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 Äquivalenzrelation |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2002-04-24
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Hallo, habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe!
R sei eine Relation auf der Menge der ganzen Zahlen Z, die transitiv ist. Für die Relation R gelte weiter: wenn zwei Zahlen a,b Z die Bedingung |a-b|=2 erfüllen, dann (a,b)R. Folgt daraus, dass R eine Äquivalenzrelation ist? Damit es eine Äquivalenzrelation ist, was müsste man noch voraussetzen? Was sind dann die Äquivalenzklassen?
bin dankbar für Hilfe, ewentuell mit Erklärung
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2002-04-24
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
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 |  Beitrag No.2, eingetragen 2002-04-24
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Hi Du,
eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Diese 3 Eigenschaften sind also zu zeigen.
Reflexiv: xRx
Symmetrisch: xRy => yRx
Transitiv: xRy Ù yRz => xRz
Du hast eine unbekannte Relation, weißt davon aber
[1] sie ist transitiv
[2] |x-y|=2 => xRy
Was fehlt ist die Untersuchung, ob symmetrisch und ob reflexiv.
Aus |x-y|=2 folgt aber |y-x|=2, d.h. xRy => yRx.
Somit ist die unbekannte Relation symmetrisch.
Bleibt noch reflexiv zu untersuchen.
Dafür kann [2] nicht genügen, denn |x-x| ist niemals gleich 2.
So muß man eben die vorausgesetzte Transitivität ausnutzen.
Wenn nämlich xRy und yRx, dann ist wegen der Transitivität auch xRx.
Und das war's.
Gruß
Matroid
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2002-04-24
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Hallo, Unbekannter!
Es kommt mir so vor, als waere Deine Relation im Allgemeinen keine Aequivalenzrelation. Weil die Symmetrie schiefgehen kann. Ich hab bis jetzt aber noch kein uebersichtliches Gegenbeispiel konstruieren koennen. Das liefere ich aber noch nach.
Oder den Beweis, dass es sich doch um eine Aequivalenzrelation handelt. Aber erstmal denke ich, dass ich ein Gegenbeispiel hinkriege...
Gruss, E.
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matroid
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-04-25
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Hi Fabi,
ich geb's zu. Auf diese Aufgabe bin ich schon mal reingefallen.
Ich habe noch nicht bewiesen, daß die Relation gemäß Voraussetzungen eine Äquivalenzrelation ist. Denn während Symmetrie und Transitivität Aussagen vom Typ 'wenn-dann' sind, also auch gelten, wenn die linke Seite nie erfüllt wird (leere Relation), ist die Reflexivität eine absolute Aussage. Es muß für alle x aus Z gelten: xRx.
Wo fehlt es? Die Voraussetzung sagt nur etwas über die Transitivität von Zahlen, deren Differenz 2 ist (betraglich). Für andere Zahlen ist erstmal nichts gesagt.
Wir wissen also, daß 2R4 und 4R2 als auch 2R2.
Was ist aber mit 3R3?
Da muß man sich noch Gedanken machen.
Aber das gilt auch, denn nach Voraussetzung ist 3R5 und 5R3 und darum auch 3R3.
Dieses Argument (in etwas allgemeinerer Formulierung) muß auf jeden Fall auch in den Beweis.
Gruß
Matroid
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Ende
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-04-25
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Hallo!
Hat Matroid mich jetzt mit Fabi angeredet? Zur Strafe weise ich ihm jetzt einen falschen Beweis nach, indem ich ein Beispiel einer Relation R angebe, die transitiv ist, und fuer die, falls |a - b| = 2, auch (a, b) Î R gilt.
Deine Relation R soll die folgenden Eigenschaften haben:
(i) R ist transitiv, und
(ii) Fuer a, b Î Z: |a - b| = 2 => (a, b) Î R.
Setze R1 := {(a, a + 2k)| a, k Î Z}.
Setze weiter R2 := (1 + 2Z) x 2Z.
Setze nun R := R1 È R2.
Behauptung
R erfuellt (i) und (ii), ist aber nicht symmetrisch.
Beweis
Zu (ii): Offensichtlich, da R Ê R1. Seien naemlich a, b Î Z mit b - a = 2, dann ist b = a + 2, und es ist (a, b) = (a, a + 2) Î R1. Analog fuer den Fall a - b = 2.
Zu (i): Seien (x, y), (y, z) Î R.
Fall 1: (x, y) Î R1, (y, z) Î R1.
Dann gibt es k, l Î Z mit y = x + 2k und z = y + 2l.
Es folgt (x, z) = (x, x + 2k + 2l) = (x, x + 2(k + l)) Î R1 Í R.
Fall 2: (x, y) Î R1, (y, z) Î R2.
Dann gibt es k, l Î Z mit (x, y) = (x, x + 2k) und (y, z) = (x + 2k, 2l).
Ausserdem gibt es m Î Z mit x + 2k = 1 + 2m.
Daraus folgt x = 1 + 2(m-k).
Also (x, z) = (1 + 2(m-k), 2l) Î R2 Í R.
Fall 3: (x, y) Î R2, (y, z) Î R1.
Dann gibt es k, l, m Î Z mit (x, y) = (1 + 2k, 2l) und (y, z) = (2l, 2l + 2m).
Also (x, z) = (1 + 2k, 2(l+m)) Î R2 Í R.
Fall 4: (x, y), (y, z) Î R2.
Dann gibt es k, l Î Z mit (x, y) = (x, 2k) und (y, z) = (2k, 2l).
Ausserdem gibt es m Î Z mit 2k = 1 + 2m. Das ist aber unmoeglich, weil links eine gerade und rechts eine ungerade Zahl steht. Der Fall 4 kann also nicht auftreten.
