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 Wie das Auflösen von Polynomgleichungen algebraisch unabhängiger Elemente algebraisch beschreiben? |
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IVmath
Aktiv 
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 765
 |  Themenstart: 2023-09-29
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Hallo,
ich möchte das Herangehen beim Auflösen von Gleichungen einer Variablen beschreiben (das Auffinden symbolischer Lösungen).
Das Anwenden algebraischer Operationen beim Auflösen von Gleichungen bedeutet Anwenden algebraischer Funktionen.
1.)
Ist das Umstellen einer Gleichung gleichbedeutend mit dem Anwenden von Funktionen auf die linke und die rechte Seite der Gleichung jeweils von links?
Wie kann man das mathematisch besser formulieren? Mit "Linksverknüpfung"?
2.)
Seien $f_1,f_2$ algebraisch unabhängige Funktionen einer komplexen Variablen, und sei $P(X_1,X_2)\in\mathbb{C}[X_1,X_2]$ ohne univariaten Faktor.
Wie kann man zeigen, dass die Gleichung
$$P(f_1(z),f_2(z))=0\tag{1}$$
nicht durch alleiniges Anwenden der Umkehrrelationen von $f_1$ und $f_2$ und algebraischer Funktionen nach $z$ umgestellt werden kann?
geändert:
Wie kann man zeigen, dass die Gleichung
$$P(f_1(z),f_2(z))=0\tag{1}$$
nicht durch Umstellen durch alleiniges Anwenden der Umkehrrelationen von $f_1$ und $f_2$ und algebraischer Funktionen nach $z$ aufgelöst werden kann?
Vielen vielen Dank.
(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)
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IVmath
Aktiv 
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 765
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-30
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Will keiner antworten?
Auch nicht teilweise?
Die Fragen sind doch recht einfach.
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Mandelbluete
Senior
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 627
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\thet}{\vartheta}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}\)
Huhu!
Ich habe den Eindruck, daß die Begriffe etwas durcheinandergeraten sein könnten. Wenn man $f(z) := p_0 + p_1z + p_2z^2 = 0$ nach $z$ umstellt, bekommt man $z = -p_1^{-1}(p_0 + p_2z^2)$, was aber natürlich wenig nützt. Vielmehr scheint es um die Frage nach den Nullstellen eines Polynoms, und ob sich diese durch Wurzelausdrücke in den Koeffizienten auflösen lassen, zu gehen, wie es ja auch in der Überschrift heißt. Die Antwort lautet, daß dies für Polynome vom Grad $\leq 4$ immer möglich ist und sonst in den Fällen, in denen die Galoisgruppe der Gleichung auflösbar im Sinne der Gruppentheorie ist (für Grad $\leq 4$ ist das automatisch gegeben; für Grad $>4$ kann man immer ein Polynom konstruieren, für welches das nicht gilt).
Dein quadratisches Polynom kann man durch quadratische Ergänzung auf die Form
\[
f(z) = p_2\biggl[\Bigl(z + \frac{p_1}{2p_2}\Bigr)^2 - \frac{\Delta}{(2p_2)^2}\biggr]
\]
bringen, und wenn die Diskriminante $\Delta = p_1^2 - 4p_0p_2$ eine Wurzel hat, was in $\C$ ja immer der Fall ist, läßt sich $f$ in Linearfaktoren zerlegen,
\[
f(z) = p_2\Bigl(z + \frac{p_1 - \sqrt{\Delta}}{2p_2}\Bigr)\Bigl(z + \frac{p_1 + \sqrt{\Delta}}{2p_2}\Bigr),
\]
und für die Nullstellen bekommt man die übliche Formel. Dies sind algebraische Umformungen des Polynoms $f(z)$ mit den Rechenoperationen, die in der $\C$-Algebra $\C[X]$ gelten. Die Null auf der rechten Seite spielt bis zum Schluß keine Rolle. Mit Anwendung von Operatoren von links oder rechts hat das nichts zu tun. Das wären wohl Abbildungen $\C[X] \to \C[X]$? Aber die würden aus dem $f$ ja (meist) ein anderes Polynom machen, das dann ganz andere Nullstellen hat.
"Algebraisch unabhängig" heißt, daß eine Polynomgleichung $P(f_1,f_2) = 0$ gerade nicht gelten kann.
Wenn das die Fragen nicht beantwortet, versuche einmal, ein konkretes einfaches Beispiel anzugeben, bei dem Du nach $z$ "umstellst", so, wie Du es willst, und an dem Du auch erklären kannst, was Du mit "Anwenden von Funktionen" meinst.
Beschäftigst Du Dich hobby- und interessenmäßig hiermit, wenn Du weder Mathematiker noch Student bist?
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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IVmath
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Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 765
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-30
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\quoteon(2023-09-30 16:09 - Mandelbluete in Beitrag No. 2)
Huhu!
Ich habe den Eindruck, daß die Begriffe etwas durcheinandergeraten sein könnten. Wenn man $f(z) := p_0 + p_1z + p_2z^2 = 0$ nach $z$ umstellt, bekommt man $z = -p_1^{-1}(p_0 + p_2z^2)$
\quoteoff
Oh ja, danke. Ich habe meine Fragen 2 und 3 jetzt doch mit "Auflösen" umformuliert, so wie ich es ursprünglich hatte.
Ich muss ja gerade zwischen den Begriffen Umformen und Umstellen unterscheiden.
In der Definition einer Funktion $f$ mit $f\colon x\mapsto f(x)$ ist $f(x)$ der Funktionsterm.
Umstellen ist eine Umformung, bei der auf die linke und die rechte Seite der Gleichung jeweils eine äußere Funktion mit ein und demselben Funktionsterm angewendet wird.
Mein "äußere Funktion" darin scheint mir noch nicht definiert zu sein, gemeint ist die äußere Funktion einer Verkettung von Funktionen (Funktionskomposition). Kann man das in meiner Definition "Umstellen" noch genauer formulieren?
Es ist unbefriedigend, dass es keine allgemeine Lösungstheorie zum Lösen von transzendenten Gleichungen einer Variablen in geschlossener Form gibt.
(Da die Mathematiker das Problem nicht behandeln, muss ich das wohl machen. Es gibt ja bereits einige wenige punktuelle Problemlösungen, auf die man aufbauen kann. Ich konnte auch schon ein paar neue mathematische Sätze dazu entwickeln.)
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