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Analysis » Integration » Faltung einer charakteristischen Funktion
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Universität/Hochschule J Faltung einer charakteristischen Funktion
syngola
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  Themenstart: 2005-02-17

Hallo allerseits, ich habe gerade das Problem, dass ich nicht sehe warum die Faltung der charakteristischen Funktion des Intervalls [-1,1] mit sich selbst gerade sup(,(0,2-abs(x))) gelten soll. Die Faltung zweier L_1(\IR) integrierbarer Funktionen haben wir so definiert: (f\*g)(y)=int(f(x)g(y-x),x,-\inf,\inf) wenn ich die charakteristische Funktion des Intervalls [-1,1] betrachte mit   f(x)=fdef(1,abs(x)<1;0,sonst) dann ist die Faltung doch (f\*f)(y)=int(f(x)f(y-x),x,-\inf,\inf) =int(1*f(y-x),x,-1,1) =int(fdef(1,falls abs(y-x)<1;0, falls abs(y-x)>1),x) jetzt muesste ich das irgendwie aufdroeseln, komme aber wirklich nicht auf das Ergebnis, bzw auf das was ich hier weiter integrieren muesste. Weiss da jemand Rat? Hab mal wieder das sprichwoertliche Brett vorm Kopf. Gruss, syn


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  Beitrag No.1, eingetragen 2005-02-17

Hy syngola, kennst du die Rechenregel für das Produkt zweier charakteristischer Funktionen? Damit lässt sich dein Integral leicht berechnen. mfg akira


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syngola
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-17

Hi akira, eine solche Regel kenne ich leider nicht.. hab auch noch nie davon gehoert. Aber ich schaue mal in meinen Buechern nach, unser Prof hat da ne ganze Menge rausgelassen. erstmal vielen Dank, gruss, syn


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cow_gone_mad
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  Beitrag No.3, eingetragen 2005-02-17

Hallo Syngola, ich glaube auf: viewtopic.php?topic=31851 habe ich diese Frage schon mal beantwortet, dort aber für [0;1] :-) Vielleicht bringt dich ja schon das weiter. Liebe Grüsse, cow_


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  Beitrag No.4, eingetragen 2005-02-17

Hy,wir haben damals folgende Regel benutzt: \chi_A*\chi_B=\chi_(A\cut B) . In deinem Fall ist ja x \el intervall(-1,1) und y beliebig. Jetzt musst du dir überlegen, wie der Schnitt der Mengen in Abhängigkeit von y aussieht. mfg akira


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syngola
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-17

hi Cow & Akira, aha, da muss ich erstmal rechnen (kann ein bisschen dauern ;)) ) gruss, syn PS: Ich melde mich nochmal wenns dabei Schwierigkeiten gibt... Also erstmal !!Danke!!


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syngola
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-17

Hallo ihr beiden, der Tipp hat mich weitergebracht! Ich habs jetzt auch raus und weiss auch was ich jetzt rechnen muss bei solchen Aufgaben, also vielen Dank fuer Eure Tips. Gruss, syn


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syngola
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-17

Hallo, ich muss hier nochmal was nachfragen... Wenn ich nun die dreifache Faltung betrachten moechte, wie kann ich dann vorgehen? ich erhalte ja int((int(f(z-x),z,-1,1))f(y-x),x,-1,1) Was muss ich denn hier machen? Ich komm einfach nicht drauf (fuer y=0 ist die Sache klar, da kommt dann 3 raus), aber so allgemein sehe ich einfach nicht die Loesung... verzweifelte Gruesse, syn


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shadowking
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  Beitrag No.8, eingetragen 2005-02-17

Hallo syn, müsste die dreifache Faltung nicht f\*f\*f(z) = int((int(f(x)*f(y-x),x,-1,1))*f(z-y),y,-1,1) heißen? Ich bevorzuge zwecks besserer Vorstellbarkeit folgende Darstellung: f\*f\*f(w) = int(f(x)*f(y)*f(z),V,x+y+z=w,) d.h. eine Funktion von drei Variablen wird über die Fläche integriert, die dadurch definiert wird, dass die Summe der drei Variablen die neue Variable ist. Dies lässt sich gut auf beliebige Faltungen verallgemeinern. Die Schwierigkeiten des praktischen Ausrechnens sind dadurch nicht aus der Welt; das Schwierige ist das Auffinden der "richtigen" Integrationsgrenzen. Gruß shadowking


