| Autor |
  reellwertige Lösung einer DGL |
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till
Junior 
Dabei seit: 11.10.2006
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Wohnort: NRW
 |  Themenstart: 2006-10-11
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Hi!
Ich werde mein Problem an einem Beispiel schildern:
Es geht um die DGL:
y^(4)+4y^(2)+4=0
Das Charakteristische Polynom ist dann:
P=x^4+4x^2+4=(x+i*sqrt(2))^2(x-i*sqrt(2))^2
Eine Basis des Lösungsraumes ist:
exp(-i sqrt(2)t), t exp(-i sqrt(2)t), exp(i sqrt(2)t), t exp(i sqrt(2)t)
Die reellwertige Basis ist dann:
cos(sqrt(2)t), t cos(sqrt(2)t), sin(sqrt(2)t), t sin(sqrt(2)t)
Nun das Problem: Das "cos(sqrt(2)t)" ist als
Re(exp(i sqrt(2)t))=Re(cos(sqrt(2)t)+i sin(sqrt(2)t))
recht einfach nachvollziehbar. Aber wie kommt man auf das
"sin(sqrt(2)t)"?
Es müsste ja:
Re(exp(-i sqrt(2)t))=Re(cos(sqrt(2)t)-i sin(sqrt(2)t))
Doch ist der Sinusteil immer im Imaginärteil, wieso ist er dann Basis
des reellwertigen Lösungsraumes?
Gruß Till
[ Nachricht wurde editiert von fed am 12.10.2006 18:03:45 ]
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-10-11
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Willkommen auf dem Matheplaneten, Till!
Es ist klar, dass e^(i*sqrt(2)*t)-e^(-i*sqrt(2)*t) eine Lösung ist, und das ist nichts anderes als 2*sin(sqrt(2)*t)
Edit: 2*i*sin(sqrt(2)*t)
Gruß,
Radix
[ Nachricht wurde editiert von Radix am 11.10.2006 15:26:44 ]
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kamil
Senior
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Wohnort: Bochum
 | Beitrag No.2, eingetragen 2006-10-11
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\
Hallo und herzlich willkommen hier auf dem Planeten!
also ich versuche dir mal etwas zu helfen, du hast ja die Lösung der Differnetialgleichung in \IC gefunden, dies ist bei dir:
exp(-i sqrt(2)t), t exp(-i sqrt(2)t), exp(i sqrt(2)t), t exp(i sqrt(2)t)
Nun willst du eine Basis im reellwertigen haben, dazu betrachtest du nun alle Lösungen im \IC und bildest davon die Basis. Denn du weißt sicherlich, dass dim(\IC) = 2dim(\IR) ist. Hier reicht es nur die Lösungen:
exp(i sqrt(2)t), t exp(i sqrt(2)t)
zu betrachten, denn die anderen beiden:
exp(-i sqrt(2)t), t exp(-i sqrt(2)t)
sind komplex konjugiert, und diese spannen keinen neuen Raum auf, somit suchen wir nur noch eine Lösung im reellen für:
exp(i sqrt(2)t), t exp(i sqrt(2)t)
Nun kannst du diese lecht finden, denn:
b_1 = Re(exp(i sqrt(2)t))
b_2 = Im(exp(i sqrt(2)t))
b_3 = Re(t* exp(i sqrt(2)t))
b_4 = Im(t*exp(i sqrt(2)t))
Hilft dir das etwas?
Grüße, Kamil
\
P.S.
Es simmt nicht, dass
Re(exp(-i sqrt(2)t))=Re(cos(sqrt(2)t)-i sin(sqrt(2)t)) ist, es gilt:
Re(exp(-i sqrt(2)t))= cos(-sqrt(2)t) = cos(sqrt(2)t)
[ Nachricht wurde editiert von kamil am 11.10.2006 12:21:23 ]
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2006-10-11
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Übrigens: Der cos ist nicht Basis, weil er der Realteil ist. Denn der Realteil einer Lösung muss noch lange nicht selbst eine Lösung sein. Der wahre Grund ist:
e^(i*sqrt(2)*t)+e^(-i*sqrt(2)*t)=2*cos(sqrt(2)*t)
Gruß,
Radix
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till
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-11
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@radix:
Das mit dem cos verstheh ich, aber es müsste doch:
e^(i*sqrt(2)*t)-e^(-i*sqrt(2)*t) = 2*i*sin(sqrt(2)*t)
Also nur Imaginär, wieso ist es dann rellwertige Lösung?
