Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 30.11.2023 21:19 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Analysis » Stetigkeit » Differenzierbarkeit und Lipschitzbedingung
Autor
Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit und Lipschitzbedingung
Taeubling
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.06.2023
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2023-10-03

Hallo, im beweis dieser Aussage für konvexe Mengen habe ich Probleme beim Verständnis der rück-Richtung. Der Beweis stammt aus einer Masterarbeit https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56393_Screenshot_2023-10-03_165817.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56393_Screenshot_2023-10-03_170050.png Was passiert hier formal in den "großen" Betragsstrichen? Die Funktion ist Vektor-wertig, die Jacobi Matrix eine nxn Matrix, wie soll das funktionieren? Falls jemand einen alternativen Beweis hat wäre mir schon sehr geholfen :D

   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-10-03

\quoteon(2023-10-03 17:04 - Taeubling im Themenstart) Die Funktion ist Vektor-wertig, die Jacobi Matrix eine nxn Matrix, wie soll das funktionieren? \quoteoff Die Jacobi-Matix wird doch auf den Vektor $h$ angewandt, es wird also die Norm eines Vektors betrachtet. Der Inhalt der äußeren Betragsstriche sollte dir aus der Definition der Ableitung bekannt sein,$$ f(z_0+h)-f(z_0)-Df(z_0)\,h=o(|h|) \;, $$und daraus folgt$$ \left|Df(z_0)\,h\right|\le |f(z_0+h)-f(z_0)|+o(|h|) \le L\,|h|+o(|h|) $$bzw.$$ \left|Df(z_0)\,{h\over|h|}\right|\le L+{o(|h|)\over|h|} \;. $$$h\to0$ liefert dann $|Df(z_0)\,n|\le L$ für alle $n$ auf der Einheitssphäre und damit $\|Df(z_0)\|_{\mathcal F}\le L$. --zippy PS Dafür, dass der Beweis aus "[Kni22a]" abgeschrieben ist, hat es der Autor aber eindrucksvoll geschafft, seinen schlampigen Arbeitsstil zu demonstrieren.

   Profil
Taeubling
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.06.2023
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-04

Vielen Dank für die Antwort, das Ergibt natürlich Sinn, habe das h im Zähler vergessen...

   Profil
Taeubling hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]