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  supremum Grenzwert |
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LaLa
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.06.2002
Mitteilungen: 97
 |  Themenstart: 2002-11-15
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Hi
Sei (an) nÎN eine monoton wachsende folge reeller zahlen. Zeigen sie:
b=sup{an|nÎN} <-> b = lim (n-> ¥) an
irgendwie sollen wir das mit e zeigen, aber ich weiss nich wie :(
THX
BigHeart
[ Nachricht wurde editiert von bigheart am 2002-11-15 15:56 ]
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 Profil
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Plex_Inphinity
Senior 
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-15
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Hi,
Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke dieser Menge.
Ich weiß nicht, ob ihr folgende Äquivalenz schon bewiesen habt.
b = sup {an| n Î IN}
<=>
b >= an für alle n Î IN
und zu jedem e> 0 gibt es mindestens
ein an mit an > b-e
in Worten:
b ist Supremum von M={an | n Î IN}
genau dann , wenn
1. b obere Schranke von M ist
und
2. keine Zahl < b noch obere Schranke sein kann (b-e ist immer eine kleiner Zahl als b)
, sonst wäre ja diese b-e eine kleinere obere Schranke und somit könnte b nicht mehr die kleinste obere Schranke sein.
Mit Hilfe dieser Definition vom Supremum kann man den Satz nun einfacher beweisen.
Man zeigt hierzu das beide Richtungen gelten. Also das aus dem einen jeweils das andere folgt.
Nun fällt dir sicherlich auf, dass dieses an>b-e gewisse Ähnlichkeit mit der e-Definition des limes hat.
Denn |an-b| < e
läßt sich umformen in
-e < an-b < e
und das ist wiederum äquivalent zu
-e+b < an < e+b
<=>
b-e < an < e+b
Obige Definition des Supremums besagt aber nur, dass es MINDESTENS ein an gibt, so dass an > b-e.
Damit b der limes ist muß dies aber für ALLE an ab einem bestimmten n0 gelten.
Die Folge (an) hat aber noch als zusätzliche Voraussetzung die Eigenschaft monoton wachsend zu sein, d.h.
an+1>an. Nun versuch mal dir aus diesen Hinweisen einen formal korrekten Beweis zu basteln. Bei Schwierigkeiten,
meld dich ruhig nochmal.
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Profil
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.2, eingetragen 2002-11-17
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also das obere hab ich jetzt verstanden, aber wie ich das mit dem monoton wachsend da miteinbringen soll ist mir noch schleierhaft....
reciht es da einfach zu sagen da die folge monoton wachsend ist und deshalb die folgeglieder grösser als die vorherigen sind?
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