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syngola
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-17

hallo Shadowking, das ist ja mein Problem bei der Sache, in meiner Ueberlegung hab ich einfach das f(x) in meiner Formel weggelassen, da das mit diesen Grenzen sowieso 1 ist. also Rechnen wir mal mit f\*f\*f(z) = int((int(f(x)*f(y-x),x,-1,1))*f(z-y),y,-1,1) weiter. Das muesste sich doch explizit als Funktion aufschreiben lassen oder. Gibt es eine Methode, wie man da rangeht? Diese Aufgabe ist naemlich als durch !einfaches! Ausrechnen zu loesen deklariert (im Forster). Gibt es eigentlich eine Formel fuer das n-fache Falten der charakteristischen Funktion von [-1,1] mit sich selbst (an der Stelle z=0)? gruss, syn [ Nachricht wurde editiert von syngola am 17.02.2005 21:34:25 ]


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shadowking
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  Beitrag No.10, eingetragen 2005-02-22

Hallo syngola, eigentlich ist die Aufstellung des Integrals, mit dem man die Faltungsfunktion bestimmt, eine sehr allgemeine Methode. Es ist nur so, dass das praktische Ausrechnen des aus charakteristischen Funktionen zusammengefalteten Integrals schwierig ist. Ich bediene mich da oft der Anschauung, indem ich Längen von Linien in einem Quadrat \(im Fall f\*f\) oder Flächeninhalte von Schnittflächen einer Ebene mit einem Würfel \(im Fall f\*f\*f\) bestimme. Für f\*f\*f\*f habe ich auch aus diesem Grund keinen Vorschlag. f\*f\*f(w) ist der Flächeninhalt der Schnittfigur der Ebene x+y+z = w mit dem Würfel [-1,1]^3. Falls w \el [-3,1], so ist dies ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge sqrt(2)/2*(3+w), genauso falls w aus [1,3] \(Seitenlänge hier sqrt(2)/2*(3-w)\). Dazwischen ist es ein Sechseck, das man sich als gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge sqrt(2)/2*(3+w), dem die drei gleichseitig\-dreieckigen Ecken der Seitenlänge sqrt(2)/2*(1+w) abgeschnitten werden, vorstellen kann. Das führt dazu, dass die Faltung f\*f\*f folgende Darstellung hat: f\*f\*f(w) = \fdef(sqrt(3)/8*(3+w)^2,\| w \el [-3\,-1]; sqrt(3)/4*(3-w^2),\| w \el [-1\,1]; sqrt(3)/8*(3-w)^2,\| w \el [1\,3]; 0,\| sonst) Hier diese Funktion als Graphik (aus drei Parabelbögen zusammengesetzte "Glockenfunktion"): Bild Weiter kann ich mir diese Faltungen nicht herleiten, aber ich denke, man sieht ein, dass f\*...\*f gegen die Normalverteilung strebt, wie es der Zentrale Grenzwertsatz vorsieht. [ Nachricht wurde editiert von fed am 22.02.2005 21:55:17 ]


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syngola
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-22

Hallo Shadowking, erstmal vielen Dank, dass Du Dir die viele Muehe gemacht hast. Dass die Faltung so wie in Deiner Darstellung aussehen sollte, konnte ich mir ja noch gerade so mit der geometrischen Deutung der Faltung klarmachen, aber die Vorstellung vom "Integrationsgebiet" hat da leider bei mir voellig versagt :( Also nochmal vielen Dank. PS: die Ueberlegung, ob es eine allgemeine Darstellung der n-ten Faltung der charackteristischen Funktion von [-1,1] gibt, kommt aus der Ueberlegung, ob man fuer int(sin^n(x)/x^n,x,-\inf,\inf) eine allgemeine Darstellung in Abhaengigkeit von n, n>1 finden koennte. [ Nachricht wurde editiert von fed am 22.02.2005 20:09:34 ]


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shadowking
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  Beitrag No.12, eingetragen 2005-02-22

Habe jetzt auch die entsprechende Darstellung für f\*f\*f\*f gefunden. Der Schnittkörper der Hyperebene x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = w mit dem Hyperwürfel [-1\,1]^4 ist für w \el [-4\,-2] \union [2\,4] ein Tetraeder mit Kantenlänge sqrt(2)/2*(4+w) bzw. sqrt(2)/2*(4-w). Dazwischen kann man sich ihn wie einen Tetraeder vorstellen, dem die vier tetraederförmigen Ecken fehlen. Im Grenzfall w=0 handelt es sich gerade um einen Oktaeder; ab hier verwendet man, dass die Figur für w mit der für -w kongruent ist. Man kann sich nun eventuell vorstellen, was man für höhere Faltungen braucht. Das Tetraedervolumen leitet man aus der Pyramidenformel V = 1/3*G*h mit G=sqrt(3)/4*(4-w)^2 und h^2=(1-(2/3*sqrt(3)/2))*(4-w)^2 => h = sqrt(2/3)*(4-w) her zu V = sqrt(2)/12*(4-w)^3. Es ergibt sich die Darstellung f\*f\*f\*f(w)=fdef((4+w)^3/24,\| w \el [-4\,-2];-(3*w^3+12*w^2-32)/24,\| w \el [-2\,0];(3*w^3-12*w^2+32)/24,\| w \el [0\,2];(4-w)^3/24,\| w \el [2\,4]; 0,\| sonst) Die sich ergebende Funktion ist eine aus kubischen Splines zusammengesetzte Glocke: Bild Gruß shadowking [ Nachricht wurde editiert von shadowking am 23.02.2005 20:33:59 ]


