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  Symmetrien im Gitter |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2005-05-01
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Hallo liebe Leute,
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe aus der Festkörperphysik (in welches Unterforum soll ich diesen Thread dann wohl am besten einordnen?).
Ich soll zeigen, dass es keine zweidimensionalen Gitter mit dreizähligen Achsen als Achsen höchster Symmetrie gibt. Dazu soll ich eine dreizählige Achse durch einen Gitterpunkt betrachten. Erste Frage: Warum schränkt das die Allgemeinheit nicht ein? Dann soll ich zeigen, dass diese Achse aufgrund der Translationssymmetrie sechszählig sein muss.
Ich kann mir das einigermaßen vorstellen, aber habe keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Und dann kommt es noch schlimmer, denn ich muss mir auch noch überlegen, unter welchen Bedingungen die obige Schlussfolgerung für ein 3-dim Gitter gilt 
Hat jemand einen Ansatz für mich? Tut mir leid, dass ich nicht mal einen eigenen Ansatz habe 
Viele Grüße,
Anne
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-02
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Spock
Senior 
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
 | Beitrag No.2, eingetragen 2005-05-02
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Hallo Anne,
wir sind bei Dir und der Aufgabe, :-)
Allerdings geht die Fragestellung für mich ziemlich ins Detail, und ich bin nicht sicher, ob ich richtig verstehe, was Du mit dreizähligen bzw. sechszähligen Achsen meinst. Kannst Du das ein wenig näher erläutern? Für mich zum Einordnen und besseren Verständnis: welcher Vorlesung aus welchem Semester entstammt die Aufgabe?
Gruß
Juergen
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-03
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Hey Juergen,
da bin ich ja beruhigt, dass jemand bei mir ist 
Die Aufgabe stammt aus der Vertiefung der Experimentalphysik (6. Semester), wo wir dieses Semester Festkörperphysik behandeln. Dreizählige Achsen sind Rotationsachsen, durch Drehung um welche um jeweils 120° man das Gitter wieder deckungsgleich zur Ausgangsposition bringt. Dasselbe gilt für sechszählige Achsen, nur dass es dann jeweils 60° sind. Ich hoffe, das ist jetzt klarer geworden?
Viele Grüße, Anne
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Lew
Senior
Dabei seit: 18.02.2005
Mitteilungen: 284
Wohnort: 2A
 | Beitrag No.4, eingetragen 2005-05-03
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\
Hu Knallbohne,
vom Prinzip her sollte es so gehen:
Nimm 2 beliebige Elementarvektoren des 2d Punktgitters:
a^>=(a_x; a_y)
b^>=(b_x; b_y)
diese werden dann mit der Matrix
M=(cos \phi ,- sin \phi ; sin \phi, cos \phi)
und der Bedingung \phi=2*\pi*m/3
(m ganz) gedreht, so daß
a^>'=M a^>
b^>'=M b^>
so nun müssen sich aber aufgrund der
Translationssymmetrie a^>' und b^>'
durch a^> und b^> darstellen lassen:
a^>'=n a^> + o b^>
b^>'=p a^> + q b^>
mit n,o,p,q ganz.
...und das soll wohl irgendwie nicht gehen...
ich hab aber gerade keinen Bock mehr zu rechnen.
Wär nett wenn Du mir das Ergebniss zeigst...
Peace and love
Lew
[ Nachricht wurde editiert von Lew am 03.05.2005 13:34:19 ]
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-05
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"Hu" Lew  ,
Das ist eine gute Idee, da eine Drehmatrix drauf loszulassen. Hätte ich auch selbst drauf kommen können
Ich glaube aber, es muss gelten
\
\phi=2\pi m/6 ,
um damit die Sechszähligkeit zu zeigen. Ich habe es jetzt auch nicht durchgerechnet, weil die sin- und cos-Werte nicht so schön sind, aber ich finde es sehr einleuchtend, was du schreibst! Es war eine Übungsaufgabe und deine Antwort kam leider zu spät dafür. Ich habe einfach ein Bildchen gemalt, was natürlich kein Beweis ist. Ich bin gespannt, welche Lösung der Übungsleiter sehen wollte. Sag bescheid, wenn dich das dann noch interessiert, dann schreib ich die Lösung hier rein.
Danke und viele Grüße, Anne
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Lew
Senior
Dabei seit: 18.02.2005
Mitteilungen: 284
Wohnort: 2A
| Beitrag No.6, eingetragen 2005-05-09
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Hu knallbohne,
Bescheid!
