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 Bräuchte Hilfe zu Transformationsmatrizen |
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Minos
Ehemals Aktiv 
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 |  Themenstart: 2002-03-18
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Das ist wirklich eine blöde Situation, unser Dozent hat uns über die
Semesterferien ein Übungsblatt aufgegeben, bei dem es in etlichen Aufgaben um Transformationsmatrizen geht, NUR haben wir dieses Thema in der letzten Vorlesungs nur noch kurz streifen können und in meinen Büchern finde ich so gut wie nichts zu T.matrizen.
Nun hätte ich folgende Fragen:
1. Was sind die?
2. Wozu sind sie gut?
3. Wie rechnet man sie, wenn man zwei Basen gegeben hat, aus?
Vielen Dank für jede Hilfe
Minos
[ Nachricht wurde editiert von Minos am 2002-03-18 11:04 ]
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LutzL
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-03-18
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1. Was sind die?
Matrizen? D.h. rechteckige Gitter mit Zahlen an den Gitterstellen.
2. Wozu sind sie gut?
Um Transformationen auszurechnen? Manchmal ist Mathe auch ganz simpel.
3. Wie rechnet man sie, wenn man zwei Basen gegeben hat, aus?
Ich denke mal, es sind zwei Basen des selben Vektorraums, e[1],...,e[n] und f[1],...,f[n], jeweils n Vektoren; und, um die Verwirrung komplett zu machen, dargestellt in einer dritten Basis, der "kanonischen". D.h. jeder Vektor ist ein n-Tupel von ... Zahlen, e[1]=(e[1,1],e[2,1],...,e[n,1]),...
Und jetzt soll eine lineare Abbildung A gebaut werden, so dass A*e[k]=f[k] ist, d.h. fuer die Transformationsmatrix von A (die zur Verwirrung auch A heisse) gilt
Summe(j=1 bis n) A[i,j]*e[j,k]=f[i,k]
Zum Ausrechnen schreibe erst die Vektoren e[k], dann die f[k] als Spaltenvektoren nebeneinander und wende dann den Gauss-Algorithmus an, um den e-Teil zur Einheitsmatrix zu machen. Im f-Teil steht dann A.
Ciao Lutz
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Minos
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-03-20
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LutzL
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| Beitrag No.3, eingetragen 2002-03-21
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Die Polynome sind als Elemente von V einfach Spaltenvektoren mit 6 Eintraegen. Die "kanonische" Basis waere die Monombasis, also die erste. Die anderen Polynome muessen erst in Monomdarstellung gebracht werden, dann koennen die entsprechenden Spaltenvektoren abgelesen werden. Die Transformationsmatrizen von der 2. bzw. 3. Basis in die erste ergeben sich dann einfach ohne weitere Rechnung durch hintereinanderschreiben dieser Spalten.
Ciao Lutz
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Minos
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-03-22
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LutzL
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-03-26
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Nun kannst Du jede Linearkombination Summe(i=0 bis 5) v[i]q[i](x) der q[i] nach Potenzen sortieren und damit als Linearkombination Summe(i=0 bis 5) w[i]p[i](x) der p[i] darstellen. Damit werden die w[i] Linearkombinationen der v[i]. Die "Automatisierung" dieser linearen Zuordnung wird durch eine Transformationsmatrix geleistet. v und w als Spaltenvektoren, dann ist w=Av und
| A= |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 10 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
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Ciao Lutz
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Anonymous
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| Beitrag No.6, eingetragen 2002-03-26
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Nu is es endlich klar 
Vielen Dank für deine Hilfe
Ciao Minos
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Minos
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-03-28
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Da meint man, man hat alles verstanden und dann gibts doch immer wieder Fälle wo man nicht weiterweiß >:(
Wie geht man denn bei einem Fall vor, wenn die Zahl der zu betrachtenden Vekoren unendlich ist ( (p[0], ..., p[n]) und (r[0], ..., r[n]) )??
Hängt das vielleicht von der Art der Vektoren ab, ob man in solchen Fällen (wenn die Zahl der Vektoren -> unendlich) eine Transformationsmatrix verwirklichen kann oder geht das immer??
Minos
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LutzL
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| Beitrag No.8, eingetragen 2002-04-04
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Hi,
das Taucht oefter mal auf. Die Quantenphysiker betrachten z.B. eine S-Matrix (z.B. fuer Streuexperimente am Beschleuniger), die jedem Paar von Anfangs- und Endzustand eine Uebergangswahrscheinlichkeit zuordnet. Wie unendlichdimensional das ist, ist meines Wissens noch nicht vollstaendig verstanden.
In Deinem Fall kann man das Transformationsgesetz aufschreiben, man kann die Bildungsvorschrift fuer beliebiges n formal angeben und hat damit alle Grade/Dimensionen erfasst, aber man kann die entsprechenden Matrizen nicht aufschreiben, da der Uebergang ins unendliche als (Grenzwert-)Prozess beschrieben wird.
Ciao Lutz
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