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| Autor |
  Supremum,
Infimum,
Induktion |
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Herb
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.10.2002
Mitteilungen: 110
Wohnort: Oldenburg
 |  Themenstart: 2002-11-13
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Moin, moin!
Ich hab hier noch ein Problem:
Berechnen Sie für D:={n²*2^-n|neN} das Supremum und das Infimum. Existieren auch das Minimum und/oder das Maximum?
Hinweise:
1. Schreiben Sie die ersten fünf Elemente von D auf.
2. Ab welchem n fällt der Ausdruck n²*2^-n monoton?
3. Ab welchem n gilt n²*2^-n <= 1/n?
Nachdem ich die ersten fünf Elemente berechnet habe, habe ich festgestellt, dass der Ausdruck ab n=3 monoton fällt. Also muss ich folgendes per Induktion zeigen: n²*2^-n >= (n+1)²*2^-(n+1)
Als Induktionsanfang zeige ich, dass die Behauptung für n=3 gilt. Den Induktionsschluß bekomme ich aber nicht hin. Kann mir da jemand helfen?
Wie zeige ich, dass es ein Maximum für n=3 gibt, aber kein Minimum? Außerdem weiß ich nicht, wozu der 3.Hinweis gut sein soll.
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Herb
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.10.2002
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Wohnort: Oldenburg
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-13
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Wahrscheinlich ist es hier sinnvoller, mittels vollständiger Induktion zu zeigen, dass ab n=5 gilt: n² < 2^n. Kann mir jemand zeigen, wie man eine vollständige Induktion bei dieser Ungleichung durchführt?
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Herb
Ehemals Aktiv
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-13
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Hab die vollständige Induktion jetzt hinbekommen. Da der Ausdruck ab n=5 monton fällt und ich für n=3 den größten Wert ermittelt habe, ist dieser Wert ja mein Maximum. Es gibt kein Minimum, da der Ausdruck ja monoton fällt. Mein Supremum ist mein Maximum. Das Infimum ist 0. Kann ich das daraus ableiten, dass der Ausdruck ja immer ungleich 0 ist oder muß ich das noch beweisen. Wenn das alles richtig ist, wozu brauche ich dann den 3.Hinweis?
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Ende
Senior
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Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-13
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Hallo, Herb!
Den 3. Hinweis brauchst Du, um zu zeigen, dass das Infimum tatsaechlich 0 und nicht etwa 1 ist. Daraus, dass eine Folge monoton fallend ist, kannst Du noch nicht folgern, dass ihr Infimum 0 ist. Betrachte zum Beispiel die Folge (xn)nÎIN mit xn := 1 + 1/n.
Gruss, E. 
P.S.: Abgesehen von diesem Argumentationsfehler ist alles andree richtig. Bravo! 
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Herb
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Dabei seit: 18.10.2002
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-13
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Vielen Dank erstmal. Kann ich einfach sagen, dass 1/n für n >= 10 gegen Null strebt oder muss ich das noch beweisen? Wenn n²*2^-1 dann kleiner als 1/n ist, muss es dann ja auch gegen Null streben. Das kapier ich. Zeige ich die Ungleichung in Hinweis 3 wieder mit vollständiger Induktion? Kannst Du mir beim Induktionsschluß vielleicht helfen?
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Herb
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|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-14
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