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 Problem 3 |
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Toaster
Senior 
Dabei seit: 03.01.2003
Mitteilungen: 271
 |  Themenstart: 2003-04-10
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Friedel
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 09.05.2002
Mitteilungen: 332
Wohnort: Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-10
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Was bedeutet P(A)? Ist das die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A?
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-10
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-10
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f(x) spricht man " f von x"
Nun kommmt P vom englischen Wort Probability,
was so viel wie Wahrscheinlichkeit bedeutet.
Also komponiert man P(A) und spricht " Wahrscheinlichkeit von A"
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-10
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Hi,
das gleichzeitige Ziehen zweier Kugeln ist doch identisch zum Ziehen zweier Kugeln nacheinander (zumindest was die Rechnerei angeht)?!
Dann hätte ich evtl hier schon einen brauchbaren Ansatz.
Grüße,
/Alex
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-10
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@scorp: "1 day left"??? Wir sind schon dabei! :-)
Hab schon ein Ergebnis, mal sehen, wer es noch hat... (aber später!)
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
 | Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-10
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Eckard: Der Counter bezieht sich doch auf das Treffen!
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-10
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@Siah & scorp: Ach ja, ich nehme alles zurück. *andieStirnklatsch*
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
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Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-04-10
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Hi!
*g* @Eckard.
Ich habe auch eine Lösung, aber die kommt mir zu einfach vor. Können wir ja alles morgen besprechen.
bis denn,
/Alex
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.9, eingetragen 2003-04-10
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Ich verstehe ja nun rein gar nichts von Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Aber hier sehe ich eine so triviale Lösung!
Die Demathematisierung der Aufgabenstellung lautet doch:
Du hast einen Beutel mit schwarzen und weißen Kugeln
und willst die Anzahl der Kugeln wissen, wofür die Wahrscheinlichkeit,
eine schwarze oder eine weiße zu ziehen, gleich ist. Wieviel schwarze
und wieviel weiße Kugeln sind das dann davon?
-----------------
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-10 17:16 ]
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
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Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.10, eingetragen 2003-04-10
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Martin, ohne deine Lösung zu kennen behaupte ich, dass sie nicht ganz richtig ist. Denn _so_ einfach ist es dann doch wieder nicht =P
Tipp: Die Häufigkeit gültiger n nimmt nach oben hin ab, dh im Intervall [2;10] gibt es mehr als in [12;20]; sind es bei dir gleich viele?
Gruß,
/Alex
[ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-04-10 17:18 ]
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
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Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.11, eingetragen 2003-04-10
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nochmal @Martin:
Nein, das stimmt nicht. Wir haben einen Beutel mit einer geraden Anzahl von Kugeln, gleich verteilt auf weiß und schwarz. Diese Anzahl bezeichne ich mit n. Im Beutel sind also 2n Kugeln.
Es ist sowohl
P(w) = 0,5
als auch
P(s) = 0,5
Es ist aber
P(w,w) = P(s,s) = n/2n · (n-1)/(2n-1)
und
P(s,w) = P(w,s) = n/2n · n/(2n-1)
Alle Klarheitn beseitigt? *g*
Gruß,
/Alex
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.12, eingetragen 2003-04-10
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Ich muss dir so oder so recht geben.
Ich habe nicht gerechnet, nur intuitiv gedacht...
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DieElemente
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 26.01.2003
Mitteilungen: 36
 |  Beitrag No.13, eingetragen 2003-04-10
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@ scorp: In der Aufgabenstellung, wird nicht gesagt, dass es gleichviele weiße und schwarze Kugeln gibt. Aber ob mit dieser Annahme, oder allgemein ... kein Ergebnis ist auch ein Ergebnis.
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
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Wohnort: Karlsruhe
|  Beitrag No.14, eingetragen 2003-04-10
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Hi Element,
ich beziehe mich auch nicht auf die Aufgabenstellung, sondern auf Martin_I's Post zuvor. Da las ich die Behauptung heraus, es gelte für alle geraden n, wenn der Anteil schwarzer und weisser Kugeln gleich groß ist. Und genau das sollte mein Posting widerlegen.
Gruß,
/Alex
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DieElemente
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 26.01.2003
Mitteilungen: 36
| Beitrag No.15, eingetragen 2003-04-10
|
Hi !
@scorp achso! -klar.
Aber weils spass macht hier nochmal mal eine nähere Betrachtung für den Fall, dass die Anzahlahl der schwarzen gleich der der der weißen Kugeln sei:
Wenn wir annehmen, die Menge der schwarzen und weißen Kugeln seinen gleich
und bezeichnen die Menge der weißen und schwarzen
Kugeln mit n, so dass wir ingesamt 2n Kugeln haben, dann ergibt sich für
P(A) = P(w,w) + P(s,s) = 2*(n/2n*(n-1)/(2n-1)) = (n-1)/(2n-1) und für (i)
P(B) = P(s,w) + P(w,s) = 2*(n/2n*n/2n-1) = n/(2n-1) (ii)
Es gilt zwar (muss ja!) immer P(a) + P(B) =1, aber P(A) kann niemals
gleich P(B) werden. Das sieht man, wenn man
(i) mit (ii) gleichsetzt und versucht nach n aufzulösen.
Nun ist (n-1)/(2n-1) < 1/2 für alle n >=1
und n/(2n-1) > 1/2 für alle n >= 1 und
Außerdem ist Folge (n-1)/(2n-1) ist streng monoton wachsend und n/(2n-1) streng
monoton fallend. Für n <= 1 gilt desshalb weiter
1/2 > (n-1)/(2n-1) >= 0 und
1/2 < n/(2n-1) <= 1.