Gruss
Lew
[ Nachricht wurde editiert von Lew am 09.05.2005 00:38:17 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-10
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Hey Lew,
Wir haben heute in der Übung die Aufgabe besprochen. Die "Bildchenlösung" hat gereicht und nicht mal der Übungsleiter hatte eine mathematische Lösung. Ich habe gefragt, ob man es nicht so machen müsste, wie du es beschrieben hast, darauf hat er nur gesagt, man müsste das gruppentheoretisch beweisen, indem man die Rotationsmatrix und die Matrix für die Translationssymmetrie irgendwie kombiniert und das könnte er selbst nicht. Ich glaube, er hat gar nicht verstanden, was ich wollte
Ich kann also nicht mit einer Lösung dienen, bin aber immer noch von deinem Lösungsweg überzeugt, wenn man halt für phi
\
\phi=2\pi m/6 ,
nimmt. Sehr schlau, ich ärger mich immer noch, dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin.
Lieben Gruß und Danke, Anne
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Spock
Senior
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
| Beitrag No.8, eingetragen 2005-05-10
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Hallo Anne,
Danke für die Rückmeldung, und ich bestätige Dir, daß Lew's Ansatz in Ordnung ist. So würde man in der theoretischen Festkörperphysik heran gehen, und Lew hat nichts anderes getan als Drehung und Translation zu kombinieren, mit dem Hinweis auf Symmetrieeigenschaften. Du hattest erwähnt, daß es sich um eine Experimentalphysik-Vorlesung handelt, und da reichen manchmal tatsächlich Bildchen, :-)
Gruß
Juergen
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Lew
Senior 
Dabei seit: 18.02.2005
Mitteilungen: 284
Wohnort: 2A
| Beitrag No.9, eingetragen 2005-05-11
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Hu Anne,
2005-05-10 17:27: knallbohne schreibt:
Sehr schlau, ich ärger mich immer noch, dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin.
Meine Schlauheit hat sich eigentlich darauf beschränkt, dass ich das richtige Buch gefunden hab und das Standartbeispiel für solchen Fall kenne. Dieses ist nämlich in 3d die 5-zählige Drehachse. Insofern sollten wir eigentlich alle depremiert sein.
*schnieefff*
sprungbereites *Winke Winke* vom Hochhausdach
Lew
[ Nachricht wurde editiert von Lew am 11.05.2005 10:25:10 ]
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46931
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.10, eingetragen 2005-05-11
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Hi Anne,
als Nachtrag hier noch eine mathematische Lösung:
Zunächst mal gibt es bei einem 2D-Gitter keine Achsen, sondern höchstens Punkte, um die man das Gitter dreht. Achsen gäbe es nur, wenn man das Gitter in 3D betrachtet, sie stehen dann auf der Gitterebene senkrecht.
Es sei M ein dreizähliger Drehpunkt in der Gitterebene und P ein Gitterpunkt. Ferner sei G das Gitter, D die Drehung um M mit Winkel 120°, E die Drehung um P mit dem Winkel 120° und S die Drehung um P mit Winkel 180°, also die Spiegelung am Gitterpunkt P.
\
Dann ist S(G)\subseteq\ G, und nach Voraussetzung gilt D(G)\subseteq\ G. Ist Q ein weiterer Gitterpunkt, dann sind D(P) und D(Q) Gitterpunkte, also auch E(Q), weil E(Q) der Punkt ist, der die Gitterpunkte P, D(P) und D(Q) zu einem Parallelogramm ergänzt. Daher gilt E(G)\subseteq\ G, schließlich ist S E^(-1) eine Drehung um 60° um den Punkt P, die G in sich überführt. Also ist P \(und, da P beliebig gewählt werden kann, jeder Gitterpunkt\) ein sechszähliges Symmetriezentrum, was zu beweisen war.
Bemerkung: Es ist möglich, daß die Drehung D um den Punkt M nur dreizählig ist, aber nur, wenn M kein Gitterpunkt ist. Der entscheidende Gedanke ist tatsächlich, daß man den Drehpunkt in einen Gitterpunkt verlegen kann, was nicht völlig selbstverständlich ist, und so wie oben bewiesen werden kann.
Für 3D-Gitter (hier muß man statt von Drehzentren von Drehachsen sprechen) funktioniert es nicht immer, weil die 180°-Drehung um eine Achse (parallel zur ursprünglichen Drehachse) das Gitter G nicht unbedingt in sich überführt, selbst dann nicht, wenn die Achse durch einen Gitterpunkt geht. Dies ist wohl die zusätzliche Bedingung (das Gitter besitzt eine zu der dreizähligen Achse parallele zweizählige Achse), möglicherweise kann sie auch noch anders formuliert werden.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 11.05.2005 11:57:32 ]
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-11
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Hallo zusammen,
Danke für eure große Anteilnahme an meinem Problemchen
@Lew Nicht springen, ich brauch dich noch Wie zeigt man das denn in 3D für die fünfzählige Achse? Es gibt doch keine zehnzähligen Achsen, so dass ich nicht wie hier von einer drei- auf eine sechszählige Achse schließen kann. Du brauchst mir nicht den Beweis hinschreiben, aber bring mich doch mal auf den richtigen Gedanken. Oder verrate mir dein Buch, das sollte ich mir wohl sowieso mal zulegen
@Buri Ich wollte einen mathematischen Beweis, jetzt schreibst du mir einen hin, und ich verstehe ihn nicht mal Wieso ist denn S(G) in G? Müsste man das nicht auch zeigen? Denn sonst könnte ich doch gleich schreiben: Sei Z die Spiegelung an M, dann ist Z(G) in G. P ist ja äquivalent zu M.
