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Analysis » Folgen und Reihen » Leibniz-Kriterium/ Dirichlet-Kriterium
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Kein bestimmter Bereich J Leibniz-Kriterium/ Dirichlet-Kriterium
BlueAngelfire
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  Themenstart: 2002-11-26

Hallo liebe Mathematiker und Mathematikerinnen, Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich finde sie ziemlich schwierig.... *snüff* Es geht um die Verallgemeinerung des Leibniz-Kriteriums für Reihen. a) Man beweise zunächstn dass für beliebige, reelle Zahlen a1,.....,an  und b1,....,bn,bn+1  die folgende Identität gilt: åvon k=1 bis n über (akbk=Anbn+1  + åvon k=1 bis n über (Ak(bk-bk+1), (Groß-Kleinschreibung ist wichtig) (k und n sind die Indizees (z.B: n, k, n+1, k+1) Ak:=å von j=1 bis k über aj . (*) b) Mit HIlfe von (*) leite man dann das folgende, von Dirichlet stammende Konvergenzkriterium her: "Die Reihe å von k=1 bis¥ über ak in R habe beschränkte Partialsummen und die Folge (bk)kÎN in R sei eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe S¥= å von k=1 bis ¥ über akbk . " Setzt man in diesem Dirichlet-Kriterium ak= (-1)^k , so ergibt sich gerade das Leibniz-Kriterium... Kann mir hier jemand helfen???? (Beweise?, Tipps, Hilfe,...??), ich finde die Aufgabe ziemlich schwierig... Tausend Dank

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Plex_Inphinity
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-26

Hallo, ein paar Tips: zu a) Setze A0 := 0 , dann gilt ak = Ak-Ak-1 also ist n åakbk = k=1 n å (Ak-Ak-1)bk k=1 von hier an einfach ausmultiplizieren , Indexverschiebung an der zweiten Summe vornehmen und wieder zusammenfassen. zu b) Die Partialsummen sind beschränkt, d.h. An ist beschränkt. Und b ist monton fallende Nullfolge, d.h. Anbn+1 -> 0 für n->unendlich und å (bk-bk+1) konvergiert absolut.

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