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Topologie » Mengentheoretische Topologie » leere Menge ist offen! Warum?
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Universität/Hochschule J leere Menge ist offen! Warum?
Luca
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Dabei seit: 06.06.2005
Mitteilungen: 1193
Wohnort: Berlin
  Themenstart: 2006-03-03

Hallo und Guten Tag, \ im www habe ich keine Antwort auf meine Frage gefunden. Eine Sache die ich gefunden habe ist: "\0 ist offen, da es kein x\el \0 gibt und daher auch keine Bedingung verifiziert werden muss." Damit kann ich aber nicht leben. Das ist kein Beweis. Kennt jemand eine Page oder ein Buch wo ich mich schlau mache kann? Grüße Luca


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Martin_Infinite
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Wohnort: Münster
  Beitrag No.1, eingetragen 2006-03-03

Hi Luca, das ist sehr wohl ein Beweis, sofern es um offene Mengen in metrischen Räumen geht (bei beliebigen topologischen Räumen ist ja nichts zu zeigen). Jedes Element der leeren Menge erfüllt jede Eigenschaft. Wenn das nicht klar sein sollte, gehe einmal vom Gegenteil aus. Dann würde die leere Menge aber ein Element besitzen ...    Gruß Martin [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 03.03.2006 14:59:08 ]


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Cerebus
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Mitteilungen: 654
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  Beitrag No.2, eingetragen 2006-03-03

Du meinst in metrischen oder normierten Räumen? Da ist es genau so: Damit eine Menge M offen ist, muss es zu jedem Punkt eine Umgebung geben die in M liegt. Eine Aussage über jeden Punkt der leeren Menge ist natürlich war.   Kannst du mir irgendein Element in der leeren Menge zeigen, das irgendeine Eigenschaft nicht hat? lg. Michael


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Yves
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Dabei seit: 26.07.2003
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Wohnort: Saarbrücken/Trier
  Beitrag No.3, eingetragen 2006-03-03

Hallo Naja das ist eigentlich nicht so schwierig. Du musst dir zunächst klar machen, was es bedeutet, dass eine Menge offen ist. Sprich: du musst dir die Definition anschauen. Versuchst du nun zu zeigen, dass die leere Mennge offen ist, dann triffst du auf die Aussage: Die leere Menge ist offen, denn für alle x \el \0 , nämlich KEINES (es gibt kein x \el \0) gibt es ein \eps>0, so dass ... Beginnt deine Aussage mit " für alle x \el \0 ", dann wird die Aussage stets wahr. Für alle x \el \0 gilt: x ist grün. Für alle x \el \0 gilt: heute ist Samstag. Für alle x \el \0 existiert ein \eps>0 so dass ... Hilft dir das weiter? Gruß Yves [ Nachricht wurde editiert von Yves am 03.03.2006 15:04:41 ]


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Luca
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-03

Hallo Martin, Michale, Yves, ich denke mir ist klar was ihr meint. Es ist nur schwierig etwas eine Eigenschaft zuzuordenen was es nicht gibt. Da muss ich wohl erst mit zurecht kommen   Ich danke Euch. Grüße Luca


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Plex_Inphinity
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Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
  Beitrag No.5, eingetragen 2006-03-03

Hallo, Die Aussage "Für alle x \in \emptyset gilt P(x)" in Prädikatenlogik übersetzt lautet: \forall x (x \in \emptyset -> P(x)) Was äquivalent zu \forall x (x \notin \emptyset \vee P(x)) ist. x \notin \emptyset gilt für jedes x, also gilt auch x \notin \emptyset \vee P(x) für jedes x. Gruß Plex


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