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  Folge - Beweis bzw. Gegenbeweis |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2002-11-22
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Hallo,
wir sitzen hier verzweifelt an einer Aufgabe und kommen zu keiner Lösung.
Wir sollen feststellen, ob folgende Aussage wahr ist (Beweisen oder Gegenbeweisen):
Eine reelle Folge an, wobei stets an¹0 ist, konvergiert genau dann gegen 0 wenn die Folge (1/an) gegen ¥ konvergiert.
Falls die Aussage falsch ist, soll eine Zusatzvoraussetzung gefunden wernden, so dass sie war wird.
Nach der Aufgabenstellung muss ja folgendes gelten:
lim n -> ¥:
an -> 0
&
1/an -> ¥
Da bei solch einer aufgabenstellung schon klar ist, dass die Behauptung falsch ist, muss es einen Zahlenbreich geben, für den das ganze nicht funktioniert.
Kann uns da Jemand mit Tips, bzw. Lösungsansätze helfen?
Vielen Dank,
Benjamin & Billy
[ Nachricht wurde editiert von Bunnu am 2002-11-22 17:17 ]
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 Profil
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-22
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Hi!
Ich denke, die Behauptung ist so, wie sie im Text gestellt ist, richtig.
Mach dir die Definitionen klar:
lim(an) = ¥ <-> Zu jeder beliebig großen Zahl S gibt es ein n0 mit an > S für alle n > n0.
lim(1/an) = 0 <-> Zu jedem e > 0 gibt es ein n0 so, dass 1/an < e für alle n > n0.
Setze ich S = 1/e, e beliebig klein, ergibt sich:
an > 1/e
-> e > 1/an für alle n > n0.
Setze nun e = 1/S, S beliebig groß, und es ergibt sich:
1/an < 1/S -> S < an für n > n0.
Damit sind beide Richtungen gezeigt.
Gruß
Fabi
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-22
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Hi fabi,
Danke für die schnelle Antwort :)
Wir haben aber einen "ziemlich zuverlässigen Tip" bekommen, dass das ganze nicht war ist, sondern dass das es einen kleinen Zahlenbereich gibt, bei dem das ganze nicht gilt.
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-22
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Tja, aber auch ein "ziemlich zuverlässiger Tip" kommt nicht um den Beweis herum. Ich sehe keinen Fehler in dem Beweis (man müsste noch etwas ausformulieren, aber so von der Idee her).
Gruß
Fabi
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.4, eingetragen 2002-11-22
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2002-11-22 18:00: Fabi schreibt:
> Tja, aber auch ein "ziemlich zuverlässiger Tip" kommt nicht um den Beweis herum. Ich sehe keinen Fehler in dem Beweis (man müsste noch etwas ausformulieren, aber so von der Idee her).
> Gruß
> Fabi
Es wurde ja gesagt, dass die beiden Aussagen äquivalent seien.
Gegenbsp: an = - 1/n
Dann geht 1/an gegen -¥.
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
| Beitrag No.5, eingetragen 2002-11-22
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Ich hab oben an > 0 anstatt dem (etwas misslungenem) an ¹ 0 gesehen und mich dann darauf fixiert, also mein Fehler.
Ja, das Gegenbeipsiel zieht natürlich, man muss wohl ergäönzen:
"...dann konvergiert |1/an| gegen ¥."
Gruß
Fabi
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Profil
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.6, eingetragen 2002-11-22
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Obiges Gegenbeispiel ist volkommen korrekt.
Die geforderte "Zusatz-"bedingung ist, dass
limn->¥ |1/an| = ¥.
Mit dieser Formulierung wird dann auch obiger Beweis unter Beibehaltung der Betragsstriche richtig.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.7, eingetragen 2002-11-22
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Danke Anonymous und Fabi! Aber die Lösung dürfte falsch sein. Denn es heißt:
wenn 1/(an) -> ¥ dann konvergiert an -> 0
keine Rede von -¥
Es muss also ein an geben, welches nicht gegen Null konvergiert, aber als 1/an gegen ¥
Trotzdem, vielen Dank!
Ciao Billy
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.8, eingetragen 2002-11-25
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Hi Bunnu und alle,
ich will die Diskussion mit 2 Gegenbeispielen abschliessen:
1.
an = (-1)n/n konvergiert gegen 0, aber 1/an = (-1)n*n ist nicht konvergent, strebt nämlich gegen +oo und -oo.
2.
Wenn an gegen eine Zahl a ungleich 0 konvergiert, dann konvergiert auch 1/an, und zwar gegen 1/a. (ein Grenzwertsatz).
Es kann also keine Folge geben, die konvergiert, deren Kehrwert aber nicht konvergiert.
Aber das ist hier auch nicht verlangt.
Die zu widerlegende Behauptung lautet:
an -> oo => 1/an = 0
Nun heißt an -> oo nicht anderes, als daß an nicht konvergiert. Man kann auch noch herauslesen, daß an über alle Grenzen wächst.
Aber wenn dieses Wachstum monoton ist, dann gilt die Behauptung.
Sei an eine Folge und an+1 > an. Außerdem gebe es für alle Schranken C aus IR ein ns, für das ns > C.
Sei bn = 1/an.
Behauptung: Der Grenzwert von bn ist 0.
Weil für jedes C ein ans existiert, das größer als C ist, kann man für ein positives C eines positives ans finden.
Wegen der vorausgesetzten Monotonie sind dann alle weiteren Folgenglieder ebenfalls positiv. Die Folge an hat also höchstens endliche viele negative Glieder. Darum darf ich o.B.d.A annehmen, daß an insgesamt positiv ist.
Wenn an+1 > an > 0,
folgt 0 < bn+1 < bn
Zu zeigen: für alle eps > 0 existiert ein no, so daß für alle n > n0 gilt: |bn| < eps.
Setze C = 1/eps und finde ein ns mit ans > C. Dann ist bns < 1/C = eps.
Und da bn eine positive Folge ist, ist das gleichbedeutend mit
| bns | < eps
qed.
Das gesuchte Beispiel kann also keine monotone Folge sein.
Nun, da ich das weiß, kann ich auch ein Gegenbeispiel zur allgemeinen Gültigkeit der Implikation geben:
Für
an = 1 für gerade n
an = n für ungerade n
kann man sagen: an -> oo, d.h. wächst über alle Schranken.
Aber es ist
bn = 1/an = 1 für gerade n
bn = 1/an = 1/n für ungerade n
Die Folge bn konvergiert nicht und insbesondere konvergiert sie nicht gegen 0.
Gruß
Matroid
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