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  Gitter-Fragen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2005-05-17
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Hallo Leute,
Festkörperphysik verwirrt mich. Ich habe einige grundlegenden Sachen nicht verstanden und hoffe, es kann mir jemand helfen. Ich fange mal mit der einfachsten Frage an, es kommen aber bestimmt noch mehr.
Es gibt primitive und nichtprimitive Bravaisgitter. Das sc-Gitter ist primitiv, aber das fcc-Gitter nicht. Haben beide trotzdem die gleichen Translationsvektoren? Das kann ja nicht sein, weil ich dann mit den Vektoren die Punkte in den Mitten der Seitenflächen nicht darstellen könnte.
Bei uns im Skript steht aber, dass sowohl bei sc als auch bei fcc gilt, dass
\
abs(a^>)=abs(b^>)=abs(c^>), \alpha=\beta=\gamma
Da sieht es doch so aus, als hätten sc und fcc die gleichen Translationsvektoren  Wo steckt der Fehler?
Viele Grüße, Anne
P.s.: In welches Unterforum gehört Festkörperphysik?
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2005-05-17
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Hi Anne,
ich nehme deine letzte, überaus berechtigte Frage als Anlass, nun doch endlich ein Unterforum "Festkörperphysik" einzurichten. Hatte damals bereits daran gedacht, aber den Gedanken verworfen. Nun wird es Zeit. Danke für den Stubser.
Zum Problem muss ich erst ein Bild machen, dann antworte ich (heute abend).
Gruß Eckard
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
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| Beitrag No.2, eingetragen 2005-05-17
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Hi Anne,
ich spar mir erstmal das Bild und verweise auf diesen Link der Uni Tübingen, Seite 44 rechts unten. Die Basisvektoren dort sind alle gleich lang und schliessen gleiche Winkel ein, nämlich von
a^>_1: (0;0;0) nach (1/2;1/2;0)
a^>_2: (0;0;0) nach (0;1/2;1/2)
a^>_3: (0;0;0) nach (1/2;0;1/2)
Im Prinzip ist die primitive Elementarzelle des fcc-Gitters ein rhomboedrisches Gitter.
Gruß Eckard
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-17
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Hey Eckard,
dann fühle ich mich geehrt, den ersten Thread im neuen Unterforum zu haben 
Danke auch für den Link, es ist mir jetzt anschaulich klarer. Aber was sind denn meine Translationsvektoren beim fcc-Gitter? Die vom rhomboedrischen Gitter? Oder die vom sc-Gitter? Beides finde ich unlogisch
Viele Grüße, Anne
Edit: Von wegen erster Thread, ist ja schon ganz schön voll geworden im Unterforum 
[ Nachricht wurde editiert von knallbohne am 17.05.2005 18:46:40 ]
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.4, eingetragen 2005-05-17
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Hi Anne,
na ja, ich hab gleich einige ältere threads zusammengeklaubt, damit das Unterforum nicht so entlaubt aussieht.
Wie gesagt, die Vektoren
a^>_1=(0;1/2;1/2), a^>_2=(1/2;0;1/2), a^>_3=(1/2;1/2;0)
sind die Basisvektoren der primitiven Einheitsszelle des fcc-Gitters.
Das bedeutet, dass man mit
R^>=r|a^>_1+s|a^>_2+t|a^>_3|, r,s,t \in \IZ
alle Atome des Gitters erreicht. Erreicht man wirklich? Das wäre zu überprüfen.
Rhomboedrische Gitter zeichnen sich durch die beiden Eigenschaften aus: gleiche Länge der Basisvektoren und gleiche eingeschlossene Winkel. Ich denke dabei immer an einen aufgespannten Regenschirm mit drei gleich langen Speichen: egal, wie weit man ihn aufspannt, die drei von den Speichen eingeschlossenen Winkel sind stets gleich.
Gruß Eckard
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-17
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Hey Eckard,
aber bei uns im Skript steht aber bei fcc
\
\alpha=\beta=\gamma=90°.
Das ist dann ja falsch. Darum auch meine Verwirrung.
Meine nächste Frage betrifft die Miller-Indizes. Im Prinzip verstehe ich, wie ich sie zu einer gegebenen Ebene aufstelle. Aber was ist, wenn ich z.B. die Miller Indizes der von
\
a^> und b^>
aufgespannten Ebene haben will? Sage ich dann auch, dass die Ebene die a- und b-Achse im Unendlichen schneidet, obwohl diese Achsen in der Ebene liegen? Und was mache ich mit der c-Achse, die wird dann ja im Nullpunkt geschnitten. Von Null kann ich aber keinen Kehrwert nehmen.
Viele Grüße, Anne
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
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| Beitrag No.6, eingetragen 2005-05-17
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Hi Anne,
in deinem ersten post stand nichts davon, dass die Winkel 90 Grad betragen. Was meinst du genau mit Translationsvektoren?
