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  Knifflig und beschränkt |
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morpheus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.11.2002
Mitteilungen: 119
 |  Themenstart: 2002-11-23
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Es seien An, nÎ N, nichtleere und nach oben beschränkte Teilmengen von R. Beweisen Sie für die Mengen A:= È (nÎN) An und B:= {sup An : n Î N} folgende Aussagen:
a) A ist genau dann nach oben beschränkt, wenn B nach oben beschränkt ist
b) Falls A oder B nach oben beschränkt ist sind, gilt sup A = sup B
Wie ist das zu zeigen?
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 Profil
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Plex_Inphinity
Senior 
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-24
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Hi,
zunächst mal ist folgende Charakterisierung des Supremums hilfreich:
x = sup M <=> " e > 0 $ a Î M : x-e < a
Ich gehe mal davon aus, dass ihr das schon bewiesen habt.
zu a) Es sind hier beide Richtungen zu zeigen:
1."=>" (Beweis durch Widerspruch)
Sei A nach oben beschränkt.
Angenommen B wäre unbeschränkt, dann gilt:
"xÎIR $b ÎB: x <b
<=>
"xÎIR $nÎIN : x<sup An
<=>
"x,eÎIR $ nÎIN: x <sup An-e
=> "x,e ÎIR $n ÎIN und a Î An : x<sup An-e<a
=> "x Î IR $ a Î A:x <a
=> A ist unbeschränkt (Widerspruch)
2. "<="
Sei x Î IR eine obere Schranke von B.
Dann gilt:
"n ÎIN : sup An £ x
Sei nun a Î A. Dann gilt :
$n ÎIN: a ÎAn
=> $n ÎIN: a £ sup An
Wegen a£sup An£x ist also x eine obere Schranke von A.
b) 1. zu zeigen: sup B ist eine obere Schranke von A (notwendiges Kriterium)
Beweis: siehe a 2.) mit x = sup B.
2. zu zeigen: "e>0 $ a Î A: sup B - e < a.
Beweis: Es gilt: " e> 0 $ n ÎIN:
sup B - e <sup An ( da sup An Î B)
Da IR dicht ist gilt somit:
" e>0 $ e' >0: sup B - e < sup An-e'
=>
"e>0 $ e'>0 und nÎIN, a ÎAn : sup B - e < sup An - e'< a
[ Nachricht wurde editiert von Plex_Inphinity am 2002-11-24 15:59 ]
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morpheus
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.11.2002
Mitteilungen: 119
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-24
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Danke für deine Antwort!
Hätte noch zwei Verständnissfragen:
1.Was bedeutet "IR" und was bedeutet "IN"?
2.Was besagt der Ausdruck "DA IR dicht ist"?
Gruß
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Plex_Inphinity
Senior
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-24
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Hallo nochmal,
Mit IN bezeichne ich die Menge der natürlichen Zahlen und mit IR die Menge der reellen Zahlen. Also IN = N und IR = R.
Das IR dicht ist, heisst, dass es zu je zwei ungleichen Zahlen aus IR immer eine Zahl gibt , die dazwischen liegt. Also dass gilt: " a,b Î IR mit a<b $ c Î IR : a<c<b.
Q , also die Menge der rationalen Zahlen ist zum Beispiel auch dicht, aber IN, die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht dicht ( sondern diskret). Denn zu 1 und 2 gibt es z.B. keine natürliche Zahl, die dazwischen liegt.
Da also IR dicht ist gibt es auch zu den Zahl (sup B - e) ÎIR und sup A Î IR eine Zahl die dazwischen liegt. Diese nenne ich dann sup A - e'. Das heisst also
dass gilt: sup B - e <sup A - e' < sup A.
PS: Ich hatte da in meinem Ursprungsposting einen Tippfehler ( e statt e' ) . Den habe ich jetzt aber korrigiert.
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