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| Autor |
  Differentialgleichung 4. Ordnung |
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bajo82
Neu 
Dabei seit: 01.05.2006
Mitteilungen: 2
Wohnort: Wien, Österreich
 |  Themenstart: 2006-05-01
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Hallo Mathebegeisterte!
Ich hab hier eine Differentialgleichung und scheitere leider kläglich beim Versuch sie zu lösen, oder gar zu verstehen.
y^(4)-y=8*x*sin(x)
Die homogene Lösung hab ich ohne Probleme berechnet.
y_h(x)=C_1*cos(x)+C_2*sin(x)+C_3*e^x+C_4*e^(-x)
Um die partikuläre Lösung zu bestimmen hab ich versucht einen
Ansatz der Form
y_p(x)=x(A+Bx)e^jx
zu wählen.
Danach hab ich es 4 mal nach x abgeleitet und in die Differentialgleichung eingesetzt.
Leider komm ich dann auf ein Ergebnis, welches nur teilweise mit
der bescheiden erklärten Lösung übereinstimmt.
Ich komm nämlich auf:
-12B-4jA-8jxB=8x
Woraus ich durch Koeffizientenvergleich B=j bestimmen kann, was auch
mit der Lösung übereinstimmt.
Allerdings ist mir unklar wie ich die zweite Konstante A zu A=-3 berechnen kann.
Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben wie ich diese Differentialgleichung auf (verständliche) Weise lösen kann??
Danke
Markus
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 Profil
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2006-05-02
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Herzlich Willkommen, Markus, auf dem Matheplaneten!
-12B-4jA-8jxB=8x
Wenn Du 8x von beiden Seiten der Gleichung subtrahierst
und etwas umordnest, dann steht links das lineare Polynom
-8*(1+j*B)*x-4*(3B+j*A)
und dieses Polynom soll für alle Werte von x verschwinden,
denn die rechte Seite ist ja jetzt gleich 0 für alle x.
Das ist nur möglich, wenn es sich um das Nullpolynom handelt,
Du mußt daher alle \(=beide) Koeffizienten gleich Null setzen:
-8*(1+j*B)=0
-4*(3B+j*A)=0
Aus der ersten Gleichung folgt B=-1/j=j
und wenn Du das in die zweite einsetzst, erhältst Du sofort
-4*(3j+j*A)=0
<=>
-4j*(3+A)=0 $ \| :(-4j)
<=>
3+A=0 $ \| -3
<=>
A=-3
Liebe Grüße, Franz
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bajo82
Neu
Dabei seit: 01.05.2006
Mitteilungen: 2
Wohnort: Wien, Österreich
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-05-02
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Hallo Franz.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Jetzt hab ich es auch verstanden.
Markus
[ Nachricht wurde editiert von bajo82 am 02.05.2006 07:18:37 ]
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