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 Problem 4 |
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Toaster
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 |  Themenstart: 2003-04-10
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Siah
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Dabei seit: 19.05.2002
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-10
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Hier ist wohl erstmal zu klären, wie man das grösste Quadrat in das Dreieck einbeschreibt, denn es gibt ja mindestens zwei Möglichkeiten dafür...
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Eckard
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-10
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Eigentlich sind es sogar drei Möglichkeiten, wenn man Rotationssymmetrie ausschaltet :-)
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Siah
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-10
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Ja, dafür war das "mindestens" :)
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Martin_Infinite
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Dabei seit: 15.12.2002
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-10
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Da es ein gleichseitiges Dreieck ist, müsste es doch egal sein, oder?
Dann wäre es eine einfache Extremwertaufgabe.
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-10 13:07 ]
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scorp
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-10
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Hi!
@Martin: Nein, ich stimme Siah zu und vertrete die Ansicht, dass es zwei (sinnvolle) Möglichkeiten gibt. Das D hat drei gleich lange Seiten. Sei oBdA G die Grundseite. Dann kannst du entweder das Quadrat so einbeschreiben, dass eine Seite des Quadrats parallel zu bzw. auf G liegt, oder aber, dass ein Eckpunkt des Quadrats auf G liegt.
Tut mit leid, im Moment bin ich zu faul eine Zeichnung anzufertigen =P
Gruß,
/Alex
[ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-04-10 13:13 ]
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Siah
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| Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-10
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Genau, und da wäre einfach nur zu klären, bei welcher Möglichkeit das Quadrat grösser ist, und dann kann man das Verhältnis ausrechnen...
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scorp
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| Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-10
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...oder man berechnet halt beide und nimmt den Größeren anstatt lange zu diskutieren :-)
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Siah
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| Beitrag No.8, eingetragen 2003-04-10
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Das wäre eine Durchführung der Klärung :)
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.9, eingetragen 2003-04-10
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Aha - Das geht ja noch gerade so.
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Friedel
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.05.2002
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2003-04-10
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Da ich keine Ahnung hab, was "oBdA" bedeuten könnte, bezeichne ich die Seiten des Dreiecks mit a, b und c. Die Ecken des Quadrates heißen D, E, F, und G. Wenn DE auf a liegt, liegt F auf b und G auf c. Alle Möglichkeiten ein Quadrat in ein gleichseitiges Dreieck ein zu beschreiben bei denen eine Seite des Quadrates auf einer Dreiecksseite liegt sind zueinander symmetrisch. Es ist also nur noch zu klären ob es ein größeres Quadrat gibt.
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Spooky
Ehemals Aktiv
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2003-04-10
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Hi,
also ich bekomme für die Möglichkeit mit einer parallelen Seite d. Quadrats zur Grundseite eine größere Fläche, als mit nur einem Eckpunkt auf der Grundseite. Das Verhältnis is eigentlich recht leicht zu berechnen... vielleicht etwas zu einfach? 
da frag ich mich, ob es eigentlich überhaupt Sinn macht, wenn man Quadrate betrachtet die nicht achsensymetrisch zur Höhe des Dreiecks liegen? Kann da die Fläche trotzdem grösser werden, als bei den andern beiden Möglichkeiten?
Gruß
Spooky
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Eckard
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| Beitrag No.12, eingetragen 2003-04-10
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Hi spooky,
man kann tatsächlich zeigen, dass die von dir genannte Symmetrie erfüllt sein muss. Stimmt, eigentlich ist diese Aufgabe die bisher leichteste.
Gruß Eckard
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Friedel
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.13, eingetragen 2003-04-10
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Ich habe noch keinen Weg gefunden zu beweisen, dass das Quadrat bei dem alle 4 Punkte auf Dreieckseiten liegen das größte ist. Wenn das bewiesen ist, dann ist die Aufgabe gelöst.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.14, eingetragen 2003-04-10
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So - ich habe die Lösung (+Weg natürlich)
-die gleiche wie Spooky.
