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| Autor |
  Begrenzungsflächen der Wigner-Seitz-Zelle des bcc Gitters |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2005-05-30
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Hallo Leute,
ich soll zeigen, dass die Vierecke und Sechsecke, die die Wigner-Seitz-Zelle des bcc Gitters begrenzen, Quadrate und regelmäßige Sechsecke sind. Ich soll soweit möglich Symmetrieargumente verwenden. Folgendes Bild von der Wigner-Seitz-Zelle habe ich gefunden:
Dass die Vierecke Quadrate sind, ist klar, weil durch die Flächenmitten die vierzählige Achse geht. Aber das mit den regelmäßigen Sechsecken bekomme ich einfach nicht hin. Ich muss dafür ja wahrscheinlich die dreifache und die zweifache Rotationssymmetrie kombinieren und vielleicht auch noch die Spiegelsymmetrie benutzen, aber ich bekomme immer nur raus, dass die nicht benachbarten Seiten des Sechseckes gleichlang sind. Der Schritt, dass auch benachbarte Seiten gleichlang sein müssen, fehlt mir noch. Vielleicht kann mir jemand einen Anschupps in die richtige Richtung geben?
Danke schon mal, Anne
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-30
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Hi Anne! 
Ich denke die Spiegelung an der diagonalen Ebene, die in unserem Bild von vorne(=rechts) oben nach hinten unten verläuft, bringt uns (zusammen mit der 3 fachen Achse) weiter. Soweit ich mir das räumlich richtig vorstelle. Bis morgen,
Daniela
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-30
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Hey Daniela, hast du auch hergefunden :-)
Den Fall hatten wir doch schon mit Katrin diskutiert, oder nicht? Ich sehe noch nicht, inwiefern uns das weiter bringt?
Lieben Gruß, Anne
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shadowking
Senior 
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3484
| Beitrag No.3, eingetragen 2005-05-30
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Hallo ihr beiden,
dass die Sechsecke regelmäßig sind, kann man so einsehen:
Dass sie dreizählige Drehsymmetrie haben, ist ja klar.
Aus der Spiegelsymmetrie an der durch Mittelpunkt und eine
Würfelkante definierten Ebene kann man zwar eine
Symmetriegruppe der Ordnung 6 folgern, aber nicht die Existenz
einer Drehung der Ordnung 6.
Das geht so: Wir führen an der Mitte zwischen einer der
Würfelecken und der Würfelmitte eine Punktspiegelung durch.
Dabei wird die ganze Wigner-Seitz-Zelle auf die benachbarte
Zelle abgebildet, deren Grenzfläche mit der der ursprünglichen
übereinstimmt.
Auf die Mittelebene zwischen Würfelecke und Würfelmitte
beschränkt, wirkt sich die Punktspiegelung hingegen nicht
anders aus als eine Drehung um 180°.
Also besitzt die Grenzfläche eine Drehung der Ordnung 3 und
eine Drehung der Ordnung 2, beide um ihren Mittelpunkt.
Die von beiden erzeugte Drehgruppe ist kommutativ und besitzt
ein Element der Ordnung 6, nämlich die Kombination beider
Drehungen.
Gruß shadowking
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-30
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Hallo Norbert,
vielen Dank für deine Antwort! Es tauchen ja doch noch ein paar geheime Festkörperphysik-Spezialisten auf
Du schreibst, du machst eine Punktspiegelung an der Mitte zwischen einer der Würfelecken und der Würfelmitte. Ich verstehe nicht ganz, warum du das machen darfst, woher weiß ich, dass das Gitter invariant unter Punktspiegelung gerade an diesem Punkt ist?
Viele Grüße, Anne
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-30
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Hi Knallbohne,
man sollte wirklich nicht die dunkle Seite des Planeten unterschätzen. Diesmal hat sie in der Person von Norbert zugeschlagen :)
Gruß
Benjamin
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-30
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Äh ja, danke für die Info 
Gruß, Anne
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3484
| Beitrag No.7, eingetragen 2005-05-30
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Hallo Anne,
darüber musste ich auch etwas nachdenken, aber das Gitter ist
diesbezüglich tatsächlich invariant.
