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 vektorräume |
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mathenoid
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 |  Themenstart: 2002-01-18
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hallo,
ich könnte ein bisschen hilfe bei aufgaben die den vektorraum betreffen gebrauchen.
1)man soll sagen ob w ein teilraum von v über k ist:
V=IR³;k=IR;W={(x,y,z) € V | x=2y}
2)bildet IR² mit den angegebenen operatuionen einen vektorraum über IR?
(x1,x2)+(y1,y2)=(0,x2+y2),lambda(x1,x2)=(0,lambda x2)
3)beschreiben sie die angegebene punktmenge W des IR³ geometrisch,und untersuchen sie ob W ein teilraum des IR³ ist.
W={(x,y,z,) | x+y+z -<0}
anm:-< ist kleiner gleich
x1 ist x eins
y2 ist y zwei etc
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matroid
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-01-18
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Hallo mathenoid,
1) ja! Überprüfe die Definition für Untervektorraum.
2) Die Frage ist also, ob f: IR²->IR²
definiert durch f(x,y) = (0,y) ein Vektorraum ist?
Wie ist denn die Ausdrucksweise "IR² bildet mit der Operation f einen Vektorraum" zu verstehen?
Wenn von einem IR-Vektorraum die Rede ist, dann ist nicht gemeint, daß es sich um einen Unterraum von IR handeln soll. "Über IR" meint die Skalarmultiplikation mit Elementen aus IR.
Am plausibelsten ist für mich die Interpretation: "Ist im(f) ein IR-Vektorraum?"
Und das beantworte ich mit Ja.
Überprüfe bitte, ob f eine lineare Abbildung ist. Wenn ja, dann ist im(f) ein Vektorraum.
3) Es handelt sich um den 'halben' Raum. Wenn Du es Dir nicht vorstellen kannst, dann versuche es mit IR² und x+y <= 0. Dann übertrage das Ergebnis sinngemäß auf IR³.
Diese Punktmenge ist kein Vektorraum (kein IR-Vektorraum), denn ein Vektorraum erlaubt die Multiplikation von (x,y,z) mit jedem l aus IR. Multipliziere mal mit -1!
Gruß
Matroid
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mathenoid
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-19
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hi,
danke für die hilfe.aber könttest du mir ein paar sachen ein bisschen genauer erklären.es ist ja so das ich die sachen irgendwo stehen hab,aber diesen ganzen abstrakten kram zu verstehen und anzuwenden ist das problem für mich.
zu 1)könntest du mir bitte allgemein und möglichst un-mathematisch(also leicht verständlich ;-] )erklären was ein untervektorraum ist und was ihn auszeichnet?
zu 2)äh, blöde frage,aber könntest du mir auch beim begriff der linearen abbildung helfen?
zu 3)wenn ich 1&2 verstehe sollte 3 kein problem darstellen.
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matroid
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|  Beitrag No.3, eingetragen 2002-01-19
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Vektoren kann man addieren und mit Skalaren multiplizieren.
Ein Vektorraum ist nichts anderes als die Menge aller Punkte, die bei Vektoraddition und Skalarmultiplikation hreauskommen kann.
Beispiele: IR² (die Zeichenebene), IR³ (als Modell für den uns umgebenenden 3-dimensionalen Raum).
Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum, der Teilmenge eines anderen Vektorraums ist.
Beispiele: eine Ursprungsgerade im IR² ist ein Untervektorraum des IR².
Denn es handelt sich dabei um einen Vektorraum. Wenn man die Koordinaten von 2 Punkten einer Ursprungsgeraden addiert, dann ergibt sich ein neuer Punkt - und der liegt auf der selben Ursprungsgeraden. Wenn man die Koordinaten eines Punktes mal 2 nimmt, dann ist das Ergebnis ein anderer Punkt der selben Ursprungsgeraden.
Daß dieser Vektorraum eine Teilmenge des IR² ist, ist klar, denn die Gerade liegt ja in der Zeichenebene.
Untervektorräume des IR² sind:
- jede Ursprungsgerade (1 dimensionale Unterräume)
- und der Nullvektorraum (0 dimensionale Unterräume)
- und IR² selbst, denn IR² ist ja auch eine Teilmenge von IR²
Unterrvektorräume des IR³ sind:
- Ursprungsgeraden (1-dim)
- Ebenen durch den Nullpunkt (2-dim)
- der Nullraum
- IR³
Übrigens - auch das ist wichtig:
Der Durchschnitt zweier Unterräume ist wieder ein Unterraum. Wenn man eine Gerade mit einer Geraden schneidet, dann ist die Schnittmenge entweder der Nullvektorraum oder die ganze Gerade. Im IR² ist das noch wenig interessant.
Aber im IR³ kann man feststellen, daß der Schnitt zweier Ebenen auch eine Gerade sein kann.