Schön, dass es den Matheplaneten gibt, denn bei uns in der Uni stößt man mit solchen Fragen leider auf taube Ohren.
Viele Grüße, Anne
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-11
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Hi Anne,
in jedem Gitter, landet man wieder im Gitter, wenn man einen Gitterpunkt an einem anderen spiegelt. Da M aber nur in der Gitterebene liegt, aber nicht notwendigerweise ein Gitterpunkt ist, kann man nicht so einfach sagen "Sei Z die Spiegelung an M, dann ist Z(G) in G".
PS:
Bei mir an der Uni stößt man auch oft auf Unverständnis, wenn man weitergehende Fragen stellt, die über den Rand der Vorlesung hinausgehen, da ist wohl etwas Bequemlichkeit und mangelnde Interesse am Fach im Spiel.
Jedoch gibt es auch einige Leute, die für sowas ein offenes Ohr haben und das finde ich schön.
So hat z.B. neulich ein ETechnik Prof sich mit mir hingesetzt und ein Problem durchgerechnet, das ich alleine nicht hingekriegt hab.
Gruß
Benjamin
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46931
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.13, eingetragen 2005-05-11
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Hi Anne,
wenn P und Q Gitterpunkte eines 2D\-Gitters sind, dann ist der Punkt R, der durch Spiegelung von Q an P entsteht, selbst ein Gitterpunkt, weil die Vektoren RP^> und PQ^> gleich sind.
Also bildet S das Gitter G in sich ab.
In 3D gilt das Gleiche für die Spiegelung an einem beliebigen Gitterpunkt, dies ist aber nicht dasselbe wie die 180°-Drehung um eine Achse.
Bei den fünfzähligen Achsen wird doch, wenn ich es richtig sehe, gerade die Nichtexistenz zehnzähliger Achsen zum Beweis verwendet.
Aber ich weiß nicht genau, wie man von der Annahme, es gäbe eine fünfzählige Achse, zu dem Widerspruch kommt, es gäbe eine zehnzählige Achse. Möglicherweise schlußfolgert man hier anders.
Gruß Buri
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-11
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@Benjamin Das war mir nicht bewusst, dass alle Gitter invariant bezüglich Spiegelung an ihren Gitterpunkten sind. Ich versuche schon die ganze Zeit, ein Gegenbeispiel zu finden, was mir nicht gelingt. Ich bin also schon kurz davor, dir zu glauben
@Buri Aha, ich hätte besser lesen sollen. M ist ein beliebiger Punkt, nicht unbedingt ein Gitterpunkt. Verstanden Dein Beweis ist also wirklich allgemein. Das hätte ich mal meinem Übungsleiter vorrechnen sollen, der hätte gestaunt.
Um bei dem Beweis, dass es keine fünfzähligen Achsen gibt, so vorzugehen, wie du es vorschlägst, müsste man ja erst zeigen, dass es keine zehnzähligen Achsen gibt. Ist das denn einfacher? Vielleicht sagt Lew da ja noch was zu.
Ich warte noch auf seine Buchempfehlung. Lew, wo steckst du?
Lieben Gruß, Anne
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Lew
Senior
Dabei seit: 18.02.2005
Mitteilungen: 284
Wohnort: 2A
| Beitrag No.15, eingetragen 2005-05-11
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hmm hab das buch nicht zu hause...
morgen?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-11
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Es reicht mit schon, wenn du mir sagst, welches Buch es ist, dann kann ich selbst nachgucken, falls unsere Bibliothek das hat.
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Lew
Senior
Dabei seit: 18.02.2005
Mitteilungen: 284
Wohnort: 2A
| Beitrag No.17, eingetragen 2005-05-12
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ja, das hätte aber bedeutet, dass ich mich an den Titel erinnert hätte. Das Buch ist ansonsten ja auch nicht so die Wucht:
H. Hänsel, W. Neumann; Physik: Moleküle und Festkörper; Spektrum, Akad. Verlag; 1996; ISBN 3-86025-314-X
Gruß
Lew
[ Nachricht wurde editiert von Lew am 12.05.2005 10:25:21 ]
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-12
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Okay, dann ist ja alles klar!
Danke und viele Grüße,
Anne
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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