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| Autor |
  Beweis mit Primzahlen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2005-06-07
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Hallo,
Es handelt sich hierbei um eine Aufgabe des Bundeswettbewerbes für Mathe aus dem Jahr 2003. Wurde also hier vielleicht schon mal besprochen. Es ist die Lösung der Aufgabe gegeben.
Also erst mal die Aufgabe. ;)
Gegeben seien sechs aufeinander folgende positive ganze Zahlen.
Man beweise, dass es eine Primzahl gibt, die Teiler von genau einer dieser Zahlen ist.
Lösung: Die sechs Zahlen folgen aufeinander und hinterlassen einen Rest von 0 bis 5. Es gibt zwei unter diesen Zahlen die nicht durch zwei u. drei teilbar sind. Sie haben den Rest 1 u. 5.
Diese beiden Zahlen seien a == 1 (mod6) und b == 5 (mod6)
1. Fall:
a = 1. Da alle sechs Zahlen positiv sein müssen, liegen offenbar die Zahlen 1 bis sechs vor. Man erhält, als Primzahl, die Teiler genau einer der Zahlen ist die 5.
2. Fall a > 1. In diesem Fall hat a mind. zwei Teiler. Die Zahlen 3,2 und somit auch 4 sind keine Teiler von a. Somit hat a neben der 1 mindestens noch einen Primteiler größer gleich 5. Ist die Fünf tatsächlich Teiler von a, dann ist b nicht durch 5 teilbar, da sie zu a aufgrund der obigen Restbedingung entweder die Differenz 2 od. 4 lässt. Somit hat b mindestens einen Primen Teiler größer gleich sieben. Dieser Teiler kann kein Teiler der anderen 5 Zahlen sein, da ihre Differenz zu b kleiner als 7 ist. Somit teilt diese Primzahl nur b, also genau eine der sechs Zahlen, q.e.d.
Ist 5 kein Teiler von a, so hat a mind. einen primen Teiler größer gleich 7 und es gilt das über b gesagte analog.
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So. Bis 1. ist alles klar.
>da sie zu a aufgrund der obigen Restbedingung entweder die Differenz 2 od. 4 lässt.
Mein Problem:
Ist diese Diff. nicht immer 4 ? Und woher kommt dann die 7 als Teiler ? 2. ist wohl als Verallgemeinerung von 1 zu verstehen.
Grüße PPan
[ Nachricht wurde editiert von PPan am 07.06.2005 15:26:23 ]
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ZetaX
Senior 
Dabei seit: 24.01.2005
Mitteilungen: 2804
Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.1, eingetragen 2005-06-07
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Hallo
Nein, die Differenz könnte auch 2 sein, nimm z.B. die Zahlen 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
Denn du must nicht nur den Schritt nach oben von 1 auf 5 , sondern auch den um 2 nach unten von 1 auf -1 = 5 (mod 6) berücksichtigen.
Und die 7 kommt daher, da sie eben die kleinste Primzahl größer 5 ist (unter n aufeinanderfolgenden Zahlen befindet sich für k>n höchstens eine durch k teilbare Zahl, was dann natürlich erst recht für prime k gilt).
Aber was genau meinst du mit Verallgemeinerung¿
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-06-07
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Und die 7 kommt daher, da sie eben die kleinste Primzahl größer 5 ist (unter n aufeinanderfolgenden Zahlen befindet sich für k>n höchstens eine durch k teilbare Zahl, was dann natürlich erst recht für prime k gilt).
Weil die anderen eine Restdifferenz aufweisen, die nicht durch k teilbar ist da n < k, oder?
Nein, die Differenz könnte auch 2 sein, nimm z.B. die Zahlen 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
Stimmt.
[ Nachricht wurde editiert von PPan am 07.06.2005 18:50:26 ]
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
Mitteilungen: 2804
Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.3, eingetragen 2005-06-07
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Ja, das mit den Restdifferenzen ist eine mögliche Argumentation (es gibt sicher hunderte dafür)
[ Nachricht wurde editiert von ZetaX am 07.06.2005 20:12:32 ]
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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