In den Faellen 1 bis 3 ist die Transitivitaet von R also nachgewiesen, der 4. Fall tritt nicht auf. Insgesamt ist also R transitiv.
Der Todesstoss
Nun erfuellt R also Deine Bedingungen (i) und (ii).
Ich behaupte nun, dass R nicht symmetrisch ist. Denn offensichtlich ist (1, 2) Î R2 Í R, aber ebenso offensichtlich ist (2, 1) Ï R. Also ist R nicht symmetrisch.
Matroid hat in seinem Nachweis der Symmetrie uebersehen, dass die Relation nicht vollstaendig durch die Beziehung |a - b| = 2 gegeben ist, was wohl genau der Knackpunkt der Aufgabe war. :-)
Ganz besonders perfide ist die Aufgabe deswegen, weil sie diese Fall-Falltuer bei der Reflexivitaet eingebaut hat. Man denkt, dass man zuerst reinfaellt, weil man ueber die Reflexivitaet zunaechst hinweghuscht. Und dann faellt man wirklich drauf rein, weil man der Reflexivitaet seine ganze Aufmerksamkeit widmet, und dabei den Hinterhalt bei der Symmetrie uebersieht. Eine wirklich schoene Aufgabe. Die werde ich mal besonders vorlauten Anfaengern stellen. ;-)
Gruss, E.
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-04-25 01:04 ]
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-04-25 01:05 ]
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matroid
Senior
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Wohnort: Solingen
| Beitrag No.6, eingetragen 2002-04-25
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Hallo Ende,
ja, das mit der Verwechslung beim Namen tut mir leid.
Aber zur Relation. Ist R2 eine Relation auf Z?
so what?
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Ende
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| Beitrag No.7, eingetragen 2002-04-25
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Hallo, Matroid!
Ja, R2 (Menge der Paare ganzer Zahlen, mit ungerader Zahl in der ersten und gerader Zahl in der zweiten) ist als Teilmenge von Z x Z eine Relation auf Z.
R1 ist ebenfalls eine Relation auf Z.
Die Vereinigung beider auch. Diese Vereinigung (=: R) ist transitiv und erfuellt die andere Eigenschaft mit dem Betrag. Sie ist aber insbesondere nicht symmetrisch, also keine Aequivalenzrelation.
Worauf zielte Deine Frage genau? Habe ich etwa einen Fehler gemacht? Das waere natuerlich peinlich, nachdem ich Dich bestrafen wollte... 
Gruss, E.
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luxi
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 |  Beitrag No.8, eingetragen 2002-04-25
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Wenn ich mir das so vorstelle, dann ist R2 keine Relation auf Z sondern auf ZxZ. Es ist zwar eine Relation mit ganzen Zahlen, aber eben nicht auf Den Ganzen Zahlen.
Aber das Beispiel kann man sich schon mal merken für eine Aufgabe, in der die Grundmenge der Relation nicht leider schon eingeschränkt ist.
cu luxi
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Ende
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| Beitrag No.9, eingetragen 2002-04-25
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Hallo, luxi!
Deine Bemerkung ist inhaltlich leider falsch. Lies nochmal in Deinen Definitionen ueber Relationen nach.
Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge von M x M.
Mehr ist erstmal fuer eine Relation nicht gefordert.
So ist zum Beispiel die leere Menge auch eine Relation auf Z, denn die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, also insbesondere auch Teilmenge von Z x Z.
Die Menge {(1, 2)} ist ebenfalls eine Relation auf Z.
Eine Relation auf Z x Z waere beispielsweise die Menge {((1, 2), (3, 4))}.
Vielleicht habe ich mein R2 auch missverstaendlich definiert. Ich definiere R2 nachtraeglich nochmal eindeutig:
R2 := {(a, b} | ex. k, l aus Z mit a = 1 + 2k und b = 2l}.
War das vielleicht auch Deine Frage, Matroid, und ist sie damit vielleicht sogar schon geklaert?
Gruss, E.
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-04-25 11:16 ]
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matroid
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| Beitrag No.10, eingetragen 2002-04-25
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Hi Ende,
Dir geht's wie mir. Es taucht immer noch ein Gespenst auf.
Frage: gilt 3R5?
Wenn ja, ist (3,5) in R1ÈR2?
Gruß
Matroid
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Ende
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|  Beitrag No.11, eingetragen 2002-04-25
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Hallo, Matroid!
3R5 gilt wegen der von R geforderten Eigenschaft (ii).
Und es gilt (3, 5) aus R1.
Setze in der Definition von R1 a := 3 und k := 1. Dann ist (3, 5) = (a, a + 2·1) aus R1, also auch aus R.
Gruss, E.
P.S.: Ich habe den Gedanken bei der Frage nicht verstanden. Glaubst Du, dass meine Relation R := R1 (vereinigt) R2 kein Beispiel fuer eine Relation ist, die die Anforderungen der Aufgabe erfuellt und keine Aequivalenzrelation ist? Oder gehst Du einer ganz anderen Frage nach? %-)
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-04-25 14:22 ]
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matroid
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| Beitrag No.12, eingetragen 2002-04-25
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Da war kein Hintergedanke. Ich hab's wirklich nicht gesehen. Erst jetzt hat's geklickt:
Eine transitive Relation, die nicht symmetrisch und nicht reflexiv ist, und die ii. erfüllt.
Sehr schön.
Gruß
Matroid
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| Beitrag No.13, eingetragen 2002-04-25
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Puh!
Da bin ich aber echt erleichtert. Ich hatte schon angefangen, an mir selbst zu zweifeln, weil ich meinen Beitrag schon vier Mal durchgelesen hatte, und einfach nix finden konnte. Und ein gutes Mass an fachlicher Autoritaet ist Dir ja schon zueigen.
Stabilisiert, E.
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