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  Substitution |
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Dark_Querulant
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 |  Themenstart: 2002-11-08
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Huhu!
Kann mir jemand mal bei der Substitution helfen?
Ich verstehe die nicht ganz.
Wieso muss man es mit dm Differential " u' " multiplizieren?
In wie fern beeinflusst es die Grenzen?
Gruß
DQ
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scorp
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-08
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Hi!
Kann es sein, dass du da was durcheinander wirfst? Substitution bedeutet nur, dass du einen Term/Ausdruck durch einen anderen ersetzt (meist um die Gleichung übersichtlicher zu halten). Nach erfolgreichem Vereinfachen wird dann wieder rücksubstituiert; aber was das mit u' zu tun haben soll ist mir schleierhaft.
viele Grüße,
/Alex
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Dark_Querulant
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-08
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Naja,
Wenn man Substitution bei Integralen anwendet, dann muss man doch das ganze mit dem Differentail multiplizieren:
ò u du 'u, oder so?!
Gruß
DQ
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scorp
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| Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-08
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Schreib doch einfach mal die ganze Aufgabe hin, das wäre für alle hilfreich...
Gruß,
/Alex
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Dark_Querulant
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-08
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Eigentlich geht es um Substitution allgemein...
aber gut ich gebe ein konkreteres Beispiel:
òx²·dx
u=x²
òu·du
u²/2
x4/2
Das ist ja falsch...
Ich weiß, dass man hier eigentlich keine Substitution braucht, aber es ist ja auch nur ein Beispiel.
Kann mir jemand sagen, wie es richtig geht und, warum?
Gruß
DQ
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scorp
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-11-08
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Meinst du vielleicht das da:
òu(x) u'(x) dx = u²(x) / 2?
Ansonsten könnte ich dir nur noch die Produktregel anbieten, die du aber sicherlich nicht meinst:
òu'(x) v(x) dx = u(x) v(x) - ò u(x) v'(x) dx
...oder steh ich mal wieder voll auf dem Schlauch?
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Johnnie_Walker
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2002-11-08
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Hi Dark,
allgemein besagt die Substitutionsregel :
aòbf[j(x)]*j'(x)dx
= j(a)òj(b)f(z)dz
Versuche diese Formel zu verstehen. Du kannst sie anwenden, wenn im Integral die Ableitung des zu substituierenden Ausdrucks (oder etwas, was leicht zu einer Ableitung umgeformt werden kann) vorkommt.
hier mal ein Beispiel für eine Substitution :
0ò22x*sin(x²+1)dx
Setze z=x²+1 = j(x)
Dann ist j(x)=x²+1
und j'(x)=2x
und dieser Term steht als Faktor im Integranden.
Es ergibt sich : f(z)=sin z
Die Grenzen musst Du in j(x) einsetzen und erhälst die neuen Grenzen :
j(0)=1 und j(2)=5
es ergibt sich 1ò5 sin z dz = -cos z [Grenzen 1 bis 5] = -cos 5 + cos 1 = -0,28366 + 0,54032 = 0,25664
Gruß, Johnnie
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Dark_Querulant
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-09
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Nein.
Ich meinte eigentlich die Funktion x². Diese wil ich jetzt integrieren:
ò x²·dx
jetzt setze ich u = x² (auch wenn es eigentlich überflüsig ist) jetzt heißt es:
ò u·du
wie geht es jetzt weiter?
Gruß
DQ
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Dark_Querulant
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-09
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Man kan die Substition doch auch in Integralen benutzen, bei denen die Ableitung nicht schon vorher da ist, oder?
Gruß
DQ
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Johnnie_Walker
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| Beitrag No.9, eingetragen 2002-11-09
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Hi Dark,
In Deinem Integral steht nicht die Ableitung mit drin. Damit Du die Substitution anwenden kannst, musst Du die Ableitung irgendwie reinbekommen :
òx² dx
u=x²
du=f'(x)dx=2x dx
òu/(2Öu) du
= ò1/2 u1/2 du=
1/2*2/3*u(3/2)
Rücksubstitution : u=x²,
1/3 (x²)(3/2)
= 1/3 x³
Klar geworden ?
Du musst du = f'(x) dx setzen, also dx = du/f'(x). Wenn f'(x)in dem Integral vorkommt, kürzt es sich weg. Wenn nicht (wie in Deinem Fall) hast Du noch ein x in deinem substituierten Integral stehen (in Deinem Fall 1/(2x)). Hier musst Du dann nochmal substituieren (x²=u => x=Öu)
Gruß, Johnnie
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Cousinchen
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2002-11-09
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Hallo!
