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Mathematik » Zahlentheorie » Stempelzahlen
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Beruf J Stempelzahlen
ruach
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  Themenstart: 2006-10-21

Hallo hier! ich hab eine Frage zu Stempelzahlen, mit denen ich mich seit einiger Zeit beschäftige. Den Begriff habe ich mir selbst ausgedacht und wüßte gern, wie soetwas richtig heißt. Hier meine Beschreibung und ein paar Vermutungen: Stempelzahlen sind natürliche Zahlen, die aus zwei teilerfremden Komponenten zusammengesetzt sind. Die Basis bildet ein Vielfaches eines Produkts m, das aus aufeinanderfolgenden Prim-Faktoren zusammengesetzt ist (2,3,5,7,11,13,17,19, ... Primfakultät kleiner n). Das größte erlaubte Vielfache ist um 1 kleiner als der größte m-Faktor. Zur Basis werden die teilerfremden Elemente kleinerer Stempel addiert. So entstehen Stempelbereiche, die alle Stempelzahlen kleiner m enthalten und der Ausgangsstempel für den nächsthöheren Bereich sind. Stempelzahlen lassen sich als Zahlensystem ähnlich dem Dualsystem oder Dezimalsystem verstehen. Statt der Potenzen von 2 oder 10 werden hier immer größer werdende Produkte aufeinanderfolgender Primzahlen verwendet. s = k_0 + k_1*2 + k_2*6 + k_3*30 + k_4*210 + k_5*2310 + k_6*30030 + ...... Ferner gilt, dass die k-Koeffizienten nur die Größe 0 bis (m-Faktor -1) haben dürfen, k0 gleich 1 ist und dass jede Summe aller Summanden links und aller Summanden rechts eines Pluszeichens teilerfremd ist! Die Addition eines Vielfachen einer höheren m-Ebene bewirkt das Stempeln und die Bedingung teilerfremd bewirkt das Streichen von Vielfachen des Teilers dieser m-Ebene! Ein Stempel enthält einfach alle zur Stempelgröße teilerfremden Zahlen von 1 bis zur Stempelgröße. Der kleinste Stempel ist der m-Bereich 2 und enthält nur die 1. Der nächste enthält mit m=6 die Zahlen 1 und 5. Die 3 wird als Vielfaches des aktuellen m-Faktors 3 sofort gestrichen. Der dritte Stempel aus 5 Stempeln des 6er Bereichs ist der 30er Bereich mit den Elementen 1,7,11,13,17,19,23,29. Die Zahlen 5 und 25 werden gestrichen. usw. (Ergänzung: Beispiele und Formeln von teilnehmer s.u.: Zweierstempel: 0  .. 2 enthält nur die 1, 2 ist die Stempelgröße m und gleichzeitig der größte Primfaktor von m (Stempelfaktor). Sechserstempel: 1 + 0*2 =1 1 + 2*2 =5 Hier ist der erste Stempel dreimal wiederholt, ergibt 1,3,5 und die 3 als Vielfaches des Stempelfaktors gestrichen. 30er Stempel: 1 + 2*2 + 1*6 =11 1 + 0*2 + 3*6 =19 210er Stempel: 1 + 0*2 + 0*6 + 4*30=121 1 + 2*2 + 3*6 + 3*30=113 = 23 + 90 ... Sei p_n die n-te Primzahl und s_i die i-te Stempelzahl. Sei P_n=produkt(p_k,k=1,n) P_n ist die Stempelgröße. p_n ist der (größte) Stempelfaktor. Ein Stempel S_n ist definiert als S_n={s_i \| 10). Primzahlen unterliegen dem Rhythmus der Stempelzahlen, dh Stempelzahllücken sind immer auch Primzahlenlücken, aber Primzahlen sind in einem Stempel ungleich verteilt. Die unteren Teilstempel (ab der Stempelgröße 210) enthalten ausschließlich oder einen größeren Anteil Primzahlen als die oberen. (Ende Ergänzung) Eigenschaften der Stempelzahlen Die Stempelzahlen sind symmetrisch zur jeweiligen Bereichsmitte m/2: Ist s1 eine Stempelzahl des Bereichs mi, dann ist die Spiegelzahl s2 = mi-s1 ebenfalls ein Element dieses Bereichs. Symmetrisch sind auch alle Lücken und alle Stempelzahlenzwilling. Die Lücken kleinerer Stempel vervielfältigen sich symmetrisch und werden durch symmetrische Streichungen vergrößert. Die Anzahl der Stempelzahlzwillinge wächst etwas schwächer, aber in derselben Stärke wie die Anzahl der Stempelzahlen. Die Anzahl der Produkte oder nicht-primen Stempelzahlen wächst stärker als die Anzahl der Stempelzahlen. Die Summe aller Stempelzahlen eines Bereichs ist ein Vielfaches von m. Die geraden Abstände 2*d zur Bereichsmitte m/2 sind entweder Potenzen von 2 oder Kombinationen von Stempelzahlen mit Potenzen von 2. Zu jeder Stempelzahl existieren verwandte Stempelzahlen im Abstand 2^n, 2*3^n, zu bestimmten auch im Abstand anderer Potenzen (resteabhängig). Dabei folgen nie dieselben Potenzen direkt hintereinander ((23+8)+16=(31)+16=47). Mod m werden Stempelzahlprodukte eines Bereichs wieder auf Stempelzahlen dieses Bereichs abgebildet. Alle Stempelzahlen eines Bereichs lassen sich paarweise zu Produkten gruppieren, die alle mod m denselben Rest oder dieselbe Stempelzahl ergeben. Stempelzahlen lassen sich unterteilen in quadratische Reste, Spiegelzahlen quadratischer Reste und nichtquadratische Reste mod m. Für m=30 sind 1 und 19 (15+4) quadratische Reste. Für m=210 sind 1, 121 und 151, sowie 79, 109 und 169 quadratische Reste (19 nicht mehr!). Jeder neue Faktor f unterteilt den jeweiligen Stempelzahlenbereich in f-1 Resteklassen (f-1: 2,4,6,10,12,16,18,22,28,...) Alle Stempelzahlen des nächstkleineren Bereichs werden jeder Klasse je einmal zugeteilt. Dadurch finden sich in jeder Klasse genausoviele Zahlen wie der nächstkleinere Bereich an Stempelzahlen enthält! Produkte derselben Klasse ergeben quadratische Reste mod m. Anzahl und Dichte der Stempelzahlen Die Anzahl der Stempelzahlen ist das Produkt der um 1 verminderten Faktoren von m. mf    m                            Anzahl 2     2            1               1 3     6            1*2             2 5     30           2*4             8 7     210          8*6             48 11    2310         48*10           480 13    30030        480*12          5760 17    510510       5760*16         92160 19    9699690      92160*18        1658880 23    223092870    1658880*22      36495360 Die Dichte der Stempelzahlen ist der Quotient von Anzahl und m: D= 1*2*4*6*....*(mi-1) /m     mit m= 1*2*3*5*7*.....*mf Die Frequenz ist der Kehrwert von D. mf              D               F 2               0,5             2 3               0,33            3 5               0,2666          3,75 7               0,2286          4,375   11              0,2077          4,8125 13              0,1918          5,2135 17              0,1805          5,5393 Wert für 71: D = 0,128 oder jede 7,8 te Zahl ist eine Stempelzahl (von 100 Zahlen ca. 13 Zahlen)! Bis ca. 10^6 sind mehr als die Hälfte der Stempelzahlen eines Bereichs Primzahlen. Stempelzahlvermutungen Aus der Struktur der Stempelzahlen kann man Vermutungen zur Struktur der Primzahlen ableiten:    1. Es gibt zu jeder Primzahl weitere im Abstand einer natürlichen 2er-Potenz 2^n .    2. Es gibt keine Primzahl, die nicht durch 2er-Potenzsprünge von anderen Primzahlen her erreicht werden kann (Umkehrsatz zu 1). (Von den ersten 5000 Primzahlen können ca 12,5% nicht additiv erreicht werden: 127,149,251,269,331,337,373,509,599, ... Neun können nicht mit Potenzen unter 40 erreicht werden.)    3. Zu jeder Primzahl existiert eine weitere, so dass gilt: p1+p2 = mi Anders ausgedrückt: Zu jeder Primzahl existiert ein Stempel, in dem seine Spiegelstempelzahl ebenfalls prim ist. Kleine Änderung: ich füge noch ein Bild ein: Das folgende Bild stellt die Stempelzahlen des 210er Bereichs dar. Sie sind nach den Stempelzahlen des 30er Bereichs gruppiert. Quadratische Reste sind rot, Produkte mit gelbem Hintergrund markiert. Die zu 210 nicht teilerfremden Vielfachen von 7 sind mit verkleinerter Schriftgröße dargestellt und bilden neue Lücken in diesem Stempel. (Die Vielfachen von 2,3 und 5 sind aufgrund der kleinen ersten Stempel komplett entfallen. 7 und die folgenden Primzahlen bleiben in höheren Stempeln in Kombinationen enthalten (37, 41, 67, 71, ...) Änderung: Die zweite Vermutung wurde den folgenden Korrekturen entsprechend angepasst. Damit bildet sie aber nur noch eine Umkehrung der ersten. Bild [ Nachricht wurde editiert von ruach am 21.10.2006 22:12:14 ] [ Nachricht wurde editiert von ruach am 22.10.2006 19:03:17 ] [ Nachricht wurde editiert von ruach am 26.10.2006 22:00:55 ] [ Nachricht wurde editiert von ruach am 27.10.2006 13:20:16 ] [ Nachricht wurde editiert von ruach am 04.11.2006 19:20:37 ]