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DaMenge
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Dabei seit: 24.07.2001
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2003-04-11
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Also wir kennen ja jetzt die zwei kritischen Quadrate, die in Frage kommen (parrallel zur und auf der Grundseite bzw: ein Eckpunkt genau auf dem Fußpunkt der Höhe)
Hierbei berühren alle Ecken die Seiten des Dreiecks.
[und nachgerechneterweise ist die parallele Situation besser]
Man kann sich sich doch jetzt noch eine Art Rotation vorstellen, wobei das Quadrat aus der parallelen Situation in die andere überführt wird. Bei diesem Vorgang braucht man ja nur die Seitenlänge des Quadrates zu betrachten und diese in einer Funktion in Abhängigkeit von dem Winkel gegenüber der Ausgangslage beschreiben - hierbei würde es dann nur noch eine Extremwertaufgabe sein.
(Zugegeben die Funktion zu finden wird nicht einfach, aber interessant !!)
ABER : Hat eigentlich schon irgendwer bewiesen, dass eine Ecke (oder alle) immer die die Grundseite (oder alle Seiten) berühren müssen, damit das Quadrat maximal wird?
Ich meine, es wäre theoretisch möglich, dass es eine abartige Lage des Quadtrates gibt, an die wir alle nicht denken - Dies widerspricht zwar den Zeichnungen, die wir alle schon gemacht haben, aber man sollte es IMHO doch ausschließen !
MFG
DaMenge
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Friedel
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.16, eingetragen 2003-04-11
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Es gibt nur 1 Möglichkeit 1 Quadrat so in ein gleichseitiges Dreieck ein zu beschreiben dass alle 4 Ecken auf den Seiten des 3ecks liegen. Kennt jemand eine Möglichkeit nach zu weisen, dass dies das größtmögliche Quadrat ist?
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.17, eingetragen 2003-04-11
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gelangt ihr zu meiner Lösung.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-13 13:48 ]
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Friedel
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| Beitrag No.18, eingetragen 2003-04-13
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Wozu diese winzigen Lösungsfensterchen? Wenn du schon die Größe der Fenster vorgibst, warum vehinderst du dann, dass man das Fenster vergrößert. Es ist ungemein lästig, wenn man die Inhalte dieser Fenster immer erst in andere Dokumente kopieren muss bebor man Zusammenhänge erkennen kann.
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Friedel
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.19, eingetragen 2003-04-13
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Die Lösung ist gut nach zu vollziehen und ich kann keinen Fehler entdecken. Die Annahme, dass dieses Quadrat das größtmögliche ist, halte ich für richtig. Allerdings fehlt der Beweis. Es ist ja möglich (zumindest ist das Gegenteil bisher nicht bewiesen), dass irgend ein im Dreieck schräg eingebautes Quatrat größer ist. Allerdings ist das auch nicht einfach zu beweisen. Ich habe zwar eine Idee wie man das beweisen könnte, aber leider habe ich in den nächsten 2 Wochen keine Möglichkeit mich damit zu beschäftigen.
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Martin_Infinite
Senior
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| Beitrag No.20, eingetragen 2003-04-13
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Ich habe nun das Verändern der Fentsergröße erlaubt.
Danke für den Hinweis.
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Eckard
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Dabei seit: 14.10.2002
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| Beitrag No.21, eingetragen 2003-04-13
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Kann die 49,74% von Martin_Infinite bestätigen, allerdings auch noch ohne vollständigen Beweis, dass es so aussehen muss (obwohl der Beweis ja nicht verlangt wird und es intuitiv recht klar ist, dass es so sein muss).
Mein Rechenweg ist jedoch viel kürzer. Mehr dazu morgen.