Die Summe von 2 Unterräumen ist auch ein Unterraum. Was ist die Summe von 2 verschiedenen Ursprungsgeraden des IR³? Das ist eine Ebene. Die beiden Geraden liegen in dieser Ebene. Jeder andere Punkt der Ebene kann als Linearkombination aus Punkten der beiden Geraden dargestellt werden.
Kontrollfrage: warum bilden die Punkte der Geraden y = 2x +1 keinen Untervektorraum des IR² ? Bitte zwei verschiedene Antworten geben.
Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen die linear ist ...
[so erkennt man rein garnichts]
Anschaulich ist jede lineare Abbildung eine Projektion. Die Abbildung einer in den Boden gesteckten Stange auf ihren Schatten (am Boden) ist eine Projektion. Der Mittelpunkt der Stange wird auf den Mittelpunkt des Schattens abgebildet.
Jede Photograph ist eine Projektion von IR³ nach IR².
Durch eine Projektion gehen Geraden in Geraden über. Die Bildgeraden sind gestreckt, oder gestaucht. Im Einzelfall (Stange senkrecht, Äquator, 12 Uhr mittags) ist das Bild einer Geraden ein Punkt. Aber das Bild einer Geraden ist immer ein Unterraum des Bildraums.
Lineare Funktionen kennt man ja seit langem aus der Schule. Wenn eine Banane 50 Pf. kostet, dann kann man die Stückzahl auf den Preis 'projezieren'. Der Zusammenhang zwischen Anzahl Bananen und Preis ist durch eine Gerade im IR² darstellbar.
Der Preis von 3 Bananen plus dem Preis von 4 Bananen ist der Preis von 7 Bananen. Das Rechnen mit Bananen ist linear.
Kontrollfrage: Gib ein Beispiel für eine nicht-lineare Abbildung. Überzeuge Dich davon, daß f(a+b) dann nicht gleich f(a)+f(b) ist (wenigstens nicht für beliebige a und b).
Und was ist nun mit linearen Abbildungen?
Viele Größen hängen in linearer Weise von anderen Größen ab.
In der Analysis studiert man alle möglichen komplizierte Abbildungen. Die linearen Abbildungen sind ganz was einfaches. Aber ihre Bedeutung ist so groß, weil sich in der Ökonomie und in der Technik so viele Sachverhalte durch lineare Beziehungen ausdrücken lassen (auch mit vielen Variablen, also hoher Dimension).
Und die Ökonomen und Techniker stellen aufgrund der linearen Beziehungen zwischen relevanten Größen dann Gleichungssysteme auf und wollen Lösungen haben.
Die Lineare Algebra ist die Theorie dieser Gleichungssystem. Die lineare Algebra befaßt sich nur mit linearen Gleichungen, und sie gibt Antworten auf die Fragen nach der Lösbarkeit, der Anzahl der Lösungen und der Bestimmung konkreter oder aller Lösungen.
Wenn eine Beziehung zwischen Größen nicht linear ist, dann ist die Lineare Algebra nicht zuständig (denn dafür haben die Sätze und Verfahren der LA keine Bedeutung).
Und was ist im allgemeinen die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems? Ein Untervektorraum oder ein verschobener Untervektorraum (affiner Raum).
Wie kann ich Dir helfen? Frag noch mal was.
Gruß
Matroid
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mathenoid
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-20
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hi,
danke nochmal.
erste kontrollfrage:
-erstens keine ursprungsgerade oder nullvektor.
-zweitens bezüglich addition nicht abgeschlossen
zweite kontrollfrage.
-die wurzelfunktion. wurzel(-2+3) ungleich wurzel(-2)+wurzel(3)
zu eins:
-ok es ist bezüglich addtion abgeschlossen weil y,z frei wählbar sind und die addition von zwei zahlen aus IR in IR liegt.und x ist immer ein vielfaches von y: x1+x2=2*y1+2*y2=2*(y1+y2)
aber wie ist das mit dem skalarprodukt?und wie zeige ich das "mathematisch korrekt"?
zu zwei:
-ähh wie zeige ich das es eine lineare abbildung ist.ich versteh den ausdruck (0,x2+y2),lambda(x1,x2) nicht.
zu 3:
-ich schätze mal das w eine ebene ist.wenn das richtig ist wie erkläre ich esßund es ist kein vektoraum weil zb (1,-1,-1)-(5,-5,-3) nicht abgeschlossen ist.und es sollte doch auch bezüglich des inversen abgeschlossen sein,oder?
gruss :-D
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-01-20
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Kontrollfrage 1 = richtig beantwortet.
Aber das Beispiel mit der Wurzel mußt Du anders geben:
w(1+3) ¹ w(1) + w(3)
Du brauchst keine negativen Zahlen. Für negative Zahlen ist
die Wurzel nicht definiert - und darum ist Dein Beispiel kein
Beispiel einer nicht linearen Abbildung.
