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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Summe abgeschlossener Mengen
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Universität/Hochschule Summe abgeschlossener Mengen
dudelidei
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  Themenstart: 2005-12-03

Hallo! Ich habe folgendes Problem: Ich suche zwei abgeschlossene Mengen, deren Summe nicht abgeschlossen ist. Der Tip, den wir haben, ist, dass diese Mengen unbeschränkt sind und eventuell aus isolierten Punkten bestehen. Weiterer Tip: die Mengen haben keine Häufungspunkte. Kann mir jemand helfen?


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2005-12-03

Hi dudel, für solche Sachen nimmt man immer Hyperbeln y = x-1, wobei x > 0 ist. Solch ein Hyperbelast ist abgeschlossen, aber wenn man ihn zu der x-Achse (eine Gerade, die eine abgeschlossene Menge ist) addiert, kommt die obere Halbebene, eine offene und nicht abgeschlossene Menge heraus. Die Tips, die gegeben wurden, verstehe ich nicht. Was soll das mit den isolierten Punkten? Wieso sollen die Mengen keine Häufungspunkte haben? Gruß Buri


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dudelidei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-12-03

Hallo Buri, danke. Aber: Ich check das gar nicht. Die Menge aus 1/x ist doch nicht abgeschlossen: Die Null ist doch Häufungspunkt von der Menge aus 1/x und nicht in der Menge enthalten. Also ist die Menge nicht abgeschlossen. So haben wir das definiert. Und selbst wenn sie abgeschlossen wäre, würde doch, da die Menge der x-Achse x=0 ist, dann dastehen: 1/x + 0 Und das ist ja 1/x und keine obere Halbebene!? Was ist da falsch? Gruß dudelidei


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2005-12-04

Hallo dudel, mit meinem Beispiel habe ich keine Mengen von Zahlen, sondern Punktmengen in der Ebene angegeben. Diese beiden Mengen (Hyperbelast und Gerade) sind tatsächlich abgeschlossen. Anscheinend beabsichtigt die Aufgabe aber, daß man Zahlenmengen angeben soll, also nicht in der Ebene, sondern auf einer Geraden arbeiten soll. Das geht auch. Es genügt, um den gleichen Effekt zu erzielen, auf der Hyperbel und ebenso auf der x-Achse eine Folge von Punkten zu nehmen, so erhält man Mengen, die aus isolierten Punkten bestehen. Im übrigen reicht von der x-Achse die negative Halbachse aus. Diese beiden Punktmengen projiziert man nun auf eine beliebige nicht achsenparallele Gerade, z. B. auf die Gerade y = - x. Diese Gerade mit den beiden Punktmengen darauf kann man nun in die Waagerechte drehen und erhält zwei Mengen reeller Zahlen, die abgeschlossen sind, aus isolierten Punkten bestehen, und deren Summe nicht abgeschlossen ist. Gruß Buri


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dudelidei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2005-12-04

Hallo Buri. Ich glaube mir liegt die Aufgabe nicht. Ich hab jetzt gerade  versucht mir das graphisch vorzustellen. Also falls das so stimmt was ich mir gedacht habe, was Du meinst: Ist die Summe dann deshalb nicht abgeschlossen, weil ich die Punkte, die ich von meinen beiden Mengen auf y=-x projiziert habe, immer genau nebeneinanderliegen und somit Häufungspunkte sind? ... Hm aber die liegen doch dann alle in der neuen Menge. Kannst Du mir vielleicht noch sagen warum die Summe nicht abgeschlossen ist? Vielleicht seh ich das ja auch ganz falsch? Die Sache mit der Projektion und Drehung in die Waagrechte ist mir nicht  sooo klar, wir sind noch nicht so lang bei abgeschlossenen Mengen etc. Freue mich über ne Antwort, Grüße, dudel


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
CauchyProdukt
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-26

\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing\) Hallo, ich hoffe es ist okay, dass ich dieses Thema hier nochmal reaktiviere... Ich habe nämlich gerade die gleiche Aufgabe zu lösen, d.h. für die Minkowski-Summe \(A+B := \{a+b : a \in A, b \in B\} \) mit zwei Teilmengen $A$ und $B$ von $\mathbb{R}^n$ soll ein Beispiel zweier abgeschlossener Mengen $A, B \subset \mathbb{R}^n$ gefunden werden, für welche $A + B$ nicht abgeschlossen ist. Ich schreibe das angeführte Beispiel nochmal zur Sicherheit in diesem Kontext auf: Also seien \(A := \left\{ \left(x,\frac{1}{x}\right) \in \mathbb{R}^2 : x>0 \right\} \) und \(B := \left\{ (x, 0) \in \mathbb{R}^2 : x \in \mathbb{R} \right\} \). Die Menge $A$ ist abgeschlossen, denn \(A^c = \mathbb{R}^2 \setminus \left\{ \left(x,\frac{1}{x}\right) \in \mathbb{R}^2 : x>0 \right\} \) ist offen (wie geht die Begründung für die Offenheit von $A$ genau? Ich tue mich gerade schwer, damit, dass der Grenzwert von $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$ ja gar nicht in $A$ liegt?) Und $B$ ist auch abgeschlossen, denn \(B^c = \{ ((x,y) : x\in \mathbb{R}, y>0\} \cup \{ (x,y) : x\in\mathbb{R}, y<0 \} \) ist ebenfalls offen. Aber die Summe $A+B$ ist nicht offen, denn es gilt \(A + B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\} \).\(\endgroup\)


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CauchyProdukt
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-26

\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing\) Die Anleitung von Buri, um solchen Mengen $A, B \subset \mathbb{R}$, die abgeschlossen sind, aber deren Summe $A+B$ nicht abgeschlossen ist, zu konstruieren, habe ich nicht ganz verstanden. Könntest du das vielleicht noch genauer erklären?\(\endgroup\)


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-26

Hi CauchyProdukt, betrachte die Mengen A={-n | n∈N>0} und B={n+1/n | n∈N>0}. Dann ist 1/n∈A+B für alle n∈N>0, aber 0∉A+B. Somit ist A+B nicht abgeschlossen. Gruß Buri


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CauchyProdukt
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-26

\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing\) Hi Buri, d.h. es geht quasi um die Folgen \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = -n\) und \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} = n + \frac{1}{n} \), welche dann die Mengen $A$ bzw. $B$ bilden? Dass solche "Einpunktmengen" abgeschlossen sind, hatten wir uns schon mal in einer Übungsaufgabe überlegt, also passt diese Voraussetzung ja auf jeden Fall. Aber ist nicht \( 0 = a_2 + b_1 = -2 + 1 + \frac{1}{1} \)? Es werden ja alle möglichen Summe der Elemente von $A$ bzw. $B$ betrachtet. Sorry falls ich da gerade was falsch verstehe. Und wäre \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} = n + \frac{1}{n+1}\) dann ein schneller "Workaround"? Gruß\(\endgroup\)


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Buri
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-26

\quoteon(2022-11-26 17:17 - CauchyProdukt in Beitrag No. 8) Aber ist nicht \( 0 = a_2 + b_1 = -2 + 1 + \frac{1}{1} \)? \quoteoff Hi, stimmt, das habe ich übersehen. Dein workaround funktioniert. Gruß Buri


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