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teilnehmer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2006-10-21

Hallo Ruach, ich fürchte, deine Ausführungen sind ziemlich lang und nicht leicht zu verstehen. Daher habe ich mir die Freiheit herausgenommen, deine Definitionen in etwas kompakterer Form hinzuschreiben und zwar so, wie ich sie verstanden habe: Sei p_n die n-te Primzahl. Sei P_n=produkt(p_k,k=1,n) Ein Stempel S_n ist definiert als S_n={1}\union\{p_i \| P_(n-1)=j>m erfüllt. Habe ich das so richtig hinbekommen? [ Nachricht wurde editiert von teilnehmer am 21.10.2006 20:28:03 ]


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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2006-10-21

Hi ruach, willkommen als neues Mitglied! Du bist sehr mutig und führst einen neuen Begriff ein, und zwar sehr überzeugend. Das verdient höchsten Respekt, und so etwas ist selten. zu 1. Dies ist das sogenannte Bertrand-Postulat (warum das "Postulat" heißt, weiß ich auch nicht): Für x > 1 gibt es zwischen x und 2x immer eine Primzahl. zu 2. Was ist mit der Primzahl 127 ? 127-1, 127-2, 127-4, 127-8, 127-16, 127-32, 127-64 sind alles Nichtprimzahlen, sorry, wenn ich mich verrechnet haben sollte. zu 3. Hmm, eine schwierige Vermutung. Sehe ich es richtig, daß mi das Produkt 2*3*5*...*pi der ersten i Primzahlen sein soll? Ich weiß es nicht, aber vielleicht hilft 1. (das Bertrand-Postulat) beim Beweis dieser Behauptung. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von Buri am 21.10.2006 20:44:58 ]