Schauen wir uns die durch eine Kante AB und die Würfelmitte M
definierte Ebene E an. Durch die Punktspiegelung s am Mittelpunkt
von AM werden A und M gegenseitig aufeinander abgebildet.
B wird auf einen Punkt s(B) abgebildet, der in E nicht auf der
gleichen Seite von AM wie B liegt, eine Kantenlänge von s(A) = M
und eine halbe Raumdiagonalenlänge von s(M) = A entfernt ist.
Dadurch ist der Punkt eindeutig bestimmt, und es ist der
Mittelpunkt der Nachbarzelle. Bei den anderen Gitterpunkten
folgt aus Symmetriegründen dasselbe.
Ich würde mich als von Festkörperphysik weitgehend ahnungslos
bezeichnen, diese Aufgabe kann man statt dessen auch mit
Elementargeometrie beantworten. Die größte Hilfe war mir das
von Dir gepostete Bild, vielen Dank.
Gruß shadowking
[ Nachricht wurde editiert von shadowking am 31.05.2005 01:30:19 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-30
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Hey Norbert,
ich danke Dir, dass du dich nicht davon hast abschrecken lassen, dass es sich um eine Physikaufgabe handelt 
Eine Sache aus deinem ersten Post verstehe ich noch nicht. Du schreibst:
Auf die Mittelebene zwischen Würfelecke und Würfelmitte
beschränkt, wirkt sich die Punktspiegelung hingegen nicht
anders aus als eine Drehung um 180°.
Aber eine Punktspiegelung ist doch etwas anderes als eine Drehung um 180°?
Gruß, Anne
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3484
| Beitrag No.9, eingetragen 2005-05-31
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Im dreidimensionalen Raum stimmt das, weil dort eine
Punktspiegelung die Matrixdarstellung
S=(-1,0,0;0,-1,0;0,0,-1)
bezüglich jeder geeigneten Basis besitzt und also det S = -1
gilt. Punktspiegelungen in \IR^3 bilden daher z.B. eine rechte
Hand auf eine linke ab.
Die Punktspiegelung an Z \(:= Mittelpunkt von AM\) bildet jede
Ebene, die Z enthält, auf sich selbst ab, also auch die
Mittelebene von AM. Also kann man die Punktspiegelung auch
auf diese Ebene beschränken, und in Ebenen ist eine
Punktspiegelung als
S'=(-1,0;0,-1)
bezüglich jeder geeigneten Basis beschreibbar. Hier ist det S' = 1,
daher kann man die Punktspiegelung in der Ebene mit einer Drehung
um 180° identifizieren.
Etwas "verständlicher" (weniger mathematisch) könnte man sagen:
in der Ebene merkt man es nicht, dass die Punktspiegelung nicht
nur die Ebene um 180° dreht, sondern dazu noch "oben" und "unten"
vertauscht.
Gruß shadowking
[ Nachricht wurde editiert von shadowking am 31.05.2005 14:32:51 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-31
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Hallo Norbert!
Danke für deine Erklärung. Deine Idee, die benachbarte Wigner-Seitz-Zelle miteinzubeziehen, hat mich auf einen anderen, ganz anschaulichen Beweis gebracht. Denn wenn ich zwei WSZ an einer Sechseckfläche aneinander lege, sieht man, dass alle Seiten des Sechsecks so lang sein müssen, wie eine Seitenlänge des Quadrates. Wenn man sich in dem Bild, das ich oben eingefügt habe, vorstellt, dass man noch eine zweite WSZ einzeichnet, deren Mittelpunkt der Gitterpunkt oben links in der Zeichnung ist, sieht man das deutlich.
Die Regelmäßigkeit des Sechsecks folgt also einfach aus der Translationssymmetrie, wenn ich das richtig sehe.
Ein ganz großes Dankeschön auf jeden Fall an dich und vielleicht kommst du ja noch auf den Geschmack der Festkörperphysik?
Viele Grüße, Anne
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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