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Olympiade-Aufgaben » Geometrie » Dreieckskonstruktion
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Kein bestimmter Bereich Dreieckskonstruktion
Gesiree
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2005-03-02


Nachträglich wieder eingefügt:

Man konstruiere ein Dreieck ABC aus den Längen der Höhe h_c, der Seitenhalbierenden s_c und der Winkelhalbierenden w_c.

[ Nachricht wurde editiert von Gesiree am 03.03.2005 00:18:47 ]
[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 09.03.2005 07:50:55 ]



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Rebecca
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2005-03-02


Hi Gesiree,

sei herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Das ist ein schöner Einstand mit deiner tollen Aufgabe. Aber im Moment sehe ich noch kein Licht am Horizont. Auf Anhieb würde ich sagen: Konstruktion unmöglich. Aber ich gebe nicht auf.

Gruß
Rebecca



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2005-03-02


Hallo Gesiree!

Verzeihung für eine Frage: Wer bist du und aus welchem IMO-Trainingsjahr kommt die Aufgabe? Ich war letztes und bin dieses Jahr dabei und habe nicht den Eindruck die Aufgabe dort gesehen zu haben (generell machen wir so gut wie keine Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen mehr, weil sie anscheinend auch aus der IMO selber verschwunden sind).

Kurz ein Lösungsplan:

Die Aufgabe verlangt nach einer Konstruktion eines Dreiecks ABC aus den Längen der Höhe hc, der Seitenhalbierenden sc und der Winkelhalbierenden wc.

Wir beginnen unsere Konstruktion mit einer beliebig in der Ebene plazierten Strecke CHc der Länge CHc = hc. Diese Strecke CHc soll die von C ausgehende Höhe unseres gesuchten Dreiecks ABC sein. Die Senkrechte zu dieser Strecke CHc im Punkt Hc ist dann natürlich die Gerade AB; auf dieser Geraden können wir sofort zwei wichtige Punkte lokalisieren, nämlich den Mittelpunkt Mc der Strecke AB, und den Punkt Wc, in dem die von C ausgehende Winkelhalbierende des Dreiecks ABC die Seite AB schneidet, denn wir kennen ja die Abstände dieser zwei Punkte von dem (bekannten) Punkt C (diese Abstände sind CMc = sc und CWc = wc).

Damit haben wir natürlich auch die Gerade CWc erhalten, also die von C ausgehende Winkelhalbierende des Dreiecks ABC. Die von C ausgehende Höhe kennen wir auch, das ist einfach die Gerade CHc. Damit können wir offensichtlich auch das Spiegelbild der von C ausgehenden Höhe an der von C ausgehenden Winkelhalbierenden konstruieren.

Nun wollen wir den Umkreismittelpunkt O des Dreiecks ABC konstruieren.

Bekanntlich gilt: Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks liegt auf dem Spiegelbild einer beliebigen Höhe des Dreiecks an der (von derselben Dreiecksecke ausgehenden) Winkelhalbierenden. (Dies ist eine Umformulierung von Aufgabe D.25 auf Eckards Website - siehe hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/PD1.html .) Damit muss der (für uns noch unbekannte) Umkreismittelpunkt O des Dreiecks ABC auf dem Spiegelbild der von C ausgehenden Höhe des Dreiecks ABC an der von C ausgehenden Winkelhalbierenden liegen. Damit haben wir schon eine uns bekannte Gerade, auf der der Punkt O liegt. Eine andere ist viel einfacher zu finden - der Punkt O liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB, also auf der Senkrechten zu der Geraden AB durch den Mittelpunkt Mc der Strecke AB; sowohl die Gerade AB, als auch der Punkt Mc sind uns bekannt, und damit konstruieren wir die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Schneiden wir diese Mittelsenkrechte mit dem obengenannten Spiegelbild, erhalten wir den Umkreismittelpunkt O des Dreiecks ABC.

Ab jetzt ist alles nur noch trivial: Wir haben ja den Umkreismittelpunkt O und die Ecke C des Dreiecks ABC, und die Gerade AB, also die Gerade, auf der die Punkte A und B liegen müssen; die genaue Position der Punkte A und B auf dieser Geraden bestimmen wir einfach dadurch, daß wir den Kreis um den Punkt O mit Radius OC (das ist der Umkreis unseres Dreiecks ABC) mit der Geraden AB schneiden.

Damit ist das Dreieck ABC konstruiert.

Habe mir keine Gedanken darüber gemacht, wie man im Allgemeinen die Anzahl der Lösungen determinieren könnte (es geht wohl straightforward, aber, wie immer bei solchen Aufgaben, mühselig), aber einen Grenzfall möchte ich erwähnen: Wenn hc = sc = wc ist, dann ist klar, daß unser gesuchtes Dreieck ABC gleichschenklig ist; unsere Konstruktion scheitert in diesem Fall aber, da die zwei Geraden, durch deren Schnitt wir den Punkt O bestimmt haben, zusammenfallen. Dieses Scheitern hat auch seinen Grund - es gibt in diesem Grenzfall unendlich viele Dreiecke ABC mit den gegebenen Längen hc, sc und wc.

  Viele Grüße,
  Darij

[ Nachricht wurde editiert von isotomion am 02.03.2005 21:54:30 ]



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2005-03-03


Hi Gesiree

Noch ein Willkommen auf dem Planeten.

Ich liebe solche Aufgaben. Hier meine Lösung dazu (ich habe erst mal nur die Aufgabe und Rebeccas Post gelesen, isotomion habe ich wohlweislich erst mal ausgelassen ).