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shadowking
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  Beitrag No.13, eingetragen 2005-02-22

Hallo syngola, wie kommt man denn von der Frage nach dem Integral int(sin^n(x)/x^n,x,-\inf,\inf) auf die n-fache Faltung der charakteristischen Funktion für [-1,1]? Solche Brückenschläge machen die Mathematik erst richtig spannend. Gruß shadowking


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syngola
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-22

Hallo Shadowking, deine Frage ist durchaus berechtigt, so offensichtlich ist der Zusammenhang ja nun wirklich nicht. Nun wenn man sich anguckt was die Fouriertransformierte von f ist wird der Zusammenhang schnell klar. Es ist naemlich: f^^(\xi)=1/sqrt(2\pi)*int(exp(-ix*\xi),x,-1,1)=sqrt(2/\pi)*sin(\xi)/\xi die Fouriertransformierte von f. Nun sei g(x)=(f\*...\.\*\.f) Die Fouriertransformierte der n-fachen Faltung von f, also g, ist dann: g^^(\xi)=sqrt(2\pi)^(n-1)*f^^(\xi)^n Nach Vorbetrachtung gilt dann weiter =sqrt(2\pi)^(n-1)*(sqrt(2/\pi))^n*sin^n(\xi)/\xi^n Nach Umkehrformel ist dann g(\xi)=1/sqrt(2\pi)*int(g^^(\xi)*exp(-ix\xi),x) g(0) ist dann einerseits die Faltung an der Stelle 0 und andererseits ist dann g(0)=sqrt(2\pi)^(n-2)*(sqrt(2/\pi))^n*int(sin^n(x)/x^n,x,-\inf,\inf) => int(sin^n(x)/x^n,x,-\inf,\inf)=(f\*...\.\*f)(0)*1/(sqrt(2\pi)^(n-2)*(sqrt(2/\pi))^n =(f\*...\.\*f)(0)*2^(1-n)*\pi So, hoffentlich hab ich mich hier jetzt nicht vertippt. Das ist also der Grund warum ich nach einer allgemeinen Darstellung suchte. Vielleicht kann man ja auch damit Tobis Integral erschlagen Gruss, syn   [ Nachricht wurde editiert von fed am 22.02.2005 21:40:57 ] [ Nachricht wurde editiert von fed am 23.02.2005 14:07:37 ]


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shadowking
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  Beitrag No.15, eingetragen 2005-02-23

