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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Zeigen, dass eine Gruppe abelsch ist
Thema eröffnet 2005-10-26 15:07 von needle
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Autor
Universität/Hochschule Zeigen, dass eine Gruppe abelsch ist
Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
wasseralm
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  Beitrag No.40, eingetragen 2005-10-27

Hallo, ganz ohne irgendwelche Regeln für Inverse und nur unter Verwendung der Voraussetzung x2 = 1 (und der Assoziativität sowie der Eigenschaft der 1) geht es so: (ab)^2 = 1                                 (Voraussetzung für das Element ab) abab = 1                       (ausgeschrieben) aabab = a                       (Gleichung von links mit a multipliziert) bab = a                       (Voraussetzung für das Element a) babb = ab                       (Gleichung von rechts mit b multipliziert) ba = ab                       (Voraussetzung für das Element b) Gruß von Helmut

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Buri
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  Beitrag No.41, eingetragen 2005-10-27

Hi Helmut, sehr schön, und nun das Ganze nochmal als Einzeiler: ab = aba2 = b2aba2 = bbabaa = b(ba)2a = ba. Gruß Buri

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wasseralm
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  Beitrag No.42, eingetragen 2005-10-27

Das ist noch besser Buri! Diese Beweismethode hat übrigens auch den Vorteil, dass man gar nicht voraussetzen muss, dass man sich in einer Gruppe befindet. Es genügt ein Monoid (Halbgruppe mit 1). Gruß von Helmut

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elia2
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  Beitrag No.43, eingetragen 2023-09-24

(Ich weiss, der Thread ist uralt..) Funktioniert das auch so: aa=e a(bb)a=e abba=e (ab)(ba)=e Und nach Voraussetzung ist jedes Element sein eigenes Inverses. Also ba=(ab)^-1=ab Bin mier aber nicht sicher, ob ich was verwende, was zu zeigen ist.

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thureduehrsen
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  Beitrag No.44, eingetragen 2023-09-24

Sieht gut aus und ist sehr elegant! Du verwendest nicht das zu Zeigende. mfg thureduehrsen

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