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ruach
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-21

siehe nächster beitrag [ Nachricht wurde editiert von ruach am 21.10.2006 20:55:22 ]


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ruach
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-21

Sorry, wie kann man den Beitrag grad wieder löschen! Ich hab einfach das falsche kopiert und nicht ganz nach unten gescrollt! Die Bedingung a_k


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ruach
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-21

Hallo Buri, das mit der 127 ist richtig. Da habe ich meine Vermutungen zu schnell hinggeschrieben. Die zweite Vermutung ist auch nur eine Verschärfung der ersten. Dabei geht es nicht nur um die Existenz einer weiteren Primzahl in einem bestimmten Abstand, sondern darum, dass eine weitere Primzahl genau eine Zweierpotenz entfernt ist. Kann es eine Primzahl geben, zu der ich 2^n addieren kann so viel ich will und erreiche keine Primzahl. Man müßte das mit Rechnern mal prüfen. Nochmal zur zweiten Vermutung. Ja 127 das ist ja 2^7 -1 Vielleicht hängt es damit zusammen, aber 7 und 31 sind von 5 und 29 aus erreichbar. 511 und 2047 sind nicht prim. Vielleicht gibt es aber noch mehr von dieser Sorte. Gibt es außer diesem Typ noch andere, die nicht erreichbar sind und eigene Klassen bilden??? Zu 3. Da bin ich mir auch nicht sicher. In kleinen Bereichen waren Stempelzahl und Spiegelzahl oft beide prim. Dann fand ich unter 1000 zufällig zwei Produkte, die 2310 ergaben. Das heißt in einem Stempel gibt es je größer je mehr Primzahlen, die ein Produkt als Spiegelzahl haben. Die Frage war wieder, ob das für diese Primzahl in allen folgenden Stempeln gilt. Daher habe ich etwas frech diese Vermutung aufgestellt. [ Nachricht wurde editiert von ruach am 21.10.2006 21:46:19 ]


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fru
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  Beitrag No.6, eingetragen 2006-10-21

\quoteon(2006-10-21 20:44 - Buri) Dies ist das sogenannte Bertrand-Postulat (warum das "Postulat" heißt, weiß ich auch nicht): ... \quoteoff Hallo Buri! Wenn ich mich recht erinnere, hat Bertrand diesen Satz nur vermutet und erst Tschebyscheff hat ihn dann bewiesen. Die Bezeichnung stammt also wahrscheinlich noch aus der Zeit, bevor der Satz bewiesen war. Da ich jetzt nicht zu Hause bin, kann ich nicht nachschauen. Aber ich glaube mich nicht zu täuschen dabei. Liebe Grüße, Franz [ Nachricht wurde editiert von fru am 22.10.2006 12:11:46 ]


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teilnehmer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2006-10-21

Hallo Ruach, \ Was aber ist p_i und was bedeutet die union? Vielleicht hast du in meinen Posting meine Definition von p_n als n-te Primzahl übersehen. Dann ist p_1=2, p_2=3, p_3=5, p_4=7, ... Diese Definition habe ich dann einfach für die Mengenschreibweise übernommen. Das Zeichen \union\ bedeutet nichts anderes als die Vereinigung zweier Mengen. So ist für A={1,2,3} und B={4,5} die Vereinigung beider Mengen A\union\ B = {1,2,3,4,5} Gut, dann ist nach deiner Definition S_n={m\el\ \IN \| 1<=m Was mich noch interessieren würde: Für welche deiner genannten Eigenschaften hast du schon Beweise und für welche noch nicht? Für einige der Sachen hier könnte man nämlich sofort einen Beweis aufschreiben.


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ruach
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-21

Hallo teilnehmer, vielen Dank für Deine mathematische Darstellung. Ich bin von der Ausbildung her Theologe und von daher liegt es mir näher alles mit Worten zu beschreiben. Ob das gilt? a_k\el\ S_k a_k < p_i   und damit kann es alles enthalten. Die beiden Summen links und rechts eines Pluszeichens teilen die Stempelzahlen in einen Bereich mit vielen Teilern (rechts) und einen dazu teilerfremden. Die Eigenschaften habe ich nicht alle streng bewiesen. Ich seh das alles mehr bildlich und da sind mir einige an sich klar vom Stempelprozess und dem Streichen her. Ich hoffe, da ist kein Fehler drin! Die Sache mit der Anzahl der Produkte innerhalb eines Stempels habe ich mal versucht abzuschätzen, aber das ist schwer. Viele Grüße Hans (ich muss leider für heute aufhören, da ich so noch viel zu tun habe, bleibe aber am Thema dran!)


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ruach
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-22

