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  Cauchy-Hankelsche Integralformel |
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scorp
Senior 
Dabei seit: 07.10.2002
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 |  Themenstart: 2002-12-03
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Hi!
Es führt wohl mal wieder kein Weg daran vorbei, erneut auf eure Hilfe zurück zu greifen. Und zwar bin ich gestern zufällig auf die Cauchy'sche
und Henkel'sche Integralformel gestoßen.
Nun kann ich damit leider nur wenig anfangen. Die beiden Formeln liefern für alle nÎN bzw. cÎC die jeweilige Ableitung einer komplexen Funktion.
Kann mir jemand helfen die erste so um zu schreiben, dass sie für Funktionen auf |R angewandt werden kann?
Einfach den Nenner 2pi aus der Gleichung zu entfernen und ein "gewöhnliches" Integral zu berechnen verläuft wenig fruchtbar.
Schonmal danke im Voraus,
/Alex
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Eckard
Senior 
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-03
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Hallo scorp,
zunächst, das Teil heißt Hankel und nicht Henkel. Dann musst du wissen, dass das Integral ein Umlaufintegral entlang einer geschlossenen Kurve in der komplexen Ebene ist. Wenn du Cauchys Integralformel also auf ein Integral im Reellen zurückführen willst, musst du den Weg geeignet wählen. Siehe hierzu mal Hankel Contour.
Gruss Eckard
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Anonymous
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|  Beitrag No.2, eingetragen 2002-12-03
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Danke Eckard, jetzt weiss ich auch endlich, warum google nix gefunden hat... 8-)
Das mit dem Umlaufintegral war mir bekannt, aber deiner Antwort zu entnehmen ist die Anwendung auf |R nicht wirklich trivial, bzw. es scheint auch keine allgemein gültige Formel dafür zu geben. Oder irre ich?
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Eckard
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-03
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Hallo scorp,
ich muss ehrlicherweise sagen, dass Funktionentheorie nicht gerade mein Steckenpferd ist und ich auch kein schönes Beispiel parat habe, von denen es sicherlich einige gibt. Ich müßte in ein Buch über Funktionentheorie sehen. Hast du 'ne gute Bibliothek in der Nähe?
Gruss Eckard
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scorp
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-03
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Hi Eckard,
es gibt hier eine städt. Bücherei, aber in Sachen Mathe hat diese nicht viel zu bieten. Werde dort nachher trotzdem mal vorbeischaun. Irgendwo muss es ja eine Erklärung für die Anwendung der Formel geben. Ich lass es euch/dich wissen, wenn ich fündig geworden sein sollte.
Grüße,
/Alex
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N-man
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2002-12-03
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Hallo.
Anwendung dieser Formeln ist es ja weniger die n-te Ableitung zu bestimmen, sondern mehr das Integral mit Hilfe der Ableitung.
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scorp
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-03
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Hi Manu!
"Anwendung dieser Formeln ist es ja weniger die n-te Ableitung zu bestimmen, sondern mehr das Integral mit Hilfe der Ableitung."
Erinnert ein wenig an die Taylor-Entwicklung ;-)
Es ist so, dass ich gerne einen beliebigen Ableitungsgrad bestimmen würde. Nachdem was du geschrieben hast muss dazu das Integral bekannt sein. Stimmt das denn?
Btw: Das Suchen in der Bücherei hat nichts gebracht. In einem von ca. 20 Büchern hab ich "Hankel" gefunden, aber in diesem waren nur Bilder von Mathematikern abgebildet.
Schönen Abend noch
/Alex
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N-man
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2002-12-03
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Hast du an eine konkrete Funktion gedacht?
Um besagte Integralformel verwenden zu können, müssen einige Anforderungen erfüllt sein.
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scorp
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-03
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Nein, habe keine konkrete Funktion.
Wie gesagt, mein Ziel ist es noch immer die Cauchy-Formel für Funktionen f: lR ---> lR umzuschreiben. Wäre das womöglich sogar eine Modifikation der Taylor-Entwicklung?
[ Nachricht wurde editiert von scorp am 2002-12-03 19:46 ]
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N-man
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| Beitrag No.9, eingetragen 2002-12-03
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Wie Eckard schon gesagt hat, kommt die Formel aus der Funktionentheorie, d.h. das funktioniert für bestimmte Funktionen von C nach C. Du kannst eine komplexe Funktion als eine Funktion von IR² nach IR² interpretieren. Das würde dann gehen.
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scorp
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-03
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Hallo,
zuerst nochmal Dank für eure Hilfe. Allerdings ist mir manches noch immer nicht ganz klar. Deswegen würde ich das ganze Prozedere gerne einmal durchexerzieren:
Und wie weiter? Ich würde gerne die zweite Ableitung von f* berechnen...
:-/
/Alex
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N-man
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| Beitrag No.11, eingetragen 2002-12-03
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Um konkret zu rechnen, fehlt aber noch eine konkrete Funktion.
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scorp
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-03
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Komplexe Funktionen sind für mich Neuland...
Was brauch st/ts denn noch?
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N-man
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2002-12-04
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Also..
Die Ableitung mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel zu berechnen, scheint mir nicht sehr geeignet zu sein, da die Ableitung einer analytischen Funktion relativ einfach zu bestimmen ist, das für das Integral aber nicht gelten muss.
Deshalb ist Cauchy eben sinnvoller, wenn das Integral zu bestimmen ist und die Ableitung bekannt ist.
Wenn du in Funktionentheorie nicht so fit bist, dann hast du vielleicht Probleme zu folgen, aber ich kann dir ja mal ein Beispiel für die Berechnung eines komplexen Wegintegrals mit Hilfe der Cauchyschen Integralgleichung geben.
Es ist zu berechnen:
òK dz/(1+z²),
wobei K positiv orientiert und die Menge aller z aus C mit |z-i|=1
Man soll also das Wegintegral entlang des entsprechenden Kreises berechnen.
i liegt innerhalb des Kreises und in diesem Punkt ist der Integrand nicht analytisch.
Ich setzte mir f(z):= 1/(z+i)
-> òdz/(1+z²) = ò f(z)dz/(z-i)
Jetzt kann ich Cauchy anwenden:
2pi*f(i) = ò f(z)dz/(z-i)
òdz/(1+z²) = 2pi * 1/(2i) = p
Konntest du folgen?
Was ich sagen wollte: Cauchy ist eine feine Sache für die Berechnung komplexer Wegintegrale, aber für die Bestimmung der Ableitung nur schwierig zu gebrauchen.
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scorp
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-04
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Hi Manu und Eckard,
vielen Dank für eure Hilfe, ihr habt mir sehr geholfen. Ganz verstanden hab ich deine Rechenschritte nicht, Manu, aber das kommt sicher noch irgendwann und ist im Moment auch nicht so wichtig. Dafür weiss ich jetzt endlich wozu die Formeln zu gebrauchen sind und wozu besser nicht :-)
Bis zum nächsten Mal,
/Alex
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