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  Divergenz mit Cauchy Kriterium |
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Graves666
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 16.10.2002
Mitteilungen: 32
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2002-11-12
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Soll mit dem Cauchy-Kriterium zeigen, dass:
Die Folge (an) mit an = (-1)n (1- 1/n)
Divergent ist...
Habe das mit dem Cauchy Kriterium aber net so ganz verstanden... könnte mir das vielleicht mal jemand anhand der Aufgabe oben so einfach wie möglich erklären?
Wäre euch sehr dankbar! 
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scorp
Senior 
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-12
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Hab zwar keine Ahnung vom sog. Cauchy-Kriterium, aber wenn du dir deine Folge mal anschaust, so kannst du die in zwei Folgen zerlgen:
an = (-1)n · (1-1/n)
Sei bn = (-1)n und cn = (1-1/n)
Also an = bn · cn.
cn kovergiert, da limn -> ¥ 1/n = 0, und somit ist
limn -> ¥ cn = 1.
Für bn hast du abwechselnd die Werte -1, +1, -1, +1... diese Folge divergiert folglich, da bn+1 = -bn und bn¹0.
Somit divergiert auch an.
Vielleicht hilfts dir ja,
Gruß,
/Alex
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Graves666
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.10.2002
Mitteilungen: 32
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-12
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Das weiß ich ja schon, aber in der Aufgabe ist ja explicit nach dem Cauchy Kriterium gefragt, daher muss ich sie ja wohl auch damit lösen... wäre toll, wenn jemand mir da weiterhelfen kann!
MfG
Graves666
PS: Trotzdem danke für deine Antwort!
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N-man
Senior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
 | Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-13
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Eine notwendige Bedingung für Konvergenz einer Folge anist, ist das für alle e>0 ein NÎIN existiert, so dass
|ak-al|<e für alle m,k>N.
Das meinst du mit Cauchy-Kriterium?
Dann wähle dir einfach mal ein e.
Z.B. e=1.
Es gibt jetzt aber ein NÎIN, so dass die Folgeglieder ai abwechselnd größer 0.5 bzw kleiner -0.5 sind für alle i>IN. Das N ist in diesem Fall 2. Dann ist die Differenz aufeinanderfolgender Folgenglieder immer größer 1, ab dem besagten Index.
Also e=1 erfüllt die Bedingung nicht. Da es aber für alle e gelten soll, ist das Cauchy-Kriterium nicht erfüllt.
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