Von Integralen hab ich zwar keine Ahnung, aber Substitutionen machen doch immer bloß dann Sinn, wenn du nur gerade Hochzahlen hast.
Du hattest doch x²·dx geschrieben und bist dann durch Substitution von x²=u auf u·du gekommen.
Das müsste aber eigentlich u·d WURZEL u heißen, oder?
Und wenn du dann irgendwelche Wurzeln rumstehen hast, wird die Gleichung ja nicht wirklich einfacher.
MfG,
Cousinchen
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Dark_Querulant
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-09
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Danke Johnny!
Ich habe es verstanden.
Jetzt muss mir nur noch jemand zeigen, warum das so ist.
Gruß
DQ
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Dark_Querulant
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-22
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OK, das ist jetzt das alte Topic. Aber hier ist leider auch nicht die Antwort auf meine Frage. Ich würde gerne wissen, warum man das so macht und nicht anders.
Gruß
DQ
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Dark_Querulant
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|  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-22
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Um ein paar Angaben zu machen:
warum ändern sich die Grenzen von:
a
ò
b
in
g(a)
ò
g(b)
und was hat mit dem differential 'u auf sich.
Gruß
DQ
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Martin
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 | Beitrag No.14, eingetragen 2002-11-23
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Hi dark!
Hier mal meine Betrachtungen zur Substitution:
Nehmen wir an, wir haben das Integral
Int {f(x) dx} gegeben. Wir suchen eine Stammfunktion F(x). Wir finden jetzt, man könnte es mit Substitution lösen. Wir substituieren g(t) = x.
Irgendwie kommen die in den Lehrbüchern schließlich auf:
Int {f(g(t))*g'(t) dt}
Sehen wir uns den Integranden an, könnte man sich uU. an die Kettenregel aus der Differentialrechnung erinnern:
F(g(t))' = f(g(t))*g'(t) (... "Äußere mal innere Ableitung" ...)
Die "äußere Ableitung" ist gerade wieder f, da ja F (die Stammfunktion) abgeleitet wieder f ergeben soll.
In Worte heißt das: Machen wir aus dem Integranden mittels g(t) = x eine Kettenfunktion und multiplizieren diese mit der Ableitung
der "inneren" Funktion g(t) erhalten wir als Stammfunktion eine Kettenfunktion F(g(t)). Mit g^(-1)(x) = t (g^(-1) ist die Umkehrfunktion zu g) erhalten wir F(x), die gesuchte Stammfunktion.
Vielleicht noch Folgendes:
Sie f (die Funktion, von der wir ursprünglich ausgehen) auf I definiert. Weiters sei g (die Funktion, mittels der wir substituieren) auf I_0 definiert, so dass g(I_0) = I ist. (Der Wertbereich von g ist also der Definitionsbereich von f.)
g' ist immer ungleich 0. (Das bedeutet, dass g selbst streng monoton, wodurch
g^(-1) sicher existiert.)
Phi'(t) = f(g(t))*g'(t) besitze auf I_0 (dem Definitionsbereich von g) eine Stammfunktion Phi(t) (klarerweise, immerhin hoffen wir damit leichter eine Stammfunktion zu finden als mit
f(x) selbst.).
Unter diesen Bedingungen existiert mit
Phi(g^(-1)(x)) = F(x) eine Stammfunktion für f auf I.
Der Kürze halber sei h(x) := g^(-1)(x) (und weil's einfacher ist beim Abschreiben *g*):
F'(x) = Phi(h(x))' = (... Kettenregel ...) =
Phi'(h(x))*h'(x) = f(g(h(x)))*g'(h(x))*h'(x) =
(... jetzt kommt, wieder aus der Differentialrechnung, ein Satz über die Ableitung einer Umkehrfunktion:
h'(x) = 1/g'(h(x)) ...) =
f(x)*g'(h(x))*1/g'(h(x)) = f(x).
(Hier ist f(g(h(x))) = f(x), da sich g und h ja "aufheben".)
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-11-23 07:05 ]
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Dark_Querulant
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-23
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Dieses:
"Irgendwie kommen die in den Lehrbüchern schließlich auf:
Int {f(g(t))*g'(t) dt} "
ist genau das, was mich interessiert *g*
Gruß
DQ
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