Wie üblich bei mir erst mal ein Bild:
Bild
Was ist da passiert?
  1. Wähle auf der Basisgeraden (blau) den Höhenfußpunkt hC und zeichne die Höhe, ergibt schon mal die Ecke C.
  2. Zeichne um C zwei Kreise mit den Radien s_c und w_c, ergibt die Schnittpunkte sC und wC. Untersuchungen bzgl der zweiten möglichen Schnittpunkte überlasse ich Dir.
  3. Nun gibt es einen Satz, daß sich Winkelhalbierende von C und die Mittelsenkrechte der Seite c auf dem Umkreis schneiden (siehe Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte). Die Winkelhalbierende ist bekannt, ebenso die Mitte der Seite c (nämlich sC). Damit kann der Schnittpunkt F bestimmt werden.
  4. Nun kennen wir zwei Punkte des Umkreises: C und F. Der Umkreismittelpunkt muß also auf der Mittelsenkrechten von CF liegen (Mitte von CF ist G).
  5. Außerdem liegt der Mittelpunkt des Umkreises auch auf der Mittelsenkrechten der Seite c, der Mittelpunkt ist ja sC.
  6. Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt M des Umkreises.
  7. Kreis um M durch C (oder F, wie's beliebt) ergibt die beiden Schnittpunkte A und B mit der Basisgeraden.
FERTIG.

Gruß vom 1/4


NACHTRAG
So, jetzt habe ich auch isotomions Beitrag gelesen. Er geht fast den gleichen Weg, lediglich den Umkreismittelpunkt konstruiert er anders. Der von mir benutzte Satz steht übrigens auf der gleichen Seite von Eckard, als D3.

[ Nachricht wurde editiert von viertel am 03.03.2005 00:16:59 ]



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2005-03-03


Ich glaub's jetzt nicht
Gesiree hat nicht nur kommentarlos den Haken gesetzt, sondern auch noch um 00:18 den Aufgabentext gelöscht
Haben wir da gerade jemandem nicht eine IMO-Trainingsaufgabe, sondern eine aktuelle Wettbewerbsaufgabe gelöst?
Wutschnaubende Grüße vom 1/4


Und da machen wir uns gerade Gedanken um freundliches Verrhalten gegenüber Fragestellen, siehe <a href= target=_blank>Wie wäre es wenn ... wir weniger meckern
Sorry, aber da fällt mir keine andere Reaktion zu ein  



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2005-03-03


Hallo allerseits,

au weia. Gesiree bat mich, den gesamten thread zu löschen. Soll ich wirklich? Immerhin stehen ja einige Ideen hier, die viel zu schade sind, gelöscht zu werden. Zumal in ein paar Tagen vielleicht alles ganz anders wäre. Muss mal schauen, ob es eine Olympiadeaufgabe ist ...

Gruß Eckard

PS/Nachtrag: Es ist definitiv keine aktuelle Aufgabe. Bleibt nur noch IMO-Training, oder?

@Darij: Wird der IMO-Auswahlwettbewerb eigentlich zeitparallel an allen Schulen geschrieben? Oder gibt es da auch Differenzen von einigen Tagen?

@matroid: Kann man einen thread zwischenzeitlich verschwinden lassen, ohne ihn löschen zu müssen? Ihm sozusagen eine "Tarnkappe" verpassen?

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 03.03.2005 08:45:17 ]



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2005-03-03


Warum kommt mir das alles so bekannt vor? Achja, haben denn nicht ich und ein paar andere Moderatoren auf MathLinks den Spaß gehabt, zweimal von der gleichen Person (!) gepostete BWM-Aufgaben der 1. Runde (das war noch im Januar, also lange vor Einsendeschluss) zu löschen? Anyway, hier fällt mir wirklich keine aktuelle Olympiade ein, aus der die Aufgabe stammen könnte. Aus dem IMO-Training ist die auch nicht, für die Shortlist wäre sie zu bekannt; das einzige was bleibt sind vergleichbare Wettbewerbe anderer Länder, u. a. Österreich.

Ja, der IMO-Auswahlwettbewerb (zumindest die beiden Vorauswahlklausuren) wird zeitparallel an allen Schulen geschrieben, aber der ist schon lange vorbei und außerdem scheint, wie schon gesagt, die Aufgabe kaum aus einem solchen Wettbewerb zu kommen.

Das ganze bleibt mir echt ein Rätsel.

PS. Könnt mit dem Thread tun was ihr wollt, ich zumindest hab ihn bei mir als HTML abgespeichert. ;)

  Grüße,
  Darij



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Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2005-03-03


Danke Darij für deine fachkundige Aufklärung. Österreich oder Schweiz ist natürlich eine Möglichkeit, da kenne ich die Regularien (noch) nicht. Es wäre nett, wenn uns jemand darüber mal aufklären könnte -> *zu_fru_schielend*.

Also, ich denke auch, dass jetzt kein zwingender Grund besteht, diesen thread zu töten.

Lest bitte mal das README.FIRST, was ich gerade erstelle und macht Ergänzungen. Danke.

Gruß Eckard

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 03.03.2005 09:38:25 ]



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2005-03-03


Hallo, allerseits!

Wenn sich nicht vor kurzem etwas geändert hat,
gibt es in Österreich keine solchen Wettbewerbe
mit Hausaufgaben, sondern nur Klausurarbeiten.

Aber ich werde mich dahingehend noch informieren,
muß jetzt leider für eine Weile weg.

Liebe Grüße, Franz



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2005-03-03


Hi, meine Vermutung hat sich bestätigt!

Für alle, die sich näher für die ÖMO interessieren,
hier ist der Link:

Die Österreichische Mathematik-Olympiade

Liebe Grüße, Franz

[ Nachricht wurde editiert von fru am 14.08.2006 04:09:03 ]



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Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2005-03-03


Herzlichen Dank Franz!

Gruß Eckard



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