Um 'Unterraum' zu zeigen mußt Du die Bedingungen dafür nachprüfen.
Und das solltest Du in der üblichen Weise tun.
Die übliche Weise geht so:
Zeige u,veU => u+veU
Da u,v e U mit u = (u1,u2,u3) und v=(v1,v2,v3) gilt
u1 - 2*u2 = 0 und v1 - 2*v2 = 0
Es ist u+v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
(u1+v1) - 2*(u2+v2) = (u1-2u2) + (v1 -2v2) = 0
Folglich ist u+v eU.
Zeige ueU und ceIR => cu e U
Da u e U, u = (u1,u2,u3), gilt
u1 - 2*u2 = 0
Es ist c*u = (c*u1, c*u2, c*u3)
c*u1 - 2* (c*u2) = c *(u1-2u2) = 0
Folglich ist c*u eU.
Jede andere Art von Argumentation wird garantiert nicht vollständig, schwammig und teilweise falsch sein.
Du mußt genau diese Art von Beweis drauf haben.
Für 3 hatte ich die Antwort schon gegeben. Es ist keine Ebene. Es ist eine Halbebene. Du darfst das nicht Ebene nennen, bloß weil es flach und ausgedehnt ist. Eine Ebene ist ein Vektorraum. Eine Tischplatte ist kein Vektorraum, obwohl sie eben ist.
Gruß
Matroid
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-20
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danke für den beweiss,aber ich versteh nich ganz wieso das beweisst das u+v bzw u*c € U ist.es zeigt doch nur das (x1-2y1)+(x2-2y2)=0 ist.
-zu 2:wie zeig ich denn nun das es keine/eine lineare abbildung ist.
-zu 3:wie kann ich mir denn eine halbebene vorstellen.ist das ne ebene mit löchern drinen oder wie?oder heisst das einfach das sie nicht abgeschlossen ist?also wie mit meinem beispiel vom inversem?
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|  Beitrag No.7, eingetragen 2002-01-20
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Ja, und was ist die Bedingung dafür, daß ein u+v in U ist?
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-20
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ähh,keinen plan.wenn du so fragst wahrscheinlich das (x1-2y1)+(x2-2y2)=0,obwohl ichs nicht verstehe.
könntest du mir noch bei den anderen fragen helfen? 
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| Beitrag No.9, eingetragen 2002-01-20
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Ja eben. Und deshalb ist das ein Beweis dafür, daß u+v in U ist.
Andere Fragen haben wohl keinen Zweck, bis Du das nachvollzogen hast.
Gruß
Matroid
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|  Beitrag No.10, eingetragen 2002-01-20
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Auf die Gefahr, daß ich Dich verwirre:
Woran erkennt man einen Vulkanier?
An den spitzen Ohren!
DU kennst doch Mr. Spock?
Und woran erkennt man einen Vektor aus U?
An x = 2y!
Wenn Du ein Wesen triffst, dann prüfe die Bedingung für Vulkanier.
Wenn Du einen Vektor triffst, dann prüfe die Bedingung für U.
Wenn die Ohren spitz sind, ist das der Beweis.
Wenn x = 2y ist das der andere Beweis.
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|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-21
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ja aber was ich nicht versthe ist woher das minus kommt.
im prinzip muss ich doch nur zeigen das x1+x2 immer 2*(y1+y2) ist.
und ich brauch die anderen zwei fragen wirklich dringend.
Ps:auch elfen haben spitze ohren.vielleicht sollte man die klasse vulkanier um grünes blut erweitern.
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| Beitrag No.12, eingetragen 2002-01-21
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Wenn
x1+x2 = 2*(y1+y2)
dann ist das doch gleichbedeutend mit:
x1+x2 - 2*(y1+y2) = 0
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|  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-21
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ahh.jetzt kapier ichs.
und was ist mit
2:wie zeig ich denn nun das es keine/eine lineare abbildung ist.
3:wie kann ich mir denn eine halbebene vorstellen.ist das ne ebene mit löchern drinen oder wie?oder heisst das einfach das sie nicht abgeschlossen ist?also wie mit meinem beispiel vom inversem?
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| Beitrag No.14, eingetragen 2002-01-21
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Lineare Abbíldung hat eine Definition.
Die mußt Du nachrechen.
Halbebene?
Stell dich auf die Straße und drehe dich nicht um.
Alles, was du nun mit Deinen Augen sehen kannst ist eine Halbebene
(so nenne ich's mal).
Du kannst doch auch auf dem Zeichenblatt die Fläche unter der x-Achse rot färben. Dann hast Du eine rote Halbebene.
In meinem ersten Posting hatte ich ja schon geschrieben, warum das kein Vektorraum sein kann.
