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Mathematik » Analysis » Cauchy-Folge in IQ, die nicht in IQ konvergiert
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Universität/Hochschule J Cauchy-Folge in IQ, die nicht in IQ konvergiert
tstening
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Dabei seit: 27.05.2002
Mitteilungen: 58
  Themenstart: 2002-11-20

Hallo alle miteinander, Ich habe da eine Aufgabe bekommen und stehe wie der Ochse vorm Berg. Kann mir jemand Lösungsansätze oder Ideen geben, wie ich an die Teilaufgaben ranzugehen habe? wir haben eine rekurisv definierte Folge: a_1 := 1 und a_k+1 := (1/2)(a_k + (2)/(a_k)) für k ³ 1 a) Zeigen Sie, dass a²_k ³ 2 und a_k ³ 1 für jedes k ³ 2 gilt. b) Weisen Sie nach, dass für jedes k³ 2 gilt: (a²_k+1 -2) £ (1/4)(a²_k -2) c) Zeigen Sie die Behauptung: Für alle e > 0 existiert ein k_0(e) Î IN für alle k ³ k_0(e)  mit (a²_k - 2) < e d) Zeigen Sie nun: (a_k) ist eine Cauchy-Folge in IQ e) Beweisen Sie: (a_k) konvergeirt nicht in IQ (Hinweis: Zeigen Sie durch Widerspruch, dass es kein a Î IQ gibt mit a² = 2) Zusätzlich sind noch weitere Teilaufgaben angehängt, von denen ich eine hier noch stellen möchte, die wohl weniger mit der eigentlichen Aufgabe zu tun haben: f) Beweisen Sie folgende Behauptung: Seien (a_n) bzw. (b_n) zwei in IQ gegen a bzw. b konvergente Folgen. Dann konvergiert die Folge (a_n + b_n) gegen a+b Wie gesagt, ich stehe da relativ ratlos vor der Aufgabe. Ich bin für jede Hilfe dankbar! :-) Viele Grüße, Tobias

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matroid
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Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-21

Hallo Tobias, ich sag mal was zur f. Seien an und bn konvergente Folgen, gegen a bzw. b. Das bedeutet: zu jedem e1 > 0 $ n1 so daß "n>n1 gilt | an - a | < e1. Analog gilt für bn mit n2 und e2. Weil |an+bn-a-b| £ |an-a|+|bn-b| kann man zu einem e>0 ein gemeinsames n0 finden, so daß "n>n0 gilt |an+bn-a-b| < e. Setze nämlich    e1 = e/2    e2 = e/2 Dan findet man n1 und n2, die |an-a| < e1 und |bn-b| < e2 erfüllen. Dann gilt für die Folge an+bn für alle n > n0 = max(n1,n2), daß |an+bn-a-b| £ |an-a|+|bn-b| < e/2 + e/2 = e. Und da das e beliebig war, gitl dies also für jedes e > 0. Gruß Matroid

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