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  Analytische Funktionen - komplexe Analysis |
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Hanna
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.05.2003
Mitteilungen: 104
 |  Themenstart: 2003-05-02
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Wie findet man Finden eine analytische Funktion f : D(0, 1) -> IC ,
die f(1/n) = n / (n + 1)
für alle n el IN erfüllt. Ist die Lösung eindeutig?
Warum es gibt keine analytische Funktion g : D(0, 1) -> IC,
die g(1/n) = ((-1)^n)/n für alle n el IN erfüllt.
Und wieso gibt es bereits keine reell differenzierbare Funktion (−1, 1) -> IR mit dieser Eigenschaft??
Vielen Dank für euer Bemühen,
Hanna
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
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Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-05-02
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1. Was bedeutet "analytisch"?
2. Ist D(0,1) das offene Intervall ]0; 1[
2. Bezieht sich der dritte Aufgabenteil auf den 1. oder den 2 . Aufgabenteil?
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-05-02 19:10 ]
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Hanna
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 104
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-02
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1. Was bedeutet "analytisch"?
komplex differenzierbare Fuktionen.
2. Ist D(0,1) das offene Intervall ]0; 1[
ja
3. Bezieht sich der dritte Aufgabenteil auf den 1. oder den 2 . Aufgabenteil?
auf den 2.
[Danke Rodion, hab ich auch gerade gemerkt..]
[ Nachricht wurde editiert von Hanna am 2003-05-02 21:06 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2003-05-02
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"Analytisch" bedeutet komplex-differenzierbar, also nicht einfach "ganz normal".
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Hanna
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.05.2003
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-03
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Mag mir denn gar keiner helfen?
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-05-03
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hallo hanna,
es ist spät, die Gefahr ist groß, dass ich Mist erzähle, deswegen kurz... :-)
Also, du brauchst bei allen Aussagen wohl den Identitätssatz für Potenzreihen, jedenfalls kann man damit auf alle Fälle argumentieren.
Man muss nur überlegen, weil es hier um offene (also nicht abgeschlossene Intervalle geht, d.h. der HP muss nicht zum Intervall gehören)
Die Argumentation für die zweite Teilaufgabe geht in die Richtung... alternierendes Vorzeichen, dazwischen muss eine analytische Funktion eine Nullstelle haben... und die Nullstellen "häufen sich so sehr", dass die Funktion identisch zur Funktion konstant null sein muss. Und das kann nicht sein, weil dann die vorgegebenen Funktionswerte nicht erfüllt werden.
Also Gute Nacht
und man entschuldige die laxe mathematische Formulierung...
[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-03 02:39 ]
[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-03 02:59 ]
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
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| Beitrag No.6, eingetragen 2003-05-03
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Hallo...
es war, glaub ich, wirklich schon zu spät... unter der Dusche ist mir jetzt nochmal Aufgabe durch den Kopf gegangen und mir ist eingefallen, was eigentlich D(0,1) bedeutet - die offene Umgebung um 0 mit dem Radius 1... achja... und damit hat man kein Problem mit dem Häufungspunkt 0, da dieser sicher in diesem Kreis liegt...
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Hanna
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-03
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Danke N-Man, das ist ja ein Anfang, werde mich nun hinsetzen und deine Tipps verdauen..
Ich bin dennoch nicht abgeneigt, wenn mir jemand noch etwas genauer helfen möchte..
THANK YOU ALL
Hanna
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N-man
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2003-05-04
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Was war denn an den Tipps unverdaulich, dass du das Thema noch mal aufgemacht hast?
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Hanna
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-04
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Kannst Du mir erklären (an einem Beispiel),
wie ich so eine Funktion finde?
K.A., ich dachte an die geometrische Reihe mit alternierendem VZ..
Ist aber misst, glaub ich.
Hanna
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N-man
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| Beitrag No.10, eingetragen 2003-05-04
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Deine Reihe ist schon in Ordnung. Du möchtest ja eine Darstellung der Funktion in der Art f(z)=..., es gilt also z=1/n, also n=1/z, das setzt du in die die gegebene Beziehung ein und erhältst nach ein wenig umformen:
f(z)=1/(1+z)
Und das ist eben die beschriebene alternierende Reihe.
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[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-04 18:43 ]
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N-man
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2003-05-04
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Vielleicht mal zur Eindeutigkeit bei erstens.
Die Funktion ist eindeutig.
Wir wissen über die Funktion nur etwas in den Punkten 1/n, da die Funktion analytisch sein soll, wissen wir aber auch den Funktionswert im Nullpunkt, der muss wegen der Stetigkeit einer analytischen Funktion 1 sein.
Jetzt kann man den Identitätssatz für Potenzreihen anwenden. Falls eine zweite Funktion g existieren würde, müsste sie mit f in allen Punkten 1/n und in x=0 übereinstimmen, x=0 ist HP dieser Menge (und x=0 liegt glücklicherweise nach meiner "Erkenntnis" unter der Dusche im Definitionsgebiet), damit muss g mit f übereinstimmen.
Damit ist gezeigt, dass die gesuchte Funktion eindeutig ist.
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[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-04 19:08 ]
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Hanna
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|  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-04
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Hallo N-Männchen,
ich wollte Dich mal noch was zu Deiner Aussage zur 2. Funktion fragen:
Du hast gemeint:
...die Nullstellen "häufen sich so sehr", dass die Funktion identisch zur Funktion konstant null sein muss...
Kannst Du das auch beweisen?
Ich hatte mir mittlerweile folgende Gedanken gemacht:
1. Die Funktion muss im Reellen mit Def-Bereich (-1,1) diffbar sein.
d.h. man muss in jedem Punkt den Differenzenquotienten bilden können.
