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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL höherer Ordnung » Anfangswertproblem y^(n) = x
Autor
Universität/Hochschule J Anfangswertproblem y^(n) = x
Nullvektor
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.05.2006
Mitteilungen: 682
Wohnort: Leipzig
  Themenstart: 2006-10-18

Hallo, Habe folgendes Anfangswertproblem zu lösen: y^(n)(x)=x, y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1,..., y^((n-1))(x_0)=y_(n-1) Habe nun versucht zu integrieren um ein Schema zu entdecken, was ich verallgemeinern kann, leider steigt der höchste Exponent mit jeder sinkenden Ableitung, und ich hab keine Ahnung wie ich das allgemein ausdrücken könnte! Würde mich über Hilfe sehr freuen! Danke

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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
  Beitrag No.1, eingetragen 2006-10-18

Hallo, versuche doch einmal ein Schema zu erkennen, in dem du die Aufgabe für einige konkrete n löst. Viele Grüße,Sonnhard. [ Nachricht wurde editiert von Dr_Sonnhard_Graubner am 18.10.2006 19:22:08 ]

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Nullvektor
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.05.2006
Mitteilungen: 682
Wohnort: Leipzig
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-18

ok, habe das nun versucht zu verallgemeinern: y=1/(n+1)! *x^((n+1))+c_1/(n-1)! *x^((n-1))+c_2/(n-2)! *x^((n-2))+...+c_(n-1)*x+c Gesetz dem Fall mir das richtig überlegt zu haben, weiss ich nicht wie ich hier weitermachen soll? Soll ich jetzt für jedes c die Randbedingungen einsetzen? Aber das wird doch zu viel oder?

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AlienaST
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Mitteilungen: 130
  Beitrag No.3, eingetragen 2006-10-18

dürfen die Konstanten überhaupt in der Form im Term stehen? für die x_0 sind die Funktionswerte ja gegeben. Muss da nicht nach jeder Integration die Konstante bestimmt und anschließend eingesetzt werden, um weiter integrieren zu können?

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, eingetragen 2006-10-18

Hallo zusammen, also ich habe es dann auch so gemacht, wie Nullvektor. Hatte auch erst die Idee wie Aliena, doch, wenn ich jedes C explizit berechnen müsste, ist das bisschen sehr mühsam, denn ich weiß ja nicht, wie groß n ist. Mit anderen Worten, müsste damit ja unendlich lang Konstanten berechnen. Gruß cida [ Nachricht wurde editiert von cida_77 am 18.10.2006 23:12:23 ]

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  Beitrag No.5, eingetragen 2006-10-19

Vielleicht reicht es aus, die c_i (also die Koeffizienten des Polynoms) rekursiv anzugeben... wenn das einfach geht. Mal sehen, ob mir bis morgen früh noch was einfällt (: [ Nachricht wurde editiert von Jonathan_Scholbach am 19.10.2006 01:04:51 ]

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rusty112
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  Beitrag No.6, eingetragen 2006-10-19

Hallo an alle, Wenn man sich bei Wikipedia den Artikelhttp://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung durch liest könnte man ja evtl. mit dieser Wronski-Determinante arbeiten. ? Wüsste aber nicht wie ich zeige das det W!=0 ist. Grüsse rusty

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  Beitrag No.7, eingetragen 2006-10-19

Servus rusty, ist vielleicht ein Ansatz dahingehend, klingt mir aber alles ein bisschen sehr verwirrend. So langsam weiß ich echt auch nicht weiter. Sorry!!!

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rusty112
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Dabei seit: 17.05.2006
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  Beitrag No.8, eingetragen 2006-10-19

Ich bin für jeden Vorschlag offen :)

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.9, eingetragen 2006-10-19

Geb mir Mühe, wenn ich was habe geb ich bescheid. Bis dahin viel Erfolg ebenso mit diesem Problem. Gruß cida

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.10, eingetragen 2006-10-19

ich glaube nun ein rekursive Formel für die c_i zu haben und wäre froh, wenn die mal Jemand (anhand von Beispielen oder durch Rechnung) überprüfen könnte: y(x)= 1/(n+1)!*x^(n+1) + sum(c_i/(n-i)!*x^(n-i),i=0,n) wobei die c_i rekursiv definiert sind: c_0 = 0 c_j = y_j - (1/(j+1)!*x_0^(k+1)+ sum(c_i/i!*x_0^i,i=1,j-1) , \forall j=1..n [ Nachricht wurde editiert von Jonathan_Scholbach am 19.10.2006 10:14:16 ]

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.11, eingetragen 2006-10-19

Hallo Jonathan, also ich komme erstmal auf: y(x)= x^(n+1)/(n+1)! + sum(c_i*x^(n-i)/(n-i)!,i=1,n) mit folgender Rekursiven Definition für c_i: c_1=y_(n-1)-x_0^2/2! c_i=y_(n-1)-x^(i+1)/(i+1)!-((sum((c_k*x^(i-1))/(i-1)!,k=1,i-1)))    \forall\ i=1,...,n Ist deinem Ergebnis zwar relativ ähnlich, aber doch leicht anders. Gruß cida [ Nachricht wurde editiert von cida_77 am 19.10.2006 03:04:51 ]

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