Hallo allerseits, ich hab mir jetzt doch ein kleines Programm geschrieben und gefunden, dass von den ersten 5000 Primzahlen ca 625 nicht von kleineren Primzahlen aus erreicht werden können. Ich will mal sehen, ob sie durch Subtraktion von kleineren Zweierpotenzen erreicht werden. Von diesen 625 lassen sich die meisten durch Subtraktion von kleinen 2er Potenzen (unter 20) erreichen. Nur diese neun wiedersetzten sich bis 2 hoch 30: 3181   11437   21893   42169   43103   43759   44729   47857   48383 (Meine Programme sind aber nicht so perfekt. Mit einem verbessertem Programm sind nur noch drei bei 2^80 übrig geblieben, aber der Test auf prim kann bei so großen Zahlen auch mal daneben liegen.) Mir ist auch klar geworden, dass selbst bei großen Zahlen garnicht soviele Zweierpotenzen abgezogen werden können. Die Hälfte der Differenzen ist dann noch durch 3 und weitere durch 5, 7 etc teilbar. Wenn Primzahlen nach großen Primzahllücken kommen, entfallen zudem gleich einige Möglichkeiten (-2,-4,-8). Zum andern nimmt bei höheren Stempel der Anteil der Paare mit reinen Zweierpotenzen als Abstand ab und ebenso die Zweierpotenzen durch Kombination (13 +2 +14=29). Das heißt je weiter man kommt, desto mehr Primzahlen lassen sich nicht mehr durch eine Subtraktion von 2er Potenzen auf kleinere zurückführen. Müßte man mal genauer mit Programmen analysieren. Lustig fänd ich auch mal eine farbliche Darstellung mit allen 2er Potenzverbindungen mit einer anderen Farbe für jede Potenz. Viele Grüße HH [ Nachricht wurde editiert von ruach am 22.10.2006 23:05:36 ]


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ruach
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-22

Hallo allerseits, ich bin mir immer nicht sicher, ob Stempelzahlen wirklich ein neuer Begriff ist. Sind in den Aussagen über Ringe, Resteklassen etc. nicht alle Informationen zur Struktur der Stempelzahlen bereits enthalten oder ist diese Zahlengruppe unter einer anderen Bezeichnung bereits eingeführt. Sind die Stempelzahlen nur eine Beispielgruppe zu einem allgemeineren Satz? Macht es Sinn diesen Zahlen einen eigenen Namen zu geben, wenn es doch nur die zu dieser teilerfremden Zahlen unterhalb einer Primfakultät sind. Viele Grüße ruach


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ruach
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-23

Hallo allerseits! Ich denke, ich hab einen Weg, die Vermutungen zu klären. Ideen zur Klärung der drei Vermutungen: zu 1: Primzahlen haben immer Abstände zu irgendwelchen höheren Primzahlen, die reine 2er Potenzen sind. Da alle Primzahlen Stempelzahlen zu größeren Primfakultäten sind bis zu der, die sie selbst als Faktor enthält, kann man das Problem versuchen innerhalb der Stempelzahlen zu klären. Es muß also im Abstand einer 2er Potenz immer weitere Stempelzahlen zu einer Primzahl/Stempelzahl geben. Dann muss gelten: ggT((s + r); m) =1  für mindestens einen möglichen Rest r = 2^n mod m s ist dabei ein Stempelzahl zu m. Gibt es für einen Rest nur Ergebnisse, die gemeinsame Teiler mit m haben, dann können diese Stempelzahlen (k*m +s) und damit auch alle Primzahlen (vom Typ k*m +s)  an diesen Stempelplätzen nie höhere Stempelzahlen erreichen und die Vermutung ist damit widerlegt, wenn man eine solche Primzahl findet. zu 2: Hier nimmt man die Ergebnisse von 1 und ergänzt das Verfahren noch um s-r. Finden sich Fälle, für die für alle Kombinationen positiv und negativ keine Stempelzahlen erreicht werden, dann ist die Vermutung widerlegt. zu 3: Hier ist es komplizierter: Man geht von dem Produktfall aus. p + a*b = m_1 Dann ist die Frage, ob  a*b + m_1*(p_2-1) eine Primzahl ist, da m_2 = m_1 + m_1*(p_2-1) = m_1*p_2 p_2 ist dabei die nächste Primzahl der Primfakultät. Allgemein: Ist diese Zahl eine Primzahl: z = a*b + m_1*(p_2-1) + m_2*(p_3-1) + m_3*(p_4-1) + ... Kann man nun zeigen, dass es ein (z-ab) gibt, dass durch a oder b teilbar ist und mi ebenfalls diesen Faktor a oder b enthält, dann kann z nie eine Primzahl ergeben. Meine Vermutung ist, dass sich alle drei Vermutungen so relativ schnell widerlegen lassen, besonders die dritte. - Beweise zu den Eigenschaften der Stempelzahlen werde ich noch nachliefern - dauert aber etwas. Viele Grüße ruach Ich hab ein Programm für den ersten Test geschrieben, das alles bis 510510 durchsucht. Dabei nimmt die Anzahl der Stempelzahlplätze im Abstand aller möglichen Reste einer 2er Potenz zu. Aufgrund der Primzahldichte sollte man in diesem Bereich sicher Primzahlen im gesuchten Abstand finden. Falls das Programm richtig rechnet!! [ Nachricht wurde editiert von ruach am 23.10.2006 12:32:07 ] [ Nachricht wurde editiert von ruach am 24.10.2006 00:58:47 ] [ Nachricht wurde editiert von ruach am 27.10.2006 13:27:09 ]


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ruach
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-25

