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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » DGL (y^2) - (y^3)*y'' = 1 (AWA)
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Kein bestimmter Bereich J DGL (y^2) - (y^3)*y'' = 1 (AWA)
dipsy
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 8
Wohnort: Dresden
  Themenstart: 2003-03-06

hallo zusammen ! an folgender aufagbe bin ich am rätseln, aber vielleicht seh ich ja den wald vor bäumen nicht ;) Powered by MATHDRAW anfangswerte: y(0)=Ö2 y'(0)=½*Ö2 in meiner formelsammlung hab ich folgendes gefunden: ----------------- y'' = f(y)    (Typ "ohne" x und y') Vorgehensweise: Multiplikation mit 2y' und Integration: (y')=2F(y)    wobei   F' = f ----------------- also ich finde, das passt doch ganz gut, oder !? :) allerdings hab ich keine schimmer wie das gemeint sein soll?! Hat jemand eine idee was das heißen könnte oder vielleicht auch sogar wie man die DGL lösen kann ? danke & bye daniel

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Eckard
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
  Beitrag No.1, eingetragen 2003-03-06

Hallo dipsy, damit ist die "Energiemethode" gemeint, wie sie bei der Lösung von DGLen, die aus zentralsymmetrischen Feldern stammen, angewendet wird. Dividiere erst durch y^3: y - y'' = 1 / y^3  | *2 y' 2 y y' - 2 y' y'' = 2 y' / y^3 Der erste Summand links ist nun die Ableitung von y^2 (überprüfe es durch Differentiation, Kettenregel beachten!), der zweite die Ableitung von (y')^2 (ebenfalls überprüfen, hierher übrigens der Name "Energiemethode", denn dieser Ausdruck ist der kinetischen Energie m/2*v^2, v = y', proportional) und rechts steht die Ableitung von (-1/y^2): d/dx [ y^2 - (y')^2] = d/dx [-1/y^2] Jetzt einmal integriert: y^2 - (y')^2 = -1 / y^2 + C. Das C bestimmt sich aus den Anfangsbedingungen an der Stelle x=0 zu C = 2. Nun alle y auf eine Seite (Trennung der Veränderlichen), die Wurzel gezogen (Fallunterscheidung!) und nochmals integriert: dy/dx = +- sqrt(y^2 + 1/y^2 - 2) = +- (y - 1/y). Huch, da lässt sich sogar die Wurzel ziehen: so schön kann Mathematik sein. Den Gnadenstoss für diese Aufgabe überlasse ich jetzt dir :-) Gruß Eckard

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