Gruß Eckard
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Friedel
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.22, eingetragen 2003-04-13
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Martin_Infinite hat ja die Funktionsgleichung für die rechte Quadratseite schon gebildet. Analog dazu kann man die Gleichung für die linke Seite bilden. Ich bezeichne die Ecken des Quadrates mit A, B, C, und D. Wenn A im Punkt (0; 0) liegt, kann man den Punkt B auf der rechten Dreieckseite berechnen, wenn man von der errechneten Quadratseitenlänge ausgeht. Wenn man A auf der X-Achse bis b/2 wandern lässt, erhält man die Funktion für B. Daraus ergibt sich die Funktion für C. Wenn C die linke Dreiechseite nur ein mal im Punkt (-b/2; b) schneidet , dann haben wir das richtige Quadrat.
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DaMenge
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| Beitrag No.23, eingetragen 2003-04-14
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Danke Martin_I !!
Bei deinem Bild der zweiten (kleineren Möglichkeit) ist mir etwas aufgefallen :
Wenn man das Bild nimmt und eine der beiden anderen Seiten als Grundseite nimmt (also einfach um eine Ecke dreht), dann sieht man, dass es nicht nur diese zwei "idealen" Möglichkeiten gibt.
Es ist also IMHO wirklich erforderlich, dass man alle anderen Möglichkeiten ausschließt.
Ich werde mich heute wohl ein wenig damit beschäftigen.
MfG
DaMenge
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.24, eingetragen 2003-04-14
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Sagst du damit, dass es dann noch mehr Möglichkeiten gibt?
Aber wenn man im zweiten Bild den linken Eckpunkt des Quadrats
auf der linken Dreiecksseite lässt und das Quadrat nur dreht, wird
doch deutlich, dass sich die Fläche verkleinert. (der rechte Eckpunkt
muss ja 'unter' der rechten Dreiecksseite bleiben) Nur wenn man die
Grundseite des Quadrats auf einer (irgendeiner weil das Dreieck
gleichseitig ist) Seite zentriert, wird die Quadratfläche größer.
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DaMenge
Senior
Dabei seit: 24.07.2001
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| Beitrag No.25, eingetragen 2003-04-14
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Hi,
nein, ich glaube nicht, dass es noch andere Möglichkeiten gibt, aber wenn man in deinem Bild die Ecke des Dreiecks dreht (also einfach eine andere Dreiecks-seite als Grundseite wählt), siewht man dass das Quadtrat (bei der Drehung hat es sich ja nicht verändert) immernoch sehr groß ist, aber nicht mehr so "ideal" aussieht.
D.H. es wäre durchaus denkbar, dass es irgendwo dazwischen (oder eine komplett andere Lage des Quadrates) eine möglichkeit gibt, die wir bisher nur nicht betrachtet haben.
Ich glaube nicht, dass es diese möglichkeit tatsächlich gibt, aber man sollte sie dennoch ausschließen !
MfG
DaMenge
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Siah
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| Beitrag No.26, eingetragen 2003-04-14
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@DaMenge: kannst du mal ein Beispiel für eine weitere plausible Möglichkeit geben? Ich sehe sie nicht...
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DaMenge
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| Beitrag No.27, eingetragen 2003-04-15
|
sorry - kann jeden Tag nur ca eine Stunde online sein..
@siah :
Es ist ja keine komplett andere Möglichkeit, die ich meine, sondern bei der zweiten Möglichkeit (also wo keine Quadrat-seite mit einer Dreiecksseite parallel ist) einfach das Dreieick so drehen, dass eine andere Grundseite unten ist. Dann sieht man, dass das Quadrat auf der neuen Grundseite nicht zwei 45° Winkel bildet.
Das Quadrat ist immernoch genauso klein, aber das sollte verdeutlichen, dass es noch andere Möglichkeiten geben könnte [die man evtl. ausschließen sollte]
MfG
DaMenge
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Siah
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| Beitrag No.28, eingetragen 2003-04-15
|
Nunja, ich kann die Ergebnisse auch nur bestätigen, und die anderen Möglichkeiten nur aus Intuition aussschliessen, aber einen Beweis habe ich dafür nicht...
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Toaster
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-20
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