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  WIedermal Cauchy Folgen |
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Stone
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.11.2002
Mitteilungen: 101
 |  Themenstart: 2002-11-23
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Hi, ich hatte vor ein paar Tagen ein Thema erstellt in dem es um Cauchy folgen ging, habe das Thema vorschnell als erledigt abgehackt, deshab das neue Thema.
Hier der Link zu dem alten.
Ich weiß mittlerweile, was eine Cauchy Folge ist und und und.
Immerhin schonmal was.
Aber wie beweise ich das eine Folge eine Cauchy Folge ist?
Mit einem Beispiel für e ist ja noch kein Beweis geführt.
kann mir da jemand helfen.
Ein Beispiel:
Prüfe ob die Folge {sn}n=1, bis oo , sn= (3n-1)/(4n+5) eine Cauchy Folge ist.
Danke Stone
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Martin
Senior 
Dabei seit: 28.10.2002
Mitteilungen: 806
Wohnort: Österreich
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-23
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Hi Stone!
Gegenbeispiele sind auch Beweise. Wenn man nur für ein epsilon zeigt, dass für kein n0 und allen n,m>n0 |a_n-a_m|< epsilon gilt, kann's keine Cauchy-Folge sein. Es muss ja für /jedes/ epsilon gelten.
Es gilt, dass eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn sie konvergiert, also: konvergent <--> Cauchy-Folge.
Wenn man sn = (3n-1)/(4n+5) so umformt:
n*(3-1/n)/n*(4+5/n) kann man n rauskürzen:
(3-1/n)/(4+5/n) jetzt geht 1/n und 5/n für n->oo gegen 0, also:
lim_n->oo s_n = 3/4.
s_n hat also den Grenzwert 3/4, ist also konvergent, ist also eine Cauchy-Folge.
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-11-23 12:00 ]
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Stone
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.11.2002
Mitteilungen: 101
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-23
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Ja, OK.
danke, soweit.
Ich hab aber auch immer das pech das ich aufgaben aussuche die keine cauchy folgen sind *g*.
Wenn ich jetzt ne Folge hab, die eine ist, wie beweise ich das?
Ich pick mal wieder iene raus, hoffe mal das es diesmal eine ist.
Zeige: die Folge {sn}n01, bis oo , sn = åk=1; bis n (1/(k^2)) ist eine Cauchy Folge.
Tschuldigung für die Mühe.
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Martin
Senior
Dabei seit: 28.10.2002
Mitteilungen: 806
Wohnort: Österreich
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-23
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Hi Stone!
Deine neue Folge sn ist eine Partitialsummenfolge, das macht es leicht. Die Differenz s(n+1) - sn ist hier einfach 1/(n+1).
zB.:
s1 = 1/2
s2 = 1/2 + 1/2^2 = 1/2 + 1/4
Hier wäre s2 - s1 = 1/2^2 = 1/4
Hier geht also die Differenz für n->oo gegen 0 (ist wieder eine Nullfolge ...).
Das die Differenz s(n+1) - sn einer Partitalsummenfolge gegen 0 geht ist zwar ein notwendiges aber kein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer derartigen Folge (Gegenbeispiel: harmonische Reihe).
Die Cauchy-Definition besagt ja nicht nur, dass s(n+1)-s(n) gegen 0 gehen soll, sondern, dass mit einem gewählten eps, n0(eps) und n>n0 und jedem natürlichem p die spätere "Teilsumme" einer Partitialsummenfolge also |an + a(n+1) + ... a(n+p)| < eps ist (nicht nur |a(n+1)|< eps, wie oben).
Hier ist das allerdings kein Problem, da einzelnen Folgenglieder endliche geometrische Summen sind mit q = 1/2. (Siehe unendliche geometrische Reihe).
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-11-23 14:54 ]
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Stone
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.11.2002
Mitteilungen: 101
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-24
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Ich glaub im moment steh ich echt aufm Schlauh, ich Versteh sogar die leichtestetn Aufgaben nicht mehr. Ich setz mich heut mittag mal hin und hör erst auf, wenn ich was habe, *g* wie bei den kleinen Kindern wenn se nix essen wollen *g*.
Danke für deine Hilfe, ich hoffe ich komm damit weiter.
Stone
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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