Beachte den Unterschied zwischen primitiven und nichtprimitiven Elementarzellen (EZ). Primitiv bedeutet, dass genau ein Atom pro EZ vorhanden ist, entsprechend nichtprimitiv, dass es mehrere sind. Das fcc-Gitter kannst du nun als nichtprimitive EZ auffassen, wenn du die normalen kartesischen Vektoren als Basisvektoren nimmst. Dann enthält die EZ genau 4 Atome. Oder du nimmst die oben angegebenen Basisvektoren, wodurch sie genau 1 Atom enthält und damit primitiv ist. Wird es jetzt etwas klarer?
Zum zweiten Teil: Im Prinzip ja. Die Millerschen Indizes beschreiben immer ganze Scharen von parallelen Ebenen. Die Indizes selber sind die reziproken Achsenabschnitte, und zwar derart, dass sie kleinstmögliche ganze Zahlen sind, also keinen gemeinsamen Teiler mehr enthalten. Deshalb würde man die (a,b)-Ebene (da sie durch den Ursprung geht und damit die von dir beschriebene Kalamität eintritt) um eins in c-Richtung verschieben, wodurch die Achsenabschnitte (inf,inf,1) werden. Also (h,k,l)=(0,0,1).
Gruß Eckard
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-17
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Hey Eckard,
sorry, ich hätte gleich oben hinschreiben sollen, dass die Winkel angeblich 90° sind. Translationsvektoren sind das, was du unten als Basisvektoren bezeichnet hast, man kann mit ihnen durch Linearkombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten das ganze Gitter aufbauen.
Das mit den primitiven und nichtprimitiven Elementarzellen verstehe ich. Du schreibst "Das fcc-Gitter kannst du nun als nichtprimitive EZ auffassen, wenn du die normalen kartesischen Vektoren als Basisvektoren nimmst." Das will mein Prof anscheinend machen, wenn er sagt, dass für fcc gilt
\
abs(a^>)=abs(b^>)=abs(c^>), \alpha=\beta=\gamma=90°
Aber damit hab ich mein altes Problem, dass man mE mit diesen Vektoren nicht das ganze Gitter aufbauen kann.
Zum zweiten Teil:
Wir haben in der Vorlesung folgende Schreibweise:
(hkl) specific plane
{hkl} all equivalent planes
Es wird also ein Unterschied zwischen "Scharen von parallelen Ebenen" (wie du es schreibst) und einer speziellen Ebene gemacht. Im Kittel steht, die Oberflächen eines sc-Würfels sind
\
(100), (010), (001), (1^- 00), (0 1^- 0), (00 1^-).
Das verstehe ich nun gar nicht mehr. Dann müsste ja
\
(00 1^-)
meine gesuchte (a,b)-Ebene sein?
Danke, dass du mir hilfst, denn aus meinen Büchern werde ich auch nicht schlau.
Viele Grüße, Anne
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
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| Beitrag No.8, eingetragen 2005-05-18
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Hi Anne,
2005-05-17 22:02: knallbohne schreibt:
Hey Eckard,
sorry, ich hätte gleich oben hinschreiben sollen, dass die Winkel angeblich 90° sind. Translationsvektoren sind das, was du unten als Basisvektoren bezeichnet hast, man kann mit ihnen durch Linearkombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten das ganze Gitter aufbauen.
Das mit den primitiven und nichtprimitiven Elementarzellen verstehe ich. Du schreibst "Das fcc-Gitter kannst du nun als nichtprimitive EZ auffassen, wenn du die normalen kartesischen Vektoren als Basisvektoren nimmst." Das will mein Prof anscheinend machen, wenn er sagt, dass für fcc gilt
\
abs(a^>)=abs(b^>)=abs(c^>), \alpha=\beta=\gamma=90°
Aber damit hab ich mein altes Problem, dass man mE mit diesen Vektoren nicht das ganze Gitter aufbauen kann.
Genauso ist es. Mehr weiß ich jetzt dazu nicht zu sagen. Oder du postest ruhig mal die englische Originalaufgabenstellung, vielleicht ist da ein Aspekt, der übersehen wurde.
2005-05-17 22:02: knallbohne schreibt:
Zum zweiten Teil:
Wir haben in der Vorlesung folgende Schreibweise:
(hkl) specific plane
{hkl} all equivalent planes
Es wird also ein Unterschied zwischen "Scharen von parallelen Ebenen" (wie du es schreibst) und einer speziellen Ebene gemacht. Im Kittel steht, die Oberflächen eines sc-Würfels sind
\
(100), (010), (001), (1^- 00), (0 1^- 0), (00 1^-).
Das verstehe ich nun gar nicht mehr. Dann müsste ja
\
(00 1^-)
meine gesuchte (a,b)-Ebene sein? :-?
Danke, dass du mir hilfst, denn aus meinen Büchern werde ich auch nicht schlau.
