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 Untervektorräume |
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alexwien
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Wohnort: Österreich
 |  Themenstart: 2002-03-31
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Bin relativ ratlos trotz intensiven Studiums des Algebra-Buches sowie diverser online-skripte:
Sei I := {x ÎIR | (0£x£1}. Gefragt ist, welche der folgenden Teilmengen UVR sind:
a) {fÎIR"hoch"I | 2f(0) = f(1)}
b) {f ÎIR "hoch"I|"x ÎI: f(x) = f (1-x)}. Laut Vorlesung ist IR hoch I definiert als die Menge aller Abbildungen (?). Zu überprüfen sind klarerweise die 3 UVR-Kriterien, was normalerweise keine Schwierigkeiten macht, aber wie gehe ich das Problem hier an?
gleich mal danke für die Hilfe und frohe Ostern
alexwien
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Ende
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-03-31
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Hallo, Alex!
IRI ist definiert als die Menge der Abbildungen von I nach IR. Wenn Du ueberpruefst, ob eine Menge ein Untervektorraum ist, musst Du Dir auch darueber klar sien, von welchem Vektorraum diese Menge denn ein Untervektorraum sein soll. In diesem Fall ist der zugrunde liegende Vektorraum wohl der Vektorraum IRI.
Kannst Du mit diesen Erlaeuterungen vielleicht weiterkommen? Sonst nochmal nachfragen.
Gruss, E.
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Ende
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| Beitrag No.2, eingetragen 2002-03-31
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Hallo, Alex!
Ich fuehre Dir jetzt Teil a) ausfuehrlich vor und ueberlasse Dir Teil b). Ich werde das so ausfuehrlich wie moeglich machen, weil mir scheint, dass Du Dich noch im Grundstudium befindest, wo ja noch alles so genau wie moeglich begruendet werden muss. Aus diesem Grund wende ich noch die folgende Notation an. Wann immer die Multiplikation im Koerper IR gemeint ist, werde ich ein × notieren. Wenn die Skalarmultiplikation des VRes IRI gemeint ist, werde ich ein · notieren.
Zu a):
Setze U := {f Î IRI | 2×f(0) = f(1)}.
Behauptung: U ist ein IR-UVR von IRI.
Beweis:
Wir ueberpruefen die folgenden drei Eigenschaften fuer U:
(1) U ¹ Ø,
(2) " f, g Î U: f+g Î U,
(3) " l Î IR " f Î U: l·f Î U.
ad (1): Es sei o(x) = 0 fuer alle x Î I. o bezeichne also das neutrale Element der additiven Gruppe von IRI. Wir behaupten o Î U. Damit waere dann U ¹ Ø.
Wir zeigen dies: Es gilt:
(2·o)(0) = Definition der Skalarmultiplikation
2×o(0) = Definition von o
2×0 = 0 = Definition von o
o(1).
Also ist o Î U.
ad (2): Es seien f, g Î U gegeben. Zu zeigen ist, dass f+g Î U ist. Es gilt:
2×((f+g)(0)) = Definition der Addition in IRI
2×(f(0) + g(0)) = Distributivgesetz in IR
2×f(0) + 2×g(0) = f, g Î U
f(1) + g(1) = Definition der Addition in IRI
(f+g)(1).
Also ist f+g Î U.
ad (3): Es seien l Î IR und f Î U gegeben. Zu zeigen: l·f Î IR. Es gilt:
2×((l·f)(0)) = Definition der Skalarmultiplikation in IRI
2×(l×f(0)) = Assoziativitaet der Multiplikation im Koerper IR
(2×l)×f(0) = Kommutativitaet der Multiplikation des Koerpers IR
(l×2)×f(0) = Assoziativitaet der Multiplikation im Koerper IR
l×(2×f(0)) = f Î U
l×f(1) = Definition der Skalarmultiplikation in IRI
(l·f)(1).
Also ist l·f Î U.
Damit erfuellt U alle Eigenschaften (1) - (3) und ist mithin ein UVR des IR-VRes IRI.
Gruss, E.
P.S.: Ich habe mir b) ueberhaupt noch nicht angesehen. Es kann also durchaus sein, dass die in b) angegebene Menge gar kein UVR ist und Du an einem Kriterium scheiterst. Dann musst Du natuerlich genau darlegen, warum dieses Kriterium nicht erfuellt ist.
Bei Problemen einfach nochmal nachfragen. ;-)
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-03-31 13:15 ]
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alexwien
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-03-31
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das zweite Beispiel ist demnach auch UVR:
da: 1) 0 (x) = 0 (x-1) = 0
und 2) (f+g)(x)= f(x) + g(x) = f(1-x) + g (1-x) = (f+g) (1-x) ÎU.
und 3) ist auch gegeben, da der Skalar ja auch aus dem Definitionsbereich sein muss und l(f(x)) = = l (f (x-1)) nimmt also auch immer Werte zwischen 0 und 1 an.
stimmt das oder hab ich da einen Fehler?? Also ein Beispiel, bei dem eine Teilmenge nicht UVR, wäre also im Definitionsbereich dieser Menge eine Funktion von einem best. Wert im Definitionsbereich ± eine Konstante, die "außerhalb der Klammerung" liegt oder?
Danke für die ausführliche Erklärung
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Ende
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-03-31
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Hallo, Alex!
Freut mich, dass ich Dir helfen konnte.
Was Du zum zweiten Teil geschrieben hast, ist soweit okay. Deine Frage am Schluss habe ich allerdings ueberhaupt nicht verstanden. Schon von der Grammatik her nicht. ;-)
Wenn Du die Frage noch mal neu stellen koenntest, kann ich Dir sicher weiterhelfen.
Gruss, E.
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alexwien
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-03-31
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Habs mir gerade nochmal durchgelesen... ich habs auch fast nicht mehr verstanden, was ich da geschrieben habe :-)
Also: zB I:={xÎR|0£x£1}
die Teilmenge {f ÎR ^I| f (0) = f (1) + 1 }würde schon am - in unserer Reihenfolge - ersten Kriterium (Nullvektor) scheitern, oder?
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Ende
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| Beitrag No.6, eingetragen 2002-03-31
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alexwien
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-03-31
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So, jetzt dürften die anderen Beispiele kein Problem mehr darstellen. Vermute, dass eines dieser Beispiele zum Zwischentest nach Ostern im Proseminar kommt...- Du hast mir wirklich sehr geholfen, danke, dass Du Dir die Zeit genommen hast.
Gruss
Alex
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