Hallo allerseits, bevor ich die Eigenschaften beweise, müßte ich eigentlich noch eine hinzufügen. Die Feststellung, dass die Differenzen von Stempelzahlen häufig 2er Potenzen sind, diese also irgendwie vernetzen. Daraus ist ja die erste Vermutung entstanden. Ein einfaches Beispiel dieser Vernetzung sind die Stempelzahlen im Abstand einer Zweierpotenz von der Mitte des Stempels (7,11,13,19,23) Klar, wenn diese Struktur gestempelt wird, finden sich ständig weitere Differenzen von 2,4,8. Die Grundstruktur 1,5 hat ja schon diesen Abstand. Die 29 im 30er Stempel mit dem Abstand 14 zur Mitte läßt sich mit +2 +30   über mehrere Stempel hinweg zur 2er Potenz ergänzen. 61-29 =32 Auch diese Struktur stempelt sich weiter (121-89=32), hier und da von einer Lücke unterbrochen. Für Produkte läßt sich eine andere sehr interessante Struktur zeigen: Jetzt muss ich aber wieder mal den fed anwerfen - ich lern das noch! Sei s_1 + 2^n = s_2 wir multiplizieren zu einem Stempelzahlprodukt: s_1*s_3 + s_3*2^n = s_2*s_3 s_1*s_3 + (s_3-2^k)*2^n + 2^(n+k) = s_2*s_3 Wenn nun s_3 eine Stempelzahl im Abstand 2^k zur Stempelmitte war, dann gilt: s_1*s_3 + (m/2)*2^n + 2^(n+k) = s_2*s_3 s_1*s_3 + m*2^(n-1) + 2^(n+k) = s_2*s_3 s_1*s_3 + m*2^(n-1) ist eine durch Stempelveschiebung aus s_1*s_3 entstandene neue Stemeplzahl, wenn man nicht zufällig auf eine Teilbarkeitslücke trifft. s_2*s_3 befindet sich zu dieser Zahl im Abstand 2^(n+k) Zahlenbeispiel: 7 + 4 = 11 7*17+ 4*17 = 11*17 7*17+ 4*(17-2) + 16 = 11*17 7*17+ 2*30 + 8 = 11*17 119 +   60  +8 = 187 179         +8 = 187 Das Verschieben auf der linken Seite kann man auch rechts durchführen: s_1 + 2^n = s_2 s_1 + 2^n  + 2^n*30/2 = s_2 + 2^n*30/2 s_1 + 2^n * (1+15)    = s_2 + 30*2^(n-1) s_1 + 2^(n+4)         = s_2 + 30*2^(n-1) 11 + 8 = 19 11 + 128 = 139 Das geht auch mit 105 +23 = 128 Man muss nur als Zwischenschritt mit 23 multiplizieren. s_1 + 2^n = s_2 s_1*23 + 2^n*23 = s_2*23   s_1*23 + 2^n*23 + 2^n*210/2 = s_2*23 + 2^n*210/2 s_1*23 + 2^n*(23 + 105) = s_2*23 + 210*2^(n-1) s_1*23 + 2^(n+7) = s_2*23 + 210*2^(n-1) 7+4 =11 161 + 512 = 253 + 420 = 673 Das letzte verallgemeinert: s_1 + 2^n = s_2 s_1*s_z + 2^n*(s_z + m/2) = s_2*s_z + m*2^(n-1) Wählt man (s_z + m/2) so, dass eine 2er Potenz entsteht, dann hat man möglicherweise weitere Stempelzahlen im 2er Potenzabstand gefunden. Soweit für heute - bis demnächst ruach


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  Beitrag No.13, eingetragen 2006-10-26

@ ruach: Kann es sein, daß du derjenige bist, welcher auf einer Hompage vor ca 3 bis 4 Jahren mit seinen Stempelzahlen irgendein zahlentheoretisches Problem (ich glaube, Goldbach oder aber die Primzahlzwillinge waren es) beweisen wollte ? Ich habe von den Ausführungen damals gar nichts verstanden; sie waren entweder unsinnig, oder aber, schlecht erklärt.


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matroid
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  Beitrag No.14, eingetragen 2006-10-26

Hi GeraldIrsigler, das ist ein seltsamer Beitrag. Kann es sein, daß Du irgendwo schon einmal etwas geschrieben hast, was sinnlos oder schlecht verständlich war? Gruß Matroid


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Rebecca
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  Beitrag No.15, eingetragen 2006-10-26

\quoteon(2006-10-26 11:41 - GeraldIrsigler) @ ruach: Kann es sein, daß du derjenige bist, welcher auf einer Hompage vor ca 3 bis 4 Jahren mit seinen Stempelzahlen irgendein zahlentheoretisches Problem (ich glaube, Goldbach oder aber die Primzahlzwillinge waren es) beweisen wollte ? Ich habe von den Ausführungen damals gar nichts verstanden; sie waren entweder unsinnig, oder aber, schlecht erklärt. \quoteoff Hi Gerald, wenn mich jemand bitten würde, im Internet nach entweder unsinnigen oder schlecht erklärten Beiträgen zu zahlentheoretischen Problemen zu suchen, dann rate mal, welchen Namen ich zuerst als Suchbegriff eingeben würde ... Gruß Rebecca


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.16, eingetragen 2006-10-26

Vielleicht sollte ruach einfach mal ein Beispiel der Konstruktion einer solchen Stempelzahl geben............


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ruach
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-26