Der Limes für n gegen unendlich beider Folgen ist 1/2. Die Wahscheinlichkeiten
P(A) und P(B) nähern sich also beliebig nahe 1/2 an und damit einander an, wenn
wir nur genügend Kugel schwarze und weiße Kugeln in den
Beutel geben.
PS: Das also nur für den Fall, dass es gleich viele schwarze und weiße Kugeln geben
soll. Und wenn es es unterschiedlich viele s. u. w. Kugeln gibt, müsste natürlich wegen P(A)+P(B) = 1 und P(A) = P(B) gelten P(A) = P(B) = 1/2.
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Spooky
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.07.2002
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Wohnort: Nürnberg
 | Beitrag No.16, eingetragen 2003-04-10
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Hi,
hab ebenfalls ein Ergebnis. 
btw, ist es möglich mit
8k+1 ; k Î N
immer wieder neue Quadratzahlen zu "erzeugen" oder gibt es eine obere Grenze?
wenn nicht, dann gibt es wohl unendlich viele Lösungen für n, oder?
Gruß
Spooky
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.17, eingetragen 2003-04-11
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Wie ich sehe haben wir dasselbe Eregbnis, Spooky. Es ist möglich, auf diese Weise unendlich viele zu erzeugen.
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.18, eingetragen 2003-04-11
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Von Elemente's P.S., also P(A) = P(B) = 1/2, kann man doch in jedem Falle ausgehen, da der Durchschnitt beider "Ereignismengen" leer ist, oder? Dann spielen Quadratzahlen tatsächlich eine entscheidende Rolle. :-)
Gruß Eckard
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buh
Senior 
Dabei seit: 09.05.2001
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Wohnort: Deutschland-Berlin
 | Beitrag No.19, eingetragen 2003-04-11
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Ich habe auch eine Lösung; über Gleichung, ein bisschen umstellen und numerische Bestimmung zu einer Vermutung:
etwas mit Quadraten und
sum(i,i=1,n-1)
Läuft also auf unendlich viele heraus.
Vielleicht kann ich die Vermutung auch exakt beweisen.
Gruß von buh
[ Nachricht wurde editiert von buh am 2003-04-11 12:16 ]
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nils
Junior
Dabei seit: 21.10.2001
Mitteilungen: 7
 | Beitrag No.20, eingetragen 2003-04-12
|
Ich hab jetzt erst angefangen mit den Aufgaben...
hab irgendwie den "Startschuss" verpasst.
Bis zu einer bestimmten Stelle ging es recht einfach.
Habe mit
w/n * (n-w)/(n-1) + (n-w)/n * w/(n-1) = 1/2
angefangen. Hoffe das stimmt so. w ist dabei die Zahl der weißen Kugeln (n-w ist dann natürlich die Zahl der schwarzen Kugeln).
Kam damit recht gut voran, aber irgendwann kam ein Punkt, an dem ich nicht mehr so schön weiterkam.
Hab zwar ein Ergebnis, bei dem ich mir recht sicher bin, das es stimmt, aber so richtig bewiesen hab ich es bis jetzt noch nicht.
Hoffe ich verrate nicht zuviel, wenn ich sage, das die Zahl der Kugeln einer Farbe in einer "Diagonalen" im Pascal'schen Dreieck stehen.
(Wenn man das Dreieck so aufschreibt, wie man es in der Schule macht)
[ Nachricht wurde editiert von nils am 2003-04-12 14:58 ]
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.21, eingetragen 2003-04-13
|
Hi nils,
sei willkommen zur MPC!
Mit einem ähnlichen Ansatz wie du komme ich auf:
2 (w^2 + s^2) = n (n + 1).
Das ergibt folgende Tabelle:
w s n
--------
1 3 4
3 6 9
6 10 16
10 15 25
15 21 36
21 28 49
28 36 64
...
was sich mit deinem Ergebnis deckt. Also nur Quadratzahlen für n mit
(k|2) + (k+1|2) = k^2 = n,
wobei die w auch mit s vertauscht werden kann.
Gruß Eckard
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Spooky
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.07.2002
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Wohnort: Nürnberg
|  Beitrag No.22, eingetragen 2003-04-13
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Hi,
n sei die anzahl der gesamten Kugeln, k die Anzahl einer bestimmten Farbe, somit gibt es n-k Kugeln der anderen Farbe.
durch geeignetes Umformen der Bedingung
matrix(n;2) = 2*((matrix(k;2) + matrix(n-k;2))
mit k < n
kommt man auf:
n_(1,2) = (4k+1 +- sqrt(8k+1))/2
lässt man nun k durch ganz N laufen wobei natürlich nur Werte für k betrachtet werden dürfen, die für 8k+1 eine Qudratzahl liefern, so erhält man alle möglichen Werte für n.
das +/- bewirkt, dass alle Lösungen für n entsprechend (symmetrisch) doppelt vorkommen.
Gruß
Spooky
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specage
Junior
Dabei seit: 02.04.2003
Mitteilungen: 6
Wohnort: Kassel, Hessen
 | Beitrag No.23, eingetragen 2003-04-16
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@spooky
Wenn ich deinen Ansatz mal weiterverfolge, dann gilt also:
8k+1=m²
Die linke Seite ist ungerade, demnach muss die rechte Seite ebenfalls ungerade sein.
Daraus folgt, dass m=2j+1 gelten muss.
Dies eingesetzt, ergibt:
8k+1=(2j+1)²
Aufgelöst nach k ergibt sich:
k=(m²+m)/2
Damit kann m alle natürlichen Zahlen durchlaufen und hat somit eine explizite Darstellung zur Bestimmung der Anzahl einer bestimmten Farbe.
Es ergibt sich dadurch die Tabelle von Eckard.
Gruß Martin
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Toaster
Senior
Dabei seit: 03.01.2003
Mitteilungen: 271
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-20
|
5 Eier für das Team.
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