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| Autor |
  Stetigkeit im mehrdimensionalen Raum |
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Skullwarrior
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.07.2002
Mitteilungen: 91
 |  Themenstart: 2002-11-15
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Hallo,
wie kann ich überprüfen, ob f(x,y) (f:IR^2-->IR) stetig/unstetig ist. Zwei Fälle interessieren mich dabei:
1) f(x,y)=irgend eine rationale Funktion, für x,y ungleich 0
f(x,y)=0 ,für x=0 oder y=0
2) eine Funktion wie beispielsweise g(x,y)=(x^2+y^2)*cos(1/x*y)
Und wie kann ich Polarkoordinaten dabei verwenden?
vielen dank schonmal im voraus
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-16
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Hi Skullwarrior,
nehme ich mal an, daß Stetigkeit bei Euch über Folgen definiert ist.
Um zu zeigen, daß f in (x,y) nicht stetig ist, reicht es zu zeigen, daß für zwei verschiedene Folgen, die beide gegen (a,b) streben, die Funktion verschiedenen 'Grenzwerten' zustrebt.
Für positiven Nachweis muß nämlich jede Folge gegen den gleichen Wert konvergieren.
Polarkoordinaten: setze x = r cos phi und y = r sin phi.
Gruß
Matroid
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Skullwarrior
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.07.2002
Mitteilungen: 91
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-16
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hmm, ok. Das verstehe ich. Könntest Du mir sagen ob ich richtig liege mit folgeneden beiden Lösungen:
1)
(x+y)/(x*y) falls x,y ¹ 0
f(x,y)={
0 falls x=0 oder y=0
Lösung: Für alle (x,y)€IR²\{0,0} ist f als Komposition stetiger Funktionen stetig. Für (x,y)=(a,0) oder (x,y)=(0,b) ist f nicht stetig. Beweis: y=a*x
(x+a*x)/a*x^2)=lim(x-->0) (1+a)/(a*x) = existiert nicht
2)
(x^2+y^2)*cos(1/(x*y)) falls x*y¹0
g(x,y)={
0 falls x*y=0
Lösung: Für alle (x,y)€IR²\{0,0} ist g als Komposition stetiger Funktionen stetig. Weiter weiß ich nicht wie ich hier vorgehen könnte.
Hoffe Du kannst mir helfen bzw. sagen ob´s soweit richtig ist :)
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-16
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Hi Skullwarrior,
die erste Aufgabe scheint mit ok.
Die zweite hat den cos in der Funktion. Das fordert Gegenbeispiele förmlich heraus.
Sei
xn = 1/(2n*Öp).
yn = 1/Öp
(xn,yn) konvergiert gegen (0, 1/Öp).
Eingesetzt in die Funktion liefert 1/xy hier 2np.
Dafür ist der Cosinus = 1 und die Folge f((xn,yn) konvergiert gegen 1/p.
Nun eine andere Folge:
xn = 1/((2n+1)*Öp).
yn = 1/Öp
(xn,yn) konvergiert gegen (0, 1/Öp), genau wie die erste Folge.
Eingesetzt in die Funktion liefert 1/xy hier (2n+1)p.
Dafür ist der Cosinus = -1 und die Folge f((xn,yn) konvergiert gegen -1/p.
Es gibt also zwei Folgen mit gleichem Grenzwert, aber die Folgen der Funktionswerte dieser Folgen konvergieren gegen verschiedene Werte.
f ist nicht stetig.
Gruß
Matroid
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Skullwarrior
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.07.2002
Mitteilungen: 91
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-16
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Hab' vielen Dank Matroid!!!!
Könntest Du mir noch einen Tipp geben, wie ich derartige Gegenbeispiele entwickle?
danke für Deine Mühe und Zeit 
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.5, eingetragen 2002-11-16
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Das Beispiel ist der Tipp.
Man nutzt die Periodizität hemmungslos aus.
Du mußt versuchen es nachzuahmen.
Gruß
Matroid
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