@kamil:
Warum ist der Imaginärteil der komplexen Lösung eine reelle Lösung?
gruß till
[ Nachricht wurde editiert von till am 11.10.2006 12:34:25 ]
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till
Junior 
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-11
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Man hat die komplexe Lösung:
exp(i*t) =cos(t)+i sin(t)
Wenn ich euch jetzt richtig verstanden habe dann ist sowohl
Re(exp(i*t)) als auch Im(exp(i*t)) reelle Lösung.
Also: Lösung= menge(cos(t),sin(t))
Der Realteil ist klar, aber warum der Imaginärteil auch eine Lösung ist versteh ich irgendwie nicht..
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kamil
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| Beitrag No.6, eingetragen 2006-10-11
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\
Hallo, naja... also wenn man sich die Komplexenzahlen in der Zahlenebene anschaut, dann hat man z.B.
1 + i dies ist eine Zahl in \IC und wenn ich diese Zahl nun einer Basis in \IR darstellen will,
dann kann ich z.B.
(1;0) und (0;1) als Basisvektoren nehmen, im Grunde passiert da das gleiche. Oder woran hängst du noch?
Grüße, Kamil
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till
Junior
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-11
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Mal sehn ob ichs jetzt hab:
Bisher dachte ich man bekommt die reellen Lösungen durch weglassen der Imaginärteile, bzw. indem man nur den Realteil der komplexen Lösung nimmt.
Aber es ist so(?), das ich eine komplexe Lösung in zwei reellen Dimensionen darstelle. Also gilt:
Ist L\el\ \IC eine Lösung in \IC, so ist Re(L)+Im(L) eine Lösung in \IR
Wenn der Satz stimmt dan hab ich kapiert :)
gruß Till
[ Nachricht wurde editiert von till am 11.10.2006 14:23:24 ]
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till
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-11
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So ich bin jetzt unterwegs, d.h. wenn noch Beiträge kommen kann ich diese heute leider nicht mehr lesen. Ich werde aber bei der nächsten Gelegenheit reinschauen ob noch jemand geantwortet hat.
Bleibt zu sagen: Ein großes Dankeschön an kamil und Radix für die Mühe. Ich hoffe meine neuen Erkenntnisse helfen mir bei der Klausur morgen...
GRuß Till
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Radix
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| Beitrag No.9, eingetragen 2006-10-11
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Ah, da liegt der Hund begraben: Du kommst von den komplexen zu den reellen Lösungen nicht durch Weglassen der Imaginärteile, denn damit würdest du ja die Lösungen verändern. Nein: Du musst 2 komplexe Basislösungen so linear kombinieren (d. h. mit Konstanten multiplizieren und dann addieren), dass im Ergebnis der Imaginärteil 0 ist, also eine reelle Funktion herauskommt. Hier wäre das:
i/2*e^(-i*sqrt(2)*t)-i/2*e^(i*sqrt(2)*t)=sin(sqrt(2)*t)
Gruß,
Radix
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Dr_Sonnhard_Graubner
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2006-10-12
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Hallo, lautet deine Gleichung
(y(x))^(4)+4*(y(x))^(2)+4=0 ?
Viele Grüße,Sonnhard.
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till
Junior
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|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-12
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Ja das ergibt Sinn 
Also nochmals vielen Dank für die Hilfe.
@Dr_Sonnhard_Graubner:
Ja so heißt die Gleichung, steht im ersten Beitrag... Oh seh gerade da ist ein x reingerutscht. Ich machs weg.
[ Nachricht wurde editiert von till am 12.10.2006 18:02:56 ]
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2023-09-30 22:43 U ?
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