Liebe Leute, da muss ich tatsächlich irgendwas falsch machen, weil jetzt wiederholt geklagt wird, dass das, was ich schreibe unverständlich ist. Und vor allem zu lang! Ich hätte gleich alles mit Formeln schreiben sollen! Zur Homepage vor drei Jahren: Meine Homepage kann es nicht gewesen sein, die beschäftigt sich recht kläglich mit Ethik. Woanders vielleicht. Die Goldbachsche Vermutung kann man tatsächlich auch auf die Stempelzahlen übertragen, muss aber mod m arbeiten oder die m-Faktoren dazunehmen, das ist aber schon wieder unverständlich. Zuerst besser einige Beispiele zur Konstruktion von Stempelzahlen: Zweierstempel: 0  .. 2 enthält nur die 1, 2 ist die Stempelgröße m und gleichzeitig der größte Primfaktor von m (Stempelfaktor). Sechserstempel: 1 + 0*2 =1 1 + 2*2 =5 Hier ist der erste Stempel dreimal wiederholt, ergibt 1,3,5 und die 3 als Vielfaches des Stempelfaktors gestrichen. 30er Stempel: 1 + 2*2 + 1*6 =11 1 + 0*2 + 3*6 =19 210er Stempel: 1 + 0*2 + 0*6 + 4*30=121 1 + 2*2 + 3*6 + 3*30=113 = 23 + 90 ... Jetzt habe ich auch die Formeldarstellung von teilnehmer oben überarbeitet. So müßte alles richtig sein: Sei p_n die n-te Primzahl. Sei P_n=produkt(p_k,k=1,n) P_n ist die Stempelgröße. p_n ist der (größte) Stempelfaktor. Ein Stempel S_n ist definiert als S_n={1}\union\{p_i \| 1=j>n erfüllt. Ein Stempel S_n enthält genau p_n mal den Stempel S_(n-1), ohne die in ihm enthaltenen Vielfachen von p_n. Die Anzahl A_n der Elemente eines Stempels beträgt: A_n=produkt((p_k-1),k=1,n) Jeder Stempel hat zwei Randlücken der Größe p_(n+1)-1. In einem Bereich von 4*p_n um die Stempelmitte P_n/2 herum haben alle Stempelzahlen zu dieser Mitte einen Abstand von 2^i (i>0). Primzahlen unterliegen dem Rhythmus der Stempelzahlen, dh Stempelzahllücken sind immer auch Primzahlenlücken aber Primzahlen sind in einem Stempel ungleich verteilt. Die unteren Teilstempel (ab der Stempelgröße 210) enthalten ausschließlich oder einen größeren Anteil Primzahlen als die oberen. Vielleicht ist es jetzt etwas besser. Ich kopier die Formeln noch nach oben! Viele Grüße ruach


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  Beitrag No.18, eingetragen 2006-10-27

@q ruach: Na ja, ich will dir nicht zu nahe treten, aber, damals gab es eine (formal recht gut aufgebaute Seite), mittels der irgendwer die Unendlichkeit der Primzahlzwilling mittels einer "Stempeltheorie" beweissen wollte.......... Allerdings: Der gab aber auch zu, es nicht beweisen zu können, und, die ganze Sache damals endete mit dem Satz: "ich arbeite dran".......


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  Beitrag No.19, eingetragen 2006-10-27

Stempelzahlen: @ ruach: Sind die "11" und die "19" Stempelzahlen ? Stehen diese in einem (irgendwie geartetem Bezug) zur Zahl 30 ?


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ruach
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-27

Hallo Gerald, wenn es eine formal recht gut aufgebaute Seite gewesen war, kann es meine sowieso nicht gewesen sein. Kannst Du diese wiederfinden und mir den Link mitteilen? Stempeltheorie ist es eigentlich nicht, sondern nur ein Verfahren. Theorie meint eigentlich was anderes als einen Begriff für ein Verfahren oder eine Zahlenmenge. Die Unendlichkeit der Primzahlenzwillinge - hab davon gehört -bin aber kein rechter Mathematiker, um so etwas beweisen zu können. Innerhalb der Stempelzahlen läßt sich relativ leicht zeigen, dass es unendlich viele Stempelpaarzwillinge gibt. Gleichzeitig ist klar, dass der Anteil der Nichtprimzahlen zunimmt. Hast Du eine Idee, wie man das berechnen kann? Hier haben sich alle gleich auf die drei Vermutungen gestürzt, die ich nur so ergänzt habe. Zuerst ist zu fragen, ob die Definition der Stempelzahlen richtig und eindeutig ist und dann, ob diese Zahlenmenge hilfreich, sinnvoll, .. oder sonst was ist. Macht es Sinn eine Zahl anhand ihres Platzes in  "Stempeln" zu charakterisieren? Hier gibt es natürlich eine klare Kritik: Der Stempel wird durch das Streichen verwischt! 11 und 19 sind einfach einfache Stempelzahlen, teilerfremd zu 30. 221 und 219 oder 251 und 289 genauso, nur 259 nicht! Viele Grüße ruach


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ruach
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-28

Hallo allerseits, ich möchte das Thema jetzt abschließen. Der Thread ist lang genug und ich selbst habe die nächsten Wochen keine Zeit. Das rote B für Beruf steht da nicht umsonnst. Vielen Dank für alle Beiträge. Abschließend noch ein paar Ideen: Diese Goldbachsche Vermutung übertragen auf Stempelzahlen: Alle geraden Zahlen G eines Stempels können als Summe zweier Stempelzahlen mod der Stempelgröße dargestellt werden. Man kann zeigen, dass diese Aussage für kleine Stempel, sagen wird den 30er, stimmt. Jede höhere Stempelzahl kann man in S = k*30 + s umformen. s ist eine Stempelzahl aus dem 30er Stempel. Addiert man nun zwei solche Zahlen, dann kann mit den beiden s-Teilen jede gerade Zahl g von 2-30 dargestellt werden. Jede gerade Zahl kann ebenfalls als G = l*30 + g dargestellt werden. Je größer l nun ist, desto mehr Möglichkeiten finden sich l in zwei k-Vielfache zu zerlegen. Selbst wenn bei höheren Stempel in einigen 30er Bereichen Lücken klaffen, wird es immer zwei Stempelzahlen geben, die die gesuchte gerade Zahl bilden, da Lücken in benachbarten Bereichen an anderer Stelle oder so nicht zu finden sind. Da ist nur ein Versuch - Selbst für die Stempelzahlen ist es nicht einfach, das exakt nachzuweisen. Könnte man es für die Stempelzahlen nachweisen, dann müßte man für größeren Primzahlen zeigen, dass der Verlust an Darstellungsmöglichkeiten für eine gerade Zahl durch die zunehmenden Produkte oder deren steigenden Anzahl kleiner ist, als die Zunahme solcher Darstellungsmöglichkeiten für l. Exakt wäre dieser Beweis aber auch nicht. Das sich so eine einfache Aussage nicht beweisen läßt, ist wirklich erstaunlich. In ähnlicher Weise läßt sich die Sache mit den 2er Potenzabständen zeigen: Die Differenz D zweier Stempelzahlen  wird betrachtet, ob diese immer in eine 2er Potenz verwandelt werden kann: S_1 = k_1*30 +s_1 S_2 = k_2*30 +s_2 D = (k_1 - k_2)*30 +s_1 - s_2 S_2 ist die Ausgangszahl, S_1 kann beliebig gewählt werden und es soll immer eine Potenz von 2 herauskommen: D =2^n Man wählt nun s_1 - s_2  so, dass 2,4,8 oder 16 entsteht. Dann muss k_2 nur noch so gewählt werden, das 2^n div 30 entsteht. Auch hier gibt es viele Möglichkeiten. Die eine oder andere wird auf eine Lücke führen, aber einige ergeben Stempelzahlen im Abstand 2^n. Eigentlich alles zu einfach, nur nicht auf Primzahlen übertragbar. Aber wirklich genung für heute - das wird hier noch zur Sucht! Viel Spaß und bis in einigen Wochen. Ich setze jetzt den ok Haken - Ich hoffe das macht man so! Viele Grüße ruach [ Nachricht wurde editiert von ruach am 28.10.2006 19:29:47 ]


