| Autor |
  Reihe |
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Moonie123
Senior 
Dabei seit: 27.10.2002
Mitteilungen: 413
Wohnort: Hof
 |  Themenstart: 2002-12-08
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Hallo,
ich hab hier eine Reihe, mit der ich nicht viel anfangen kann. "Aufgabenpsychologisch" würde ich mal auf Anwendung vom Leibnitzkriterium tippen, aber ich kriegs einfach nicht hin...
(-1)n+1
an = ---------------------------------
sqrt(n) + (-1)n+1
Die Frage ist jetzt, ob die zugehörige Reihe konvergiert oder divergiert und wie ich das rauskriege. Ist das mit dem Leibnitzkriterium die völlig falsche Fährte?
Bin dankbar für jeden Tipp.
Grüße,
Moonie123 
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-08
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Hi!
Leibnizkriterium ist grundsätzlich richtig, das dumme ist nur, dass die Folge 1/(Ön + (-1)n+1) nicht monoton ist (Voraussetzung für Leibnizkriterium).
Deshalb betrachte mal die Folgen (-1)n+1/(Ön+1) und (-1)n/(Ön-1). Deren Summen konvergieren nach Leibniz, und deine Folge an liegt immer zwischen den beiden konvergenten Reihen. Daher konvergiert sie auch.
Gruß
Fabi
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Moonie123
Senior
Dabei seit: 27.10.2002
Mitteilungen: 413
Wohnort: Hof
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-08
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@Fabi
Dankeschön! Das hat mir schon sehr weitergeholfen - wär ich aber wieder nie von selber draufgekommen... 
Grüße,
Moonie123
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-09
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Ich glaube, das ist nicht ganz richtig.
Versuchen wir´s so:
a(2n)+a(2n+1)=-1/(sqrt(2n)-1)+1/(sqrt(2n+1)+1)=
=(-sqrt(2n+1)-1+sqrt(2n)-1)/(sqrt(4n^2+2n)-sqrt(2n+1)+sqrt(2n)-1)
<-2/(sqrt(4n^2+2n)-sqrt(2n+1)+sqrt(2n)-1)
<-2/(sqrt(4n^2+4n+4))=-2/(2n+2)
Das bedeutet, die Reihe divergiert nach - unendlich.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.4, eingetragen 2002-12-09
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Hallo!
Ich bin auch der Meinung, dass die Reihe nach -¥ konvergiert.
Man sollte jedoch dafür nicht das Majorantenkriterium sondern das Minorantenkriterium anwenden. Sprich die Abschätzungen kleiner gleich statt größer gleich benutzen. Funktioniert aber genauso.
@rl
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Moonie123
Senior 
Dabei seit: 27.10.2002
Mitteilungen: 413
Wohnort: Hof
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-09
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Hmmm... Jetzt bin ich doch etwas verwirrt... 
Vielleicht könnte mir jetzt doch nochmal jemand weiterhelfen, wie ich die Summe aus den beiden Folgengliedern nach unten abschätzen kann, sodaß das dann divergent wird.
Grüße,
Moonie123
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Karl
Senior
Dabei seit: 09.12.2002
Mitteilungen: 865
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.6, eingetragen 2002-12-10
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Hallo Moonie!
Die Abschätzung nach unten könnte aussehen
(Ö(2n)+Ö(2n+1)-2)/((Ö(2n+1)+1)*(Ö(2n)-1))
> (2*(Ö(2n)-1))/(2n+1-1)=(Ö(2n)-1)/n
> (für hinreichend großes n) 1/Ö(n) >1/n
Beweis Ende und gute Nacht
@rl
[ Nachricht wurde editiert von Karl am 2002-12-10 00:18 ]
[ Nachricht wurde editiert von Karl am 2002-12-10 00:19 ]
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psychiater
Senior
Dabei seit: 28.01.2002
Mitteilungen: 121
Wohnort: USA/Deutschland
 | Beitrag No.7, eingetragen 2002-12-10
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Jetzt aber richtig (oben als Anonymus war´s zu unübersichtlich):
Die Summe zweier aufeinanderfolgender Glieder ist immer *negativ*, notwendig ist daher die Abschätzung nach *oben*, um die Divergenz nach - ¥ nachzuweisen.
a(2n)+a(2n+1)=
=-1/( Ö(2n) -1) +1/( Ö(2n+1) +1)=
=(-( Ö(2n+1) +1) +( Ö(2n) -1)) / (( Ö(2n) -1)( Ö(2n+1) +1)) =
=(-Ö(2n+1)+Ö(2n)-2)/(Ö(4n^2+2n) -Ö(2n+1)+Ö(2n)-1) <
< -2/(Ö(4n^2+2n) -Ö(2n+1)+Ö(2n)-1) <
< -2/(Ö(4n^2+2n) <
< -2/(Ö(4n^2+8n+4) =
=-2/(2n+2) = -1/(n+1)
Das heist die Summe zweier Glieder a(2n)+a(2n+1)<-1/(n+1), also divergiert die Reihe nach - ¥.
(Bzw. |a(2n)+a(2n+1)| > 1/(n+1), divergiert , da 1/(n+1) divergiert.)
psy
[ Nachricht wurde editiert von psychiater am 2002-12-10 01:14 ]
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Moonie123
Senior
Dabei seit: 27.10.2002
Mitteilungen: 413
Wohnort: Hof
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-10
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@psychater
Ich war etwas verwirrt, von dem <= , das mit den negativen Werten hatte ich nicht bedacht... Jetzt hab ichs, glaub ich, kapiert.
Danke auf jeden Fall.
Grüße,
Moonie123
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