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| Autor |
  lineare Optimierung |
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Martin_Infinite
Senior 
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 |  Themenstart: 2003-04-16
|
Es geht darum, ein (x,y) zu finden, für das ein linearer Ausdruck
ax+by+c extremal wird, wobei Nebenbedingungen für x,y gegeben sind.
In diesem Gebiet gibt es in diesem Buch u.a. richtig
praxis-nahe Aufgaben, die dann graphisch gelöst werden 
Doch bei dieser komme ich nicht weiter:
___________________
Eine Bodenfläche von 1600 m² soll mit 3 Sorten von Kunststoffbelag
versehen werden. Für die erste Sorte kostet die Verlegung 30 DM pro m²,
für die zweite 15 DM pro m² und für die dritte 10 DM pro m². Die
Reinigungskosten betragen pro Jahr für den m² der ersten Sorte 4 DM,
der zweiten 6 DM und der dritten 8 DM. Wie viele m² sind mit den
einzelnen Sorten zu belegen, wenn mindestens 400m² mit der ersten
belegt werden soll, für die jährlichen Reinigungskosten höchstens 9600
DM zur Verfügung stehen und die Verlegungskosten minimal sein sollen,
und wie groß sind dann die Verlegungskosten ?
___________________
Ich habe berechnet, dass 20x+5y+16000 minimal werden soll,
wenn x,y die Anzahl der m² der ersten bzw. zweiten Sorte sind.
Nun kann ich aber die Nebenbedingungen nicht richtig finden.
Wegen der Reinigungskosten habe ich -4x-2y £ 9488
und sonst noch x ³ 400 und y ³ 0
aber dem Buch kann man diese Bedingungen entnehmen:
..dass meine erste Nebenbedingung falsch ist, x+y £ 1600, 20x+y ³ 1600
Wie kommt man darauf?
Kann mir jemand das erläutern und mir damit weiterhelfen?
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-16 20:10 ]
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Rodion
Senior 
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-16
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Wieso hast du denn nur 2 Variablen?
Ich habe das Problem wie folgt aufgeschrieben:
Sei x die zu bestellende Menge von Belag 1, y von Belag 2, z von Belag 3, dann muß gelten:
x>=400
x+y+z=1600
4*x+6*y+8*z<=9600
Minimiert werden sollen die Anschaffungskosten, also:
30*x+15*y+10*z = min
Dieses Problem kann man nun z.B. mit dem Simplexverfahren lösen, ich weiß ja nicht, mit welchen Prinzipien du das gerade angehst.
[Edit]Aha, ich nehme an, du meintest 2x+y ³ 1600. Eliminiert man nämlich in meiner 2.Gleichung das z, so erhält man genau deine Minimierungsfunktion und meine 3.Nebenbedingung wird zu 2x+y ³ 1600.
x+y £ 1600 gibt nur an, daß die Menge des 3.Stoffes nicht negativ sein darf. Aber ich vermisse die Restriktion x ³ 400...[/Edit]
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-16 21:02 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-16
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Ich schreibe extra oben, dass es um einen Ausdruck der Form
ax+by+c geht. Ein Beispiel:
Für welches (x,y) ist z=x+y maximal bzw. minimal mit
x+3y£15, 2x+y £ 10 , x³0 und y³0
Zeichnet man die Nebenbedingungen im Standard-Koordinatensystem:
... und formt man z=x+y zu y=-x+z um, so zeichnet man nun die
Geraden, deren Steigung -1 ist und die gerade noch in der Menge liegen:
Also kann man die beiden (x,y) ablesen: (3,4)=>z=7, maximal
und (0,0)=>z=0, minimal
So wird da sin diesem Buch beschrieben.
Das Simplexverfahren kenne ich nicht.
Ich würde mich freuen, wenn du mir das erklären könntest.
Kann man das mit den partiellen Ableitung usw machen?
Ist da szufällig dasselbe?
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-16 21:28 ]
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-16
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Ich vermute, daß es sich um eine Aufgabe aus einem Schulbuch geht.
Das Simplex-Verfahren ist ein Algorithmus, der bei der linearen Optimierung das Extremum findet.
Er nutzt aus, daß das Extremum nur auf einer "Kante" des Definitionsbereiches liegen kann.
Partielle Ableitunge bringen nicht so viel, da die Zielfunktion linear ist, d.h. die "ersten Ableitungen" haben keine Nullstellen.
Wenn man das Problem auf 2 Variablen reduzieren kann, läßt sich der Definitionsbereich zeichnen, und du brauchst nur die Ecken (die sich dann leicht als Schnittpunkte zweier Geraden berechnen lassen) anzutesten, um das Extremum zu finden. (ich habe 1980 meine 2. Staatsexamensarbeit über eine Unterrichtsreihe "Linare Optimierung" geschrieben)
Auch ein Weg von 1000 Meilen beginnt mit einem Schritt.
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-04-16 21:53 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-16
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Ja, sorry, ich habe den ersten Teil deines Posts nicht richtig gelesen und nur die Aufgabe angeguckt.
Mit den in meinem Edit beschriebenen Bedingungen (siehst du jetzt, woher sie kommen?) kannst du das nun aber auch graphisch lösen.
Das Simplexverfahren ist die Mathematisierung deines graphischen Verfahrens (nichts mit partieller Ableitung).
Es dauert aber wirklich ewig, diese Verfahren zu beschreiben oder Herzuleiten. Wenn du es ganz dringend wissen willst, schreib mir eine PM.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-16
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Simplexverfahren scheint kompliziert zu werden 
2003-04-16 20:40: Rodion schreibt:
Aber ich vermisse die Restriktion x ³ 400...
Ich habe nur geschrieben, was zusätzlich im Buch steht.
Danke! Ich werde es nun noch einmal probieren.
@Schubi: Ist ein trockenes und hartes Analysisbuch.
Wenn auch unpassend: Herzlichen Glückwunsch zum neuen
Titel - Du hast sicherlich schon eine PM von Matroid bekommen.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-16
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@Rodion:
Es ist mir so peinlich, dass ich meinen Rechenfehler lieber nich poste.
Ich sag nur eins: 2.Klasse
eidt:Hab's geschafft
Vielen Dank @ all !!!
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-16 22:30 ]
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