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  Beitrag No.22, eingetragen 2006-10-30

@ Ruach: Ich habe die "Stempelzahlen-Page" bei Google nicht wiedergefunden, aber, es könnte sich um: www.primzahlen.de/files/referent/kw/sieb.htm-13k- handeln......... Leider stürzt der Link beim Anklicken immer ab......... Und funktioniert auch hier im Test nicht.......... [ Nachricht wurde editiert von GeraldIrsigler am 30.10.2006 14:50:26 ]


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  Beitrag No.23, eingetragen 2006-10-30

Den Link habe ich bei G(oooo)gle unter Primzahlzwillinge Stempel gefunden. URL scheint wohl zu stimmen.........


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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2006-10-31

Hallo Gerald, diese Seite habe ich schon mal gesehen (man muss das Komma ,htm austauschen, dann gehts). www.primzahlen.de/files/referent/kw/sieb.htm Das ist in jedem Fall eine gute Anwendung der Stempelzahlen. Ich such grad noch nach Rhythmen in den Primzahlen. Die Folge s + 64 -4 +64 -4 ..... mit Startwerten s = k*30 + 13 führt ja immer zu neuen Stempelzahlen des 30er Stempels. Gibt es nun solche Ketten, die nur sehr lange aus Primzahlen bestehen. Stempelzahlfolgen lassen sich noch beliebige weitere auch mit größeren Stempeln bauen. Vielleicht gibt es andere mit hohem Primzahlanteil. HAbe aber leider derzeit keine Zeit hier zu suchen. Vielen Dank und viele Grüße ruach Algorithmus: Das Programm ist in effizientem C/C++ geschrieben. Der Algorithmus unterscheidet sich von einem konventionellem Test im wesentlichen in zwei Punkten. Der Algorithmus benutzt ein kleines, konstantes Sieb das dem L1 Cache angepasst werden kann. Die Zahlen werden in Bits gespeichert, die Komprimierung habe ich noch durch einen 30 Stempel erhöht, d.h nur Zahlen der Form 30k + 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29: 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59 //Byte Weitere Optimierungen sind ein 13# bit Wiederholungsfeld (eliminiert alle Vielfachen von 2,3,5,7,11 und 13) und zwei Funktionen um Primzahlen und Primzahlzwillinge Byte-weise zu zählen. Benchmarks: ‚Ecprime’ ist schneller als D. J Bernstein’s primegen! Getestet auf einem Pentium III 550MHZ, Sieve size 15015 bytes. [ Nachricht wurde editiert von ruach am 31.10.2006 17:46:03 ]


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  Beitrag No.25, eingetragen 2006-10-31

@ ruach: Den Fehler mit dem Komma habe ich schon letzte Woche beseitigt, aber, das System hier hat es wohl nicht aufgenommen, genauso, wie es meine Signatur auch nicht anzeigen will. Trotzdem funzt der Link (bei mir hier) nur bei manueller Eingabe der URL, aber, nach Wegklicken der Fehlermeldung stürzt hier bei mir gleich alles (also auch der Matheplanet) ab. Das ist aber nichts Neues bei dem Browser hier. Was mich irritiert, ist: Wieso sagst du: "Das ist auf jeden Fall eine gute Anwendung der Stempelzahlen", wenn dieser Begriff ("Stempelzahlen") doch deine eigene Wortkreation ist ????


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ruach
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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-01