Viele Grüße, Anne
Richtig, bestimmte (konkrete) Netzebenen werden in runde Klammern geschrieben: (hkl). Nimmt man nun alle Permutationen und Vorzeichen der h, k, l mit, entstehen die equivalent planes. Die Würfelflächen des sc-Gitters, die du oben anführst, sind ein gutes Beispiel: es gibt genau 3 Permutationen mit jeweils zwei Vorzeichen. Also besteht {100} aus den oben von dir hingeschriebenen 6 konkreten Ebenen.
Oder betrachte {110}. Das sind:
(1||1||0), (1||1^-||0), (1^-||1||0), (1^-||1^-||0),
(1||0||1), (1||0||1^-), (1^-||0||1), (1^-||0||1^-),
(0||1||1), (0||1||1^-), (0||1^-||1), (0||1^-||1^-).
Also 3 Permutationen mit jeweils 4 Vorzeichenkombinationen, somit 12. Sie heißen Rhombendodekaeder-Flächen(?).
Oder {111}:
(1||1||1), (1||1||1^-), (1||1^-||1), (1||1^-||1^-),
(1^-||1||1), (1^-||1||1^-), (1^-||1^-||1), (1^-||1^-||1^-).
Das sind die Oktaederflächen. Die equivalent planes sind also keineswegs parallel, bestehen nur aus "denselben" (hkl)'s.
Deine gesuchte (a,b)-Ebene lautet also: (001) oder (002) oder (00-1) oder ...
Gruß Eckard
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-18
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Hallo Eckard,
meine Fragen sind nicht zu einer konkreten Aufgabe sondern einfach Verständnisfragen. Darum hab ich auch so viele davon
Was ist denn die Gitterkonstante im fcc Gitter? Dieselbe wie beim sc Gitter oder muss ich die Länge der Basisvektoren nehmen, die du unten angegeben hast?
Das mit den Millerindizes verstehe ich immer noch nicht. Ich kann jede Ebene konkret angeben, (100), (200), usw., aber die (a,b)-Ebene kann ich nicht so angeben und "nenne" sie deshalb auch (100), tue also so, als würde sie die c-Achse bei 1 schneiden? Verstehst du mein Problem? Die (a,b)-Ebene ist zwar parallel zu (100), aber das ist (200) auch und ich nenne sie trotzdem (200) und nicht (100).
Danke und viele Grüße, Anne
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.10, eingetragen 2005-05-18
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Hi Anne,
die Gitterkonstante des fcc-Gitters ist trotzdem (obwohl die EZ nicht primitiv ist) die Kantenlänge des Würfels, also dieselbe des sc-Gitters und damit nicht die Länge der Basisvektoren.
Deine (a,b)-Ebene geht doch durch den Ursprung, nicht wahr? Deshalb hat diese Ebene drei Achsenabschnitte, die identisch null sind, und drei Millersche Indizes, die unendlich sind. Geht nicht. Deswegen kann man mit den Millerschen Indizes nur Ebenen beschreiben, die nicht durch den Ursprung gehen. Und deswegen verschiebt man sie einfach um eine oder mehrere Gitterkonstanten nach oben oder nach unten.
Vielleicht noch mal, wie man allgemein zu den "richtigen" (hkl)'s kommt.
Beispiel: Die Achsenabschnitte seien 3, 2 und 12.
Reziproke: 1/3, 1/2, 1/12
Hauptnenner: 4/12, 6/12, 1/12
Zähler: 4, 6, 1
ggT=1, also bleibt es so
=> (hkl)=(461)
2. Beispiel:
Achsenabschnitte: 6, -10, 15
Reziproke: 1/6, -1/10, 1/15
Hauptnenner: 10/60, -6/60, 4/60
Zähler: 10, -6, 4
ggT=2, also
Kürzen: 5, -3, 2
=> (hkl)=(5||3^-||2)
Gruß Eckard
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-18
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Hey Eckard,
Komische Sache mit den Millerindizes Bin ich mal gespannt, wofür die später mal gut sein werden, dass man freiwillig so eine merkwürdige Beschreibung der Ebenen wählt.
Ich hab in dem Zusammenhang noch Fragen, aber die sind zu einer konkreten Aufgabe, also fang ich lieber einen neuen Thread an.
Danke dir! Viele Grüße,
Anne
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-19
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Hallo Eckard,
Ich habe noch eine Frage zu den Miller Indizes. Wenn ich die Richtung [320] gegeben habe, kann ich dann davon ausgehen, dass damit die Richtung des Vektors
\
(3;2;0)
bezüglich der Achsen a, b, c gegeben ist oder gibt [320] nur an, dass ich die Richtung senkrecht zur (320) Ebene nehmen soll?
Viele Grüße!
Anne
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.13, eingetragen 2005-05-19
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Hallo Anne,
beides ist richtig. Siehe Seite 32ff.
Gruß Eckard
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-19
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Hätte ich mir auch denken können, danke!
Viele Grüße, Anne
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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