Ich habe nach wie vor keine formale Methode, dieses Faltungs\- integral zu bestimmen, aber mit Hilfe der Kombinatorik und der Maßtheorie konnte ich Dein Problem nun lösen. Zunächst muss man berücksichtigen, dass die Diagonalenlänge im n\-Würfel [-1\,1]^n gleich 2*sqrt(n), nicht 2*n ist. Dies macht eine lineare Umparametrisierung dw -> dw/sqrt(n) notwendig. Wegen int(f\*...\*f(w),w,-\inf,\inf)=int(f\*...\*f(w),w,-n,n) = 2^n und int(\mue_(n-1)([-1\,1]^n\cut{ vec(x) \| sum(x_i,i=1,n)=w})*1/sqrt(n),w,-n,n) = 2^n gilt \lr(1) f\*...\*f(w) = 1/sqrt(n)*\mue_(n-1)([-1\,1]^n \cut{ vec(x) \| sum(x_i,i=1,n)=w}). Was f\*...\*f(0) angeht, hilft der anschaulichen Methode die Kombinatorik  weiter: so kann man die Schnittebene sum(x_i,i=1,n)=0 in die benachbarten n\-Würfel fortsetzen. Mit diesen erzeugt sie Schnittfiguren, die im geometrischen Sinne ähnlich zu der Schnittfigur für sum(x_i,i=1,n)=(2*k)/n sind. Demnach ist die Schnittfigur von [-1\,1]^n mit sum(x_i,i=1,n)=0 stets ein regelmäßiges (n-1)\- vec(Simplex), Kantenlänge sqrt(2)*n, bei dem n regelmäßige Simplices mit (1-2/n)\-facher Kantenlänge, also sqrt(2)*(n-2), abgeschnitten sind. Bild Abb. 1: Simplices der Dimensionen 1, 2, 3 Es bezeichne \dsS_r^n das regelmäßige n\-dimensionale Simplex der Kantenlänge r und V_r^n = \mue_n (\dsS_r^n) dessen n\-dimensionalen Rauminhalt. Man muss beachten, dass diese abgeschnitteten "Ecken" ab n=5 Schnittmengen miteinander haben, die selbst wieder Simplices mit Kantenlänge sqrt(2)*(n-4) sind, etc.. Die Tiefe k der verschachtelten Schnittmengen geht von 1 bis floor(n/2); dabei gibt es (n;k) simpliziale Schnittmengen für die Tiefe k. Da die Kantenlängen aller auftretenden (n-1)\-Simplices Vielfache von sqrt(2) sind, sind die Volumina größerer Simplices ganzzahlige Vielfache des Volumens V_sqrt(2)^(n-1) des (n-1)\-Simplex \dsS_sqrt(2)^(n-1), so dass das Volumen V der Schnittfigur gleichfalls ein ganzzahliges Vielfaches von V_sqrt(2)^(n-1) ist: \lr(2) V = m*V_sqrt(2)^(n-1)   Für m ergibt sich mit der Einschluss\-Ausschluss\-Formel folgender Ausdruck: \lr(3) m = sum((-1)^k*(n;k)*(n-2*k)^(n-1),k=0,floor(n/2)). Das n\-dimensionale Volumen V^n := V_1^n des n\-dimensionalen Simplex \dsS_1 berechnet sich induktiv: V^n = 1/n*V^(n-1)*h_n. Dabei ist h_n die Höhe des n\-Simplex \dsS_1^n; auch sie läßt sich induktiv bestimmen: h_n = h_(n-1)*sqrt(1-1/n^2). Das führt auf die explizite Gleichung \lr(4) h_n = sqrt(1/2+1/(2*n)) und damit zu \lr(5) V^n = sqrt(n+1)/(n!*sqrt(2)^n). Damit ergibt sich V = m*V_sqrt(2)^(n-1) = m*sqrt(2)^(n-1)*V^(n-1) = m*sqrt(2)^(n-1)*sqrt(n)/((n-1)!*sqrt(2)^(n-1)) = m*sqrt(n)/(n-1)! . Schließlich und endlich erhält man f\*...\*f(0) = 1/sqrt(n)*V = m/(n-1)! = n * sum((n-2*k)^(n-1)*(-1)^k/(k!*(n-k)!),k=0,floor(n/2)). Mit Hilfe der Normierung int(f\*...\*f(w),w,-n,n)=2^n und Deiner Fourieranalyse erhält man die Identität \frame int(sin^n(x)/x^n,x,-\inf,\inf)=(\pi*n)/2^(n-1) * sum((-1)^k*(n-2*k)^(n-1)/((n-k)!*k!),k=0,floor(n/2)), \frameoff was DERIVE auch bestätigt. Gruß shadowking [ Nachricht wurde editiert von shadowking am 23.02.2005 15:57:24 ]


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syngola
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Hallo Norbert, das Faltungsintegral formal zu loesen ist denke ich auch nicht so einfach. Die Anschauung ist hier wohl ein erlaubtes und gutes Hilfsmittel, obwohl ich das Ganze noch nicht ganz nachvollziehen kann, deswegen werde ich mir wohl noch mal deine Beitraege genauer zu Gemuete fuehren muessen. Aber auf jeden Fall ist das schon mal eine tolle Leistung von Dir, dass Du das ganze so "ueber Nacht" hergelitten hast. Also nochmal vielen, vielen lieben Dank. Gruss, syn PS: Wenn ich noch Fragen hab melde ich mich nochmal.


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shadowking
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  Beitrag No.17, eingetragen 2005-02-23

Tja, nun ist doch fast ein Artikel daraus geworden, was ich erst gar nicht gedacht hatte. Ich habe den Beitrag oft noch geändert; jetzt müsste er aber stabil sein. Ich hätte selbst nicht gedacht, dass ich ohne bei MathWorld oder in den Bronstein zu schauen das Integral klein kriegen würde. Übrigens gewinnt man aus den ganzen Überlegungen noch Folgendes: f\*...\*f(w)=n*sum((n-w-2*k)^(n-1)*(-1)^k/((n-k)!*k!),k=0,floor((n-w)/2)) Bild n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 Gruß shadowking


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syngola hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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