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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » differentialgleichungen
Autor
Universität/Hochschule J differentialgleichungen
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Themenstart: 2003-03-27

kann mir jemand schrittweise erklären wie man auf die lösung folgender differentialgleichung kommt: y''-2y'-3y = e^(-x) homogenen teil hab ich schon: y(h)=Ae^(3x)+Be^(-x) aber beim partikulären scheitere ich schon am ansatz. vielen dank schon im voraus!

 
Seb
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.07.2002
Mitteilungen: 734
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2003-03-27

Ich nehme mal an dass deine homogene Lösung stimmt ;-) Normalerweise wäre nun der Ansatz: Aber hier liegt ein Fall der sogenannten Resonanz vor, d.h. die rechte Seite kommt in deiner allg. homogenen Lösung schon vor. Deshalb ist der Ansatz zu modifizieren: Damit sollte es klappen! Seb

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Rodion
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
  Beitrag No.2, eingetragen 2003-03-27

Du hast eine DGl mit konstanten Koeffizienten und einer Inhomogenität der Form P(x) * ek*x, wobei P ein Polynom ist (in diesem Fall identisch gleich 1) und k eine i-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Es gibt dann eine spezielle Lösung der Form y = Q(x) * xi*ek*x, wobei Q ein Polynom mit Grad Q £ Grad P ist. Du mußt dann nur die Koeffizienten deines Polynoms Q durch Einsetzen bestimmen, in diesem Fall nicht schwer, da Grad Q = 0.

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dany
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.06.2002
Mitteilungen: 45
Wohnort: NRW
  Beitrag No.3, eingetragen 2003-03-27

hallo du! für die homogene lösung habe ich auch das fundamentalsystem heißt also: mit werten dann also: dann berechnest du dann integriest du so haben wir es zumindest in einer übung gemacht. dany

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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-27

danke erstmals für eure antworten! allerdings ganz klar isses mir noch nicht. der ansatz wäre dann also etwas wie wenn ich dann so weiter rechne komme ich auf den term 4A+2B+8Bx=1 und jetzt müßte ich einen koeffizientenvergleich machen, leider geht das aber nicht, weils kein Ax gibt. :( @dany, danke für die ausführliche antwort, aber mit einer matrix haben wir das bis jetzt noch nie gelöst. :) [ Nachricht wurde editiert von ehmdjii am 2003-03-27 19:06 ]

 
Rodion
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
  Beitrag No.5, eingetragen 2003-03-27

Deinen Ansatz kann ich jetzt gerade nicht nachvollziehen. Du hast deine homogene Lösung: Nach meinem obigen Post gibt es eine spezielle Lösung der Form C*x*e(-x), das x, weil -1 bereits Nullstelle des charakteristischen Polynoms der homogenen DGl ist. Das C ist aber, im Gegensatz zu A und B, nicht beliebig, sondern muß bestimmt werden. Also setzt du das erst mal in die inhomogene DGl ein: Das muß dann die rechte Seite der inhomogenen DGl ergeben, daraus bestimmst du dein C und dann addierst du die allgemeine Lösung der homogenen DGl und die spezielle Lösung von oben, und das ist dein Ergebnis. [ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-03-27 22:04 ]

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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-30

also ganz hab ichs noch nicht gecheckt. "y = Q(x) * xi*ek*x, wobei Q ein Polynom mit Grad Q £ Grad P ist." wovon genau hängt der grad des polynoms Q jetzt ab?

 
Rodion
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.10.2002
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  Beitrag No.7, eingetragen 2003-03-30

Also, das Einzige, was du wissen mußt, ist Folgendes: Hat die rechte Seite deiner DGl die Form wobei s eine k-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms der homogenen DGl ist, dann gibt es eine spezielle Lösung der Form: Die Koeffizienten ci mußt du näher bestimmen. Nun kann es passieren, daß cm = 0 ist, das weißt du aber vorher nicht und ist auch für die Rechnung irrelevant (liegt in der Beschaffenheit der DGl). Wichtig ist nur, daß der Grad deines Lösungspolynoms keinesfalls größer als m ist. Kleinere Grade ergeben sich allein aus der Rechnung.

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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-30

ok, danke nochmal. ich glaub so schön langsam geht mir das licht auf. trotzdem kommt beim programm mathematica immer was andres raus. es scheint so, also ob es immer noch einen zusätzlichen koeffizienten bei der lösung gibt. mach ich vielleicht was falsch beim eingeben? DSolve[y''[x] - 2 y'[x] - 3 y[x] == e^(-x),y[x], x] kennt jemand ein anderes programm mit dem ich meine differentialgleichungen auf die schnelle kontrollieren kann? danke.

 
Rodion
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
  Beitrag No.9, eingetragen 2003-03-30

Ich kenne zwar Mathematica leider nicht, aber in Derive z.B. muß man für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung (also mit y'') DSolve2(...) eingeben. Das Ergebnis stimmt jedenfalls, habe es zumindest 2 Mal überprüft. Oder ist das Ergebnis von Mathematica vielleicht nur ein wenig umgeformt?

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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-30

mit derive kenn ich mich noch nicht so aus. könntest du mir genaus sagen, was du wie eingibst, damit das richtige rauskommt und er es überhaupt ausrechnet? danke!

 
Rodion
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
  Beitrag No.11, eingetragen 2003-03-30

In Derive kann ich es dir sagen. Hast du die Gleichung: y'' + p(x)*y' + q(x)*y = r(x) Dann gibst du den Befehl DSolve2(p(x), q(x), r(x)) ein, der liefert mit den Konstanten c1 und c2 die Lösung der Gleichung. Wenn du c1 und c2 vorgeben willst, gib DSolve2(p(x), q(x), r(x), c1, c2) ein, und er gibt dir eine feste Lösung für die entsprechenden Konstanten.

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