemeinheit, ob man durch Ableiten usw. einer gegeben Differenzfunktion $h$ etwas über die gegenseitige Lage von $f$ und $g$ erfahren könnte?
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Schmonis
Junior
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Jup. In einer Altklausur wurde das angewendet. Hierbei war der gegebene Punkt auf der Differenzfunktion ein Minimum, wodurch gezeigt wurde, dass es sich um ein Berührpunkt der beiden Ursprungsfunktionen handelt, jedoch keine Schnittkurve existiert. Ich wollte das besser nachvollziehen, habe aber zu diesem Trick weder in meinem Skript noch sonst wo etwas finden können.
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11578
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-28
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Deine Frage war sehr allgemein Lage von f und g usw. jetzt hast du Einen Punkt gefunden in dem der Abstand der 2 minimal ist, ausserdem liegt der Punkt auf g und f, also ist doch klar, dass das ein berühr-unkt ist. Aber sonst nichts über f und g sagt, ausser keine Schnittkurve .
lula
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cisfinite
Aktiv 
Dabei seit: 31.01.2023
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-28
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Da sollte aber noch mehr über die beiden Funktionen bekannt gewesen sein? Ich kann mir nicht vorstellen dass man beispielsweise aus $f(x,y)-g(x,y)=x^2+1$ viel über $f$ und $g$ wird aussagen können.
Ansonsten probier die Idee doch einmal mit Beispielen einfacherer Funktionen im $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ aus.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Schmonis
Junior 
Dabei seit: 09.09.2023
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Okay vielleicht hilft es ja, wenn ich direkt das Beispiel angebe:
f(x,y)=2x^2 -2y+3, g(x,y)=4x-y^2
Der Berührpunkt (1,1) wurde angegeben. Als Aufgabe wurde genannt, ob die durch z=f(x,y) und z=g(x,y) definierten Flächen im R^3 sich an der Stelle nur berühren. oder ob Sie in einer Umgebung dieser Stelle eine gemeinsame Schnittkurve haben. Als Hinweis wurde die Differenzfunktion gegeben.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11117
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-09-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
hier ist aber
\[f(1,1)=2-1+3=4\neq 3=4-1=g(1,1)\]
Also ist \((1,1)\) kein Berührpunkt in diesem Beispiel.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Schmonis
Junior
Dabei seit: 09.09.2023
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Mein Fehler, hab mich in der Hast vertippt, jetzt stimmt die Angabe
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11117
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-09-28
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\quoteon(2023-09-28 17:20 - Schmonis in Beitrag No. 7)
Mein Fehler, hab mich in der Hast vertippt, jetzt stimmt die Angabe
\quoteoff
Ok. Dann hast du aber bisher eine entscheidende Kleinigkeit bei der Sache vergessen: die Differenzenfunktion kann theoretisch irgendein Minimum annehmen, meinetwegen \(d_{\on{min}}=-157\). Dann sagt das gar nichts aus.
Hier ist ja schon ein Berührpunkt angegeben, d.h., man weiß, dass das Minimum der Differenzenfunktion gleich Null ist (was sie natürlich in jedem gemeinsamen Punkt von \(f\) und \(g\) sein muss), und so kann man hier (mit den gegebenen Funktionen und dem gegebenen gemeinsamen Punkt) auf einen Berührpunkt schließen.
Das alles stand aber so nicht im Themenstart (der ist eher missverständlich formuliert und wurde wohl teilweise auch so verstanden, dass nur die Differenzenfunktion bekannt ist und aus deren charakteristischen Punkten Rückschlüsse auf die beiden Funktionen gewonnen werden sollen, welche die Differenz bilden. Dazu bräuchtest du dann noch eine Kristallkugel...).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Schmonis
Junior
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Ich kann verstehen, dass meine anfängliche Formulierung schlecht gewählt war. Allerdings bleibt bei mir jetzt noch die Frage offen, wie man genau bestimmen kann, ob zwei Funktionen sich nur berühren oder außerdem eine Schnittkurve haben?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11117
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-28
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\quoteon(2023-09-28 17:47 - Schmonis in Beitrag No. 9)
Ich kann verstehen, dass meine anfängliche Formulierung schlecht gewählt war. Allerdings bleibt bei mir jetzt noch die Frage offen, wie man genau bestimmen kann, ob zwei Funktionen sich nur berühren oder außerdem eine Schnittkurve haben?
\quoteoff
Die Differenzenfunktion lautet hier ja:
\[\ba
d(x,y)&=f(x,y)-g(x,y)\\
\\
&=2x^2-4x+y^2-2y+3\\
\\
&=2x^2-4x+2+y^2-2y+1\\
\\
&=2(x-1)^2+(y-1)^2
\ea\]
Der Graph dazu verläuft offensichtlich nirgends unterhalb der xy-Ebene, sondern berührt diese in seinem Scheitel/Tiefpunkt.
Damit weiß man, dass die Differenz der Graphen von \(f\) und \(g\) nichtnegativ ist und ihr Minimum an der fraglichen Stelle annimmt, eben mit dem Minimalwert Null. Und daraus folgt hier der Berührpunkt.
(Würde die Differenzenfunktion unterschiedliche Vorzeichen und insbesondere an weiteren Stellen den Wert Null annehmen, dann würde es offensichtlich weitere gemeinsame Punkte geben, bspw. in Form einer Schnittkurve. Du solltest hier also nicht versuchen, aus der Vorgehensweise irgendwelche allgemeingültigen Verfahren abzuleiten, sondern es als das anschauen, was es ist: ein Kniff, speziell auf diesen Fall gemünzt.)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Schmonis
Junior
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Alles klar, danke für die ausführliche Erklärung!
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Schmonis hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Schmonis hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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