Da aber für positive Werte die Funktion eben die Vorschrift ((-1)^n)/n) erfüllen muss, müssen die Funktionswerte nahe bei 0 auch dieser Vorschrift folgen.
2. Man kann leicht annehmen, dass wg. der Stetigkeit auch hier f(0)=0 sein muss.
Doch nun gilt:
lim(n ->\inf(((-1)^n/n)-0)/(1/n-0))=(-1)^n
Und dieser Grenzwert ex. nicht.
Ist diese Argumentation stichhaltig?
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N-man
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| Beitrag No.13, eingetragen 2003-05-05
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Hallo Hannalein!
Also das mit dem N-Männchen... also... uiuiui... also ich war selten so verlegen.
Zur zweiten:
Ja das kann man schon "beweisen": Der Nullpunkt ist ein Häufungspunkt der ganzen Nullstellen, denn in jeder Umgebung gibt es positive und negative ((-1)^n)/n (da 1/n eine Nullfolge ist). Damit gibt es wegen der Stetigkeit analytischer Funktionen in jeder Umgebung um den Nullpunkt Nullstellen, also ist der Nullpunkt "Nullstellenhäufungspunkt". Daraus folgt dann, dass die Funktion identisch zur Funktion konstant null sein muss. Das kann aber nun nicht sein, da dann unmöglich die vorgegebenen Funktionswerte angenommen werden.
Gute Nacht
wünscht
das N-Männchen
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[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-05 02:17 ]
[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-05 09:58 ]
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Hanna
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-05
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1. Dein Beweis, (so könnte man doch sagen) zielt doch aber nur darauf, dass f(0)=0, und das darf ja auch gelten.
(Oder hab ich das falsch verstanden?)
2. Wie findest du meinen Ansatz?
Schöne Grüsse
Hanna
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N-man
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| Beitrag No.15, eingetragen 2003-05-05
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Hallo.
Es geht darum, dass zwei Potenzreihen identisch sind, wenn sie in einer Teilmenge des Definitionsgebietes übereinstimmen und wenn diese Teilmenge einen Häufungspunkt im Definitionsgebiet hat, in dem sie auch übereinstimmen. (Ich glaube, so blöd wurde der Satz noch nie formuliert)
Ziel bei 2. ist es zu zeigen, dass die Funktion identisch zur Nullfunktion sein muss.
Dafür muss nachgewiesen werden, dass es eine solche Menge gibt, in der sie übereinstimmen (Menge der Nullstellen), dass diese Menge einen Häufungspunkt hat (x=0) und das die Funktionen auch dort übereinstimmen. Das folgt aber aus der Stetigkeit.
f(0)=lim(n->\inf,(-1)^n/n)=0
Damit sind alle Voraussetzungen erfüllt, die Funktion muss also identisch zur Nullfunktion sein, aber das ist ein Widerspruch.
Auf die Frage, wie ich deinen Ansatz finde... finde ihn ganz hübsch... :-)
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Hanna
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|  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-05
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Aber weshalb muss die Funktion denn "rechts" vom Nullpunkt die konstante Nullfunktion sein?
Deine Annahme bezieht sich doch nur auch den Grenzwert, den HP, der außerhalb liegen muss (soll).
Du zeigst meiner Meinung nach nur, dass f(0) = 0, aber das gilt doch nur in 0, nicht für alle x.
Sehe nur ich das so, oder versteht noch jemand, was daran irgendwie komisch is?
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N-man
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| Beitrag No.17, eingetragen 2003-05-05
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@hanna:
Habt ihr in der Funktionentheorie oder der Analysis den Identitätssatz für Potenzreihen behandelt und bewiesen?
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Hanna
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-06
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Wir hatten Ihn nur groß skizziert.. war nur leider das letzte mal nicht da.. hab deshalb nur die Aufzeichnungen.
Hanna
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N-man
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| Beitrag No.19, eingetragen 2003-05-06
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Hallo Hanna,
Hier auf Seite 70 ganz unten ist der Identitätssatz besser formuliert als ich es jemals könnte.
Unser endgültiges Ziel ist es die zweite Aussage in deiner Aufgabenstellung zum Widerspruch zu führen. Dafür wollen wir zeigen, dass wenn die Funktion f die vorgegebene alternierende Eigenschaft hat, sie konstant zur Nullfunktion sein müsste, aber das geht nicht, da sie dann gar nicht mehr die alternierende Eigenschaft hat.
Der zentrale Punkt in dem Beweis ist der Identitätssatz, der uns besagt, dass f identisch zu g(z)=0 (für alle z aus G) sein muss. Vielleicht hilft dir ja die Formulierung im Link weiter.
Edit:
Also ii) des Link-Satzes ist unwichtig. Wir brauchen die Äquivalenz von i) und iii).
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[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-06 11:18 ]
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Hanna
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-08
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Mal eine grundsätzliche Frage:
D(0,1) ist doch kein Gebiet.
Deshalb greift der Identitätssatz doch nicht!
(oder hab ich das schon wieder falsch begriffen??
Hanna
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N-man
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Wohnort: Zürich
| Beitrag No.21, eingetragen 2003-05-08
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Hallo Hanna.
Das ist ja die "Erkenntnis", die ich unter der Dusche hatte... also eher mehr eine wiederkehrende Erinnerung... :-)
D(a,R) bezeichnet die offene Umgebung um eine komplexe Zahl a mit dem Radius R, also ist das ein schöner Kreis und damit auch ein Gebiet.
Speziell ist:
D(0,1)=menge(z\el\IZ | abs(z) < 1)
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[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-08 16:45 ]
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