| Autor |
 Gleichheit konformer Abbildungen |
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WindowsXP
Junior 
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 |  Themenstart: 2023-10-03
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Ich habe die folgenden beiden Teilaufgaben:
a) Sei D die offene Einheitskreisscheibe und f,g: D->D zwei konforme Abbildungen mit
f(0)=g(0)=0, f'(0)=g'(0).
Zeigen Sie: f = g.
b) Sei \Omega \subset\ \IC offen und einfach zusammenhängend und z_0 \el\ \Omega . Es seien f,g: \Omega -> \Omega konform mit f(z_0)=g(z_0) und f'(z_0)=g'(z_0) . Zeigen Sie: f = g.
Ich vermute mal, dass ich hier den Riemannschen Abbildungssatz anwenden muss. Dieser besagt ja bei a), dass genau eine konforme Abbildung von D nach D existiert mit f(0)=0 und f'(0)>0. Aber es ist in der Aufgabenstellung nirgendwo gesagt, dass tatsächlich f'(0)>0 bzw. g'(0)>0 gilt.
Bei der b) bereitet mir die Tatsache, dass die Abbildungen f und g nicht die Einheitskreisscheibe als Zielmenge haben, zusätzlich Schwierigkeiten.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-10-03
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
das Lemma von Schwarz wäre hier ein gutes Stichwort. Betrachte dazu $\varphi:=f\circ g^{-1}$.
Du scheinst allerdings bereits die Eindeutigkeitsaussage des Riemannschen Abbildungssatzes zu haben. Dann kannst du nach wie vor $\varphi\colon \mathbb D\to \mathbb D$ betrachten und zusätzlich bemerken, dass $\opn{id}_{\mathbb D}$ eine konforme Abbildung mit $\opn{id}_{\mathbb D}(0)=0$ und $\opn{id}_{\mathbb D}'(0)>0$ ist. Zeige also noch, dass $\varphi$ konform ist und ebenfalls $\varphi(0)=0$ sowie $\varphi'(0)>0$ erfüllt. Demnach muss dann $\varphi=\opn{id}_{\mathbb D}$ gelten.
Bei der b) kannst du dann den Riemannschen Abbildungssatz bemühen und damit eine konforme Abbildung $h\colon \Omega\to \mathbb D$ mit $h(z_0)=0$ und $h'(z_0)>0$ finden. Mit Hilfe von $h$ kannst du b) auf a) zurückführen. Das geht natürlich nur, wenn $\Omega\neq \mathbb C$ ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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WindowsXP
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-04
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Danke für deine Antwort! Ich verstehe deinen Ansatz für die a) und habe nun gezeigt, dass \phi konform ist. Aber wie zeige ich nun, dass \phi(0)=0 und dass \phi '(0)>0 gilt? Es ist ja \phi(0)=f(g^(-1)(0)) , aber woher soll ich wissen, dass g^(-1)(0)=0 gilt? Und anhand von \phi '(z)=(f'(g^(-1)(z)))/(f'(f^(-1)(z))) sehe ich nur \phi '(0)!=0 , aber wieso ist nun \phi '(0)>0 ?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-10-04
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
$f$ und $g$ sind konform, also insbesondere bijektiv. Andernfalls würde es doch gar keinen Sinn ergeben, von $g^{-1}$ zu sprechen. Folglich ist $g(0)=0$ äquivalent zu $g^{-1}(0)=0$. Die Ableitung von $\varphi$ in $0$ ergibt sich damit zu
$$
\varphi'(0)=\frac{f'(g^{-1}(0))}{g'(g^{-1}(0))}=\frac{f'(0)}{g'(0)}=1>0.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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WindowsXP
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-04
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Danke, dann habe ich die a) denke ich mal verstanden.
Zur b): mir ist noch nicht ganz klar, wie h mit f und g zusammenhängt. Also \Omega lässt sich nach dem Riemannschen Abbildungssatz biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe abbilden, und dies geschieht durch die Funktion h, aber wie genau begründe ich damit, dass f=g gilt?
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-10-04
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Es gibt mit den gegebenen Daten nur eine einzige sinnvolle Möglichkeit, wie man aus $f$ bzw. $g$ mit Hilfe von $h$ jeweils eine Abbildung $\mathbb D\to \mathbb D$ bekommt.
LG Nico\(\endgroup\)
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WindowsXP
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-04
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Du meinst h\circ\ f\circ\ h^(-1) bzw. h\circ\ g\circ\ h^(-1) ?
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-10-04
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Wie sonst🙂 Jetzt zeigst du, dass $F:=h\circ f\circ h^{-1}$ und $G:=h\circ g\circ h^{-1}$ die Voraussetzungen von a) erfüllen, woraus $F=G$ und damit $f=g$ folgt.
LG Nico\(\endgroup\)
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