Hallo Gerald, da ist tatsächlich ein Script oder was anderes aktiv. Der Link führt im Firefox zu der Meldung: Diese Seite ist Teil einer Hauptseite. Möchten sie diese angezeigt bekommen. Vielleicht macht das ein anderer Browser sofort ohne nachzufragen. Dann kommt man nie dorthin. Zum Wortbegriff Stempelzahlen. Ich bin selbst noch nicht ganz zufrieden damit, weil eben nicht nur gestempelt wird. Das Streichen ist ja vergleichbar mit dem Sieb des Eratosthenes und im Linkbeitrag redet der Autor von einem konstantem Sieb, den 30er Stempelzahlen. Nimm die Zahlen 331 und 541 oder 347 und 557 - alles Primzahlen. Aus der Sicht der Stempelzahlen gehören diese Paare zusammen. Sie sitzen im 210er, im 30er und im 6er Stempel an derselben Stelle (1,1,121 - 5,17,137). Von der Stempelmitte des umschließenden 210er Stempels (315, 525) sind beide 16 oder 32 entfernt. Ohne den Begriff der Stempelzahlen würde man diese Zusammengehörigkeit nicht so sehen. Sinnvoll wird der Begriff allerdings erst dann, wenn man damit irgendetwas einfacher und eleganter beweisen kann. Hast Du dazu irgendeine Idee - oder gibt es irgendwo Umformulierungen, Erweiterungen des Siebes von Eratosthenes, die die Stempelzahlen umfassen? Jetzt habe ich es sogar selbst gefunden: Im Sieb des Ulam und teils in der Ulamspirale sind wesentliche Aspekte der Stempelzahlen enthalten. de.wikipedia.org/wiki/Ulam-Spirale www.devalco.de/sieb_des_Ulam.htm Die Stempelzahlen werden hier aber als Weg, um Primzahlen zu finden benutzt. Die Frage ist, ob eigenständig von einer eigenen Zahlengruppe gesprochen werden kann? Der Sieb des Ulam scheint an anderer Stelle etwas anders formuliert. Das Strukturelement der Symmetrie, der Stempelmitte und der 2er Potenzabstände kommt so nicht vor. Viele Grüße ruach


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  Beitrag No.27, eingetragen 2006-11-03

@ ruach: Ich werde das leise Gefühl nicht los, daß wir Beide hier aneinander vorbeireden.............. AlsO: 1) Als Erstes weiß ich nicht, wie sich die von dir als solche bezeichneten "Stempelzahlen" wirklich ergeben. 2) Haben die Stempelzahlen in dem von mir angegebenen Link etwas mit deiner Definition (der Stempelzahlen) zu tun ?


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ruach
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  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-04

Hallo Gerald, meine email ist: hh(at)11h.de Können wir die Diskussion per email weiterführen. Ich denke der Thread ist schon zu lang und mit dem Ulam Sieb habe ich schon eine sehr gute Antwort. Ich such derzeit noch genauere Infos dazu, kann aber nichts finden. Lustigerweise kam Herr Professor Ulam aus Lemberg und dort war ich dieses Jahr schon zweimal. Ich möchte den Thread auch abschließen, damit der Platz oben in der Liste für andere Fragen freibleibt. Nebenbei hat jemand in Aribas ein Programm geschrieben und im Bereich von 70-100 stelligen Primzahlen bei mehreren Tests kein Gegenbeispiel für die erste Vermutung gefunden. Schreib mir aber einfach eine Mail, wenn Du weitere Erläuterungen möchtest und noch sonst Fragen hast. Viele Grüße HH


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  Beitrag No.29, eingetragen 2006-11-04

Hallo! zu deinen Vermutungen kann man ein paar kleine Heuristiken mit dem Primzahlsatz angeben... \ 1. Für jedes ungerade p>=3 betrachten wir die Menge {p+2^n \| n \el \IN}. Deine Vermutung ist nun, dass diese Menge wenigstens eine Primzahl enthält. Die Anzahl der Primzahlen in dieser Menge kann man heuristisch und näherungsweise dadurch bestimmen, in dem man die "Einzelwahrscheinlichkeiten" aufsummiert \(eine Zahl der Größenordnung n ist ja nach Primzahlsatz mit Wahrscheinlichkeit 1/ln(n)=:1/log(n) prim.) Dies macht für obige Menge also A=1/log(p+1) + 1/log(p+2) + ... > 1/log(2^1*p) + 1/log(2^2*p) + ... > 1/log(p^2) + 1/log(p^3) + ... = 1/log(p) * (1/2+1/3+...) =\infty Wenn es also keine trivialen Argumente gegen die primalität der meisten p+2^n gibt (wie bei p=1 oder p gerade), so dürften da unendlich viele, also auch mindestens eine, Primzahlen existieren... smile Viele Grüße, Cyrix


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ruach
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  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-05

Vielen Dank Cyrix! Diese Abschätzung ist klasse und überzeugend. Von anderer Seite kam inzwischen die Kritik, dass es zwar interessant ist, dass ein hoher Prozentsatz der Primzahlen durch kleine 2er Potenzen auf benachbarte Primzahlen verschoben werden kann. Als Strukturelement taugt es aber nicht, da eben doch ein paar Prozent der Primzahlen sehr hohe 2er Potenzen benötigen. Ich habe noch nicht herausgefunden, was das gemeinsame Kennzeichen dieser schwer durch 2er Potenzen verknüpfbaren Primzahlen ist. Nebenbei habe ich die mathematische Darstellung in der ersten Ergänzung nochmal verbessert. Da waren noch einige Fehler drin - es ist wirklich nicht so einfach etwas mathematisch sauber zu beschreiben! Viele Grüße ruach


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  Beitrag No.31, eingetragen 2006-11-06

@ ruach: OK, verbleiben wir so..........


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  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-04

Hallo Allerseits, ich jetzt endlich mal die Inhalte hier auf einer eigenen Webseite zusammengestellt: www.kolibriethos.de/HansPrivat/Stempelzahlen Dabei habe ich eine ganz interessante Arbeit zu Zahlenstempel gefunden: www.g-gloeggler.de/Abh-dv17-1.pdf Darin werden die Ausführungen hier deutlich vertieft. Die Darstellungen der Ulamspirale auf www.numberspiral.com/  würde ich gerne noch mit den Stempelzahlen verknüpfen. (Programm in Arbeit, wird aber noch dauern.) Die Diskussion hier hat damals viel Spaß gemacht und ich wünsche allen hier noch viele weitere Erkenntnisse und Fortschritte in der Mathematik Hans


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