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  BWM Streckenteilung |
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wolle_sim
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.12.2003
Mitteilungen: 299
 |  Themenstart: 2006-01-20
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Hallo!
Hab da mal ne alte BWM-Aufgabe. Hab eine Lösungsidee.
Weiß aber leider nicht, ob man das so machen kann.
Würd mich freuen, wenn ihr euch das mal durchlest.
Die Aufgabe:
Auf einer Strecke der Länge 1 sind endlich viele, paarweise disjunkte Teilstrecken gefärbt. Der Abstand zweier gefärbter Punkte beträgt nie genau 1/10. Man beweise, daß die Gesamtlänge der gefärbten Teilstrecken nicht größer als 1/2 ist.
Zuerst einmal kann man beweisen, dass keine gefärbte Strecke länger als 1/10 ist, denn sonst gibt es einen Punkt, der von einem der beiden Enden der Strecke 1/10 entfernt ist.
Nun teile ich die Strecke der Länge 1 in 10 gleich große Teile
a_1 ,a_2 ,....., a_10
Jede Strecke a_k kann man wieder in endlich viele Strecken unterteilen. Die gefärbten werden von links nach recht mit g_k1 , g_k2,..... und die nichtgefärbten mit n_k1 , n_k2 .......
bezeichnet.
Es werde dann die Summe der gefärbten Strecke einer Strecke a_k mit g_k bezeichnet.
g_k = g_k1 + g_k2 +....
Für die nichtgefärbten analog mit n_k.
es gilt also
a_k = n_k + g_k
Wählt man nun irgendeinen Punkt P einer Strecke a_k, so liegen die die Punkte K, die von P genau den Abstand 1/10 haben genau auf den Nachbarstrecken, a_k-1 und a_k+1 , soweit es diese gibt.
Diese Punkte K dürfen daher nicht gefärbt sein.
Somit muss die Summe der Längen der nichtgefärbten Strecken einer Strecke a_k mindestens so groß sein wie jede Summe der gefärbten Streckenlängen der Nachbarstrecken.
Daraus folgt, dass für eine Strecke n_k mindestens so groß ist wie g_k-1 und g_k+1 soweit es diese Nachbarintervalle gibt.
Es gilt ja:
1= a_1 + a_2 +.....+ a_10
1= g_1 + n_1 +.....+ g_10 + n_10
Nun gilt:
n_1+n_2+....+n_10 >= g_2+g_1+g_4+g_3+.....+g_10+g_9
=>1>=2(g_1 + ....+g_10)
=>g_1 + ....+g_10<= 1/2
Hab ich da irgendeinen Fehler gemacht?
danke schon mal
mfg wolle
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 Profil
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46943
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-01-20
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Hi Wolle,
ja, so geht es.
Man kann es auch (unter Beibehaltung der eigentlichen Lösungsidee) so formulieren:
Es sei A die Menge der gefärbten Punkte und
A_i=A\cut\ [\.(i-1)/10\,i/10\.) für i=1,...,10.
Ferner führt man die Bezeichnung A_i^\+=A_i+1/10 und A_i^\-=A_i-1/10 ein.
Dann sind nach Voraussetzung die Mengen A_1\,A_2\,...\,A_9\,A_10
und A_2^\-\,A_1^\+\,...\,A_10^\-\,A_9^\+ paarweise disjunkt, die Summe der Intervalllängen ist somit <=1, und sie ist offensichtlich doppelt so groß wie die Summe der Intervalllängen von A.
Gruß Buri
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wolle_sim
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.12.2003
Mitteilungen: 299
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-01-22
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Hallo Buri
Danke nochmal
mfg wolle
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wolle_sim hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
wolle_sim hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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