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  Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit |
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WindowsXP
Junior 
Dabei seit: 02.10.2023
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2023-10-02
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Es geht um folgende Aufgabe:
Sei f: \IR^2->\IR eine Funktion. Zeigen Sie: Ist f in (0,0) differenzierbar, so ist f in (0,0) stetig.
Eine Funktion ist ja differenzierbar in (0,0), wenn eine lineare Abbildung L:\IR^n->\IR existiert, sodass für v=(v_1, v_2) gilt:
f(v)=f(0)+Lv+r(v) mit r(v)/norm(v)->0 für norm(v)->0 .
Und stetig ist sie in (0,0), wenn für jede Folge, die gegen (0,0) konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen f(0,0) konvergiert.
Aber wie bringe ich nun beides in Einklang miteinander? Ich habe da leider überhaupt keine Idee. Kann mir jemand weiterhelfen?
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2802
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-10-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo und willkommen hier :)
Mit der Darstellung von $f(v)$ kannst du direkt den Grenzwert bestimmen:
$$
\lim_{v\to (0,0)} f(v)=\lim_{v\to (0,0)}(f(0,0)+L(v)+r(v)).
$$
Nun musst du dir nur noch ansehen, wie sich $L(v)$ und $r(v)$ für $v\to (0,0)$ verhalten und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden. Siehe zum Beispiel auch https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1996#s64556
LG Nico\(\endgroup\)
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WindowsXP
Junior
Dabei seit: 02.10.2023
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-02
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Danke für deine Antwort! Also wenn ich das richtig verstehe, gilt lim(v->(0,0),L(v))=0 weil L(v) eine lineare Abbildung ist - reicht das als Begründung? Die Grenzwerte für f(0,0) und r(v) sind ja klar.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2802
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-10-02
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Ja, das reicht in diesem Fall. Lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen normierten Vektorräumen sind stetig.
LG Nico
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WindowsXP
Junior
Dabei seit: 02.10.2023
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-02
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Ok, dann ist die Sache für mich erledigt. Danke dir!
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WindowsXP hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WindowsXP hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | WindowsXP wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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