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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Untervektorräume: Vereinigung
Autor
Kein bestimmter Bereich Untervektorräume: Vereinigung
Anonymous
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  Themenstart: 2002-03-30

Hallo! Stehe vor einem Problem in linearer Algebra: Die Aufgabe lautet: Sei V ein VR über einem Körper K, und seien U1, U2  Ì V zwei UnterVR mit V = U1ÈU2. Zeigen Sie: U1 =V oder U2=V Vielen Dank für Eure Hilfe im voraus!! Alex

 
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-03-30

Hallo, Alex! Wir zeigen die Kontraposition der Aussage, die Du beweisen sollst. Die Kontraposition lautet: Es sei V ein K-VR, und seien U1, U2 Í V zwei UVR von V. Dann gilt: Sind U1 ¹ V und U2 ¹ V, dann folgt U1ÈU2 ¹ V. Beweis: Es seien also U1, U2 Ì V. Gilt nun beispielsweise U1 Í U2, dann gilt U1 È U2 = U2 ¹ V, und die Behauptung folgt sofort. Wir koennen also annehmen, dass U1 Ë U2 und U2 Ë U1. Dann gibt es u1 Î U1\U2 und u2 Î U2\U1. Betrachte nun u := u1 + u2. Annahme: u Î U1. Da also u Î U1 und auch u1 Î U1, folgt auch u2 = (u - u1) Î U1. Das ist aber ein Widerspruch, weil wir u2 Î U2\U1 gewaehlt hatten. Also ist unsere Annahme falsch, und es kann nicht u Î U1 sein. Auf die gleiche Weise zeigt man u Ï U2. Insgesamt erhalten wir also u Ï U1ÈU2, also U1ÈU2 ¹ V. Gruss, E. P.S.: Anschaulich kannst Du Dir zum Beispiel die euklidische Ebene als Vektorraum V vorstellen. Zwei verschiedene Geraden waehlst Du als Untervektorraeume U1 und U2. Wir haben gezeigt, dass fuer zwei Punkte u1, u2 auf U1 bzw. U2 der Punkt, den man erhaelt, wenn man die Punkte u1, 0 und u2 zu einem Parallelogramm ergaenzt, auf keiner der beiden Geraden U1, U2 liegt. [ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-03-30 21:18 ]

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Anonymous
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-03-30

hallo! Vielen Dank für Deine rasche Antwort! Bin im Moment ziemlich "überlernt", muss es mir nochmal gut durchdenken - ist aber sehr genau erklärt... also - danke nochmals!! alex

 

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