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|  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-21
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ähh,willste mich umbringen? mitten auf ne strasse stellen... also wirklich
auf alle fälle: wie rechne ich denn das nach?der ausdruck bereitet mir wirklich unbehagen.
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| Beitrag No.16, eingetragen 2002-01-21
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Du stellt fest, daß der Punkt (-1,-1,1) in W ist.
Aber (-1) * (-1,-1,1) ist nicht in W.
Darum ist W kein Vektorraum.
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-21
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upps, da ist ein fahler passiert.
ich meinte wie rechne ich die lineare abbildung nach?
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| Beitrag No.18, eingetragen 2002-01-21
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Zu zeigen ist, daß
f(x+y) = f(x)+f(y)
und
f(lx) = l*f(x)
x = (x1,x2) und y = (y1,y2)
Nun ist f(x) = (0,x2) und f(y) = (0,y2)
Weiter ist x+y = (x1+y1,x2+y2) und darum ist f(x+y) = (0,x2+y2).
Folglich ist f(x+y) = f(x)+f(y).
Für die Skalarmultiplikation ist das genau so einfach.
Es ist f(x) = (0,x2)
und l*f(x) = l*(0,x2) = (0,l*x2)
Weiter ist lx = (l*x1, l*x2)
und f(lx) = f((l*x1, l*x2) = (0, l*x2).
Damit ist gezeigt, daß f(lx) = l*f(x)
und folglich ist f eine lineare Abbildung von IR² in IR².
Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum von IR².
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|  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-21
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hi,
vielen dank ich hab jetzt (hoffentlich) alles gecheckt. 
hier aber noch eon paar kontrollfragen:
zu 3:
nicht mathematisch ausgedrückt:das teil SIEHT wie eine ebene aus,ist es aber nicht im mathematischem sinn,weil das negative skalar nicht enthalten ist.vielleicht ruht meine verwirrung daher das wir in der schule alles was "flach und ausgedehnt ist" eine ebene nannten,auch wenn skein vektorraum ist
zu 2:
als beweiss gilt doch auch x1+x2=2*(y1+y2)
da x1=2y1,x2=2y2
in die gleichung eingesetzt:
2*(y1+y2)=2*(y1+y2)
und das passt.
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| Beitrag No.20, eingetragen 2002-01-21
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Eigentlich ist es ja keine Ebene, denn es ist ja eine Teilmenge des IR³.
Du kannst Dir aber die Halbebene x1+x2 <=0 noch in der Zeichenebene farblich markieren.
Sieht dann so aus
\ |
..\ |
....\ |
......\ |
........\ |
----------+---------
..........|.\
..........|...\
..........|.....\
..........|.......\
..........|.........\
Die Von links oben nach rechts unten eingezeichnete Gerade ist x1+x2=0.
Alle Punkte auf und links von dieser Geraden sind in {(x1,x2)|x1+x2<=0}.
(Markiert durch die Punkte). Das ist eine halbe Ebene.
Wie sieht das nun für drei Dimensionen aus.
Analog zur trennenden Geraden x1+x2=0 in IR² hat man in IR³ eine trennende Ebene x1+x2+x3=0. Alles auf und 'links' von dieser Ebene (die in schräg durch den Raum schneidet), gehört zu W = {(x1,x2,x3)|x1+x2+x3<=0}
Anschaulich ist das ein halber Raum.
Zu 2:
als beweiss gilt doch auch x1+x2=2*(y1+y2)
Ja, fast.
Du solltest dann schreiben:
Aus x1 = 2y1
und x2 = 2y2
folgt durch Addition: x1+x2 = 2y1 + 2y2
In mathematischen Beweisen darf man nicht - wie es noch in der Schule üblich war! - die Behauptung an den Anfang stellen und dann solange umformen, bis etwas wahres herauskommt. Man muß etwas wahres an den Anfang stellen und dann umformen, bis man die Behauptung sieht.
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|  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-21
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ahh,ein halber raum geteilt durch eine ebene,das verstehe ich
aber zu den beweisen: ich glaub da müßte ich erst zen studieren um den sinn zu erkennen.denn wenn ich nur aus der warheit die behauptung kriege,was unterscheidet dann die wahrheit von der behauptung?
denn jede behauptung ware demnach wahr.
und wozu wäre dann die behauptung gut,wenn ich eh weiss das sie wahr ist.
vielleicht sollte ich wirklich zen studieren.
auf alle fälle:der weg ist das ziel 
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|  Beitrag No.22, eingetragen 2002-01-21
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Na denn Prost.
Die Behauptung kann man nur aus wahren Aussagen folgern.
Das korrekte Folgern ist die Kunst.
Man kann nicht jede Behauptung folgern.
z.B. dann nicht, wenn die Behauptung falsch ist.
Nach logischen Gesetzen kann aus etwas wahrem niemals etwas falsches folgen.
Und nun pack die Zen-Sch**** weg.
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