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 Untervektorraum |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2002-01-19
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Ich brauche dringend Hilfe. Wie kann mal formal zeigen, dass die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind:
(a) {(x1, x2, x3) Î IR³ | x1-x2 = 0},
(b) {(x,y)Î IR² | 3x+2y-1 =0}
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-01-19
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Indem Du die Definition nachprüfst:
Die Definition verlangt (etwas verkürzt):
U ist Untervektorraum des K-Vektorraums V, wenn
U1: U ¹ Ø
U2: v,weU => v+w eU
U3: ceK, veU => c*v eU.
Es läuft also darauf hinaus, daß wenn x=(x1,x2,x3) und y=(y1,y2,y3) und x1+x2=0 und y1+y2=0, auch x+y die Eigenschaft hat, also: (x1+y1)+(x2+y2) = 0.
(Nicht zu vergessen auch x1+x2=0 => c*(x1+x2) = 0.
Gruß
Matroid
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Anonymous
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-19
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Hallo noch mal,
also danke mal für die Antwort. Ich habe die drei Kriterien zwar verstanden, leider aber nicht wie man das Explizit macht. Könntest Du mir das nochmal mit ganz einfachen Beispielen erklären?
Vielen Dank
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matroid
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2002-01-19
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(a) U := {(x1, x2, x3) Î IR³ | x1-x2 = 0}
Das macht man so:
Seien u und v Vektoren aus U.
u = (u1,u2,u3) und v=(v1,v2,v3)
U ist ein Unterraum von IR³,
- wenn U nicht leer ist
Ok, U ist nicht leer, denn (0,0,0) ist in U.
Schließlich ist 0-0=0 und erfüllt die Bedingung.
- wenn u+v wieder in U ist.
Nun, es ist u+v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
Um zu zeigen, daß u+v Î U ist,
muß man zeigen, daß (u1+v1) - (u2-v2) = 0 gilt.
Es ist (u1+v1) - (u2-v2) = u1-u2 + v1 -v2
Und weil u und v aus U sind, wissen wir, daß u1-u2 = 0 und v1-v2=0 ist.
Folglich ist auch (u1+v1) - (u2-v2) = u1-u2 + v1 -v2 gleich 0.
Das zeigt, daß u+v Î U.
- wenn für beliebiges c Î IR auch c*u Î U
Es ist c*u = (c*u1, c*u2, c*u3)
Um zu zeigen, da0 c*u Î U, muß gelten:
c*u1 - c*u2 = 0
Und weil c*u1 - c*u2 = c*(u1-u2) und nach Voraussetzung u1-u2 = 0,
gilt c*u Î U
Die drei Bedingungen für Unterraum sind positiv überprüft. U ist Untervektorraum des IR³.
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-20
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Also, die zweite Aufgabe (b) hat bei mir irgendwie nicht so richtig geklappt. Um Dir aber zu zeigen, wo vielleicht mein Denkfehler liegt, rechne ich einfach mal soweit ich kann:
{(x,y) Î IR² | 3x+2y-1=0
Wir überprüfen nun die Voraussetzungen:
- nicht leer: Der Vektor (0, 0.5) erfüllt die Bedingung 3*0+2*0.5-1=0
also das haben wir schon mal
- seien u, v Vektoren des Untervektorraums U, dann muss gelten
u+vÎ U
(u1, u2)+(v1, v2)=(u1+v1, u2+v2)
Also muss gelten: 3*(u1+v1)+2(u2+v2)-1=0
oder 3u1+2u2+3v1+2v2-1=0
jetzt weiß ich nicht genau was ich machen soll...
-dritte Voraussetzung:
k*u Î U
k*(u1, u2)= (ku1, ku2)
es muss gelten: 3*ku1-2*ku2-1=0
oder k*(3u1+2u2)-1=0
jetzt weiß ich wieder nicht mehr weiter...
Es wäre super wenn Du mir helfen würdest
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matroid
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-01-20
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Also muss gelten: 3*(u1+v1)+2(u2+v2)-1=0
oder 3u1+2u2+3v1+2v2-1=0
jetzt weiß ich nicht genau was ich machen soll...
Ja, das kommt daher, daß man das nicht zeigen kann - weil es nicht allgemein gilt. Du mußt ein Gegenbeispiel angeben!
Gib einfach 2 verschiedene Vektoren an, deren Summe diese Bedingung nicht erfüllt.
Die Übungsaufgabe soll Dir klar machen, daß nur Ursprungsgeraden Untervektorräume sind.
Wenn Du das Gegenbeispiel gefunden hast, bist Du fertig. Du hast damit gezeigt, daß U kein Unterraum ist.
Dann brauchst Du die dritte Bedingung auch nicht mehr prüfen.
Allerdings kann man an der dritten Bedingung besonders einfach sehen, daß sie nicht für alle u aus U und alle k aus IR gelten kann.
Es ist namlich 0*u = (0,0) und (0,0) ist nicht in U.
Noch ein Beleg dafür, daß nur die Ursprungsgeraden Untervektorräume sind.
D.h. ein Untervektorraum muß den Nullvektor enthalten.
Gruß
Matroid
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-20
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Also echt sorry, aber ich habs jetzt mal versucht:
3*(u1+v1)+2*(u2v2)-1=0
oder
3u1+2u2+3v1+2v2-1=0
für die Vektoren (u1, u2)= (1, 1) und (v1, v2)=(0, -2)
sieht das so aus:
(3*1)+(2*1)+(3*0)+(2*(-2))-1 = 0 also ist dies doch 0 oder?
Gruß
Chris
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matroid
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2002-01-20
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[Wie bist Du denn auf (1,1) und (0,-2) gekommen. Die sind doch gar nicht in U]
3x+2y-1 = 0
Beispielsweise
(x,y) = (3,-4)
dann ist 3*3 + 2*(-4) -1 = 9 - 8 - 1 = 0
und (0, 0.5) erfüllt die Bedingung auch.
(3,-4) + (0, 0.5) = (3, -3.5)
erfüllt die Bedingung aber nicht!
3*3 + 2*(-3.5) -1 = 9 - 7 - 1 = -1
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