| Autor |
  Optimierungsaufgabe |
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Daniel0111
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2003
Mitteilungen: 77
Wohnort: Schulzendorf, Brandenburg
 |  Themenstart: 2003-05-07
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Hier ist eine Optimierungsaufgabe, das Thema ist eigentlich ganz leicht, ich habe nur das Problem, daß die Nebenbedingungen, nicht linear sind:
z(x1,x2) = x1+x2 => Maximal
x1 * x2 - 2x2 <= 3
3x1 + 2x2 <= 24
Vielleicht kann mir jemand sagen wie ich das machen kann.
Danke, Daniel
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Rodion
Senior 
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-05-07
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Gleich drei mal!
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-05-07 18:32 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.2, eingetragen 2003-05-07
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[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-05-07 18:33 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-05-07
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Mit welchen Methoden sollt ihr das Problem denn lösen?
Und sollten x1, x2 evtl. größer 0 sein? Sonst ist das Problem nämlich unbeschränkt.
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Daniel0111
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.04.2003
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-07
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Hi,
ja x1 und x2 sollen größer als 0 sein. Mit welcher Methode wir das lösen sollen hat er nicht gesagt., aber wir hatten in der Vorlesung nur den Simplex-Algorithmus. Der wird mir hier aber kaum helfen, da ich ja nen Faktor mit x1 und x2 habe, also weiß ich nicht wie.
Gruß
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-05-07
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Daniel! Sieht dein Problem im fed vielleicht so aus:
z(x_1,x_2)=x_1+x_2 soll maximal werden
x_1,x_2>=0
x_1*x_2-2x_2<=3 <=>x_2*(x_1-2)<=3
also x_1>=2, weil x_2>=0
3x_1+2x_2<=24
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Daniel0111
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-07
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Hi,
ja genau das ist meine Aufgabe, mit deiner kleinen Umschreibung hilfst mir glaub ich schon ungemein. Denn jetzt müßte man ja den Simplex Alg. anwenden können. Hoff ich zumindest.
Also danke erstmal!
Gruß Daniel
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
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| Beitrag No.7, eingetragen 2003-05-07
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Schubi: Warum muß x1 ³ 2 sein?
Die Ungleichung besagt doch nur:
x_2*(x_1 - 2) <= 3
\stopalign<=>x_1 - 2 <= 3/x_2
Das ist aber auch erfüllt, wenn x1 £ 2 ist.
Der Simplexalgortihmus ist hier übrigens nicht anwendbar, weil der nur für lineare Optimierungsprobleme funktioniert.
Hier könnte man z.B. eine graphische Lösung verwenden, Lösungen liegen immer auf den Ecken des zulässigen Bereichs.
Als Lösung würde ich übrigens
matrix(x_1; x_2) = matrix(0; 12)
vorschlagen, Summe wird 12.
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-05-07 20:17 ]
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Daniel0111
Ehemals Aktiv
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Wohnort: Schulzendorf, Brandenburg
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-07
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Hi Rodion,
Das ist mir auch aufgefallen, daß die Aussage von Schubi nicht so ganz funktioniert. Graphisch hab ich das Ding auch schon gelöst, aber mein Prof. will auch eine analytische Lösung und da weiß ich keinerlei Möglichkeit. Vielleicht fällt euch ja noch was ein.
Gruß
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Rodion
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Dabei seit: 29.10.2002
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| Beitrag No.9, eingetragen 2003-05-07
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Was hat denn dein Professor genau gesagt, wie die Lösung aussehen soll? Oben meintest du noch, er hätte nichts dazu gesagt, dann wäre eine graphische Lösung absolut zulässig, schließlich kann man beweisen, das Lösungen immer auch auf Ecken liegen, also nicht vergleichbar mit einer Versuch-und-Irrtum-Methode.
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
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Wohnort: NRW
|  Beitrag No.10, eingetragen 2003-05-07
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@Rodion:
War ein Denkfehler von mir. Ich dachte irgendwie, daß das X_1*x_2>=0.
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Daniel0111
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-07
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Wir kriegen unsere Aufgaben immer in schriftlicher Form am Ende der Vorlesung und da steht nun genau geschrieben:
" Lösen sie grafisch und analytisch da folgende Problem: ..."
Was soll man dazu noch sagen...Er hat uns nur den Hinweis gegeben, da wir das durch "einen gesunden Menschenverstand" schon hinkriegen. Also tut mir leid, aber in der Hinsicht fehlt der mir, weil er uns ja auch kein Verfahren beigebracht hat, um dies Problem analytisch zu lösen.
Ich will damit sagen, daß es nur grafisch gelöst nicht ausreicht. Zumindest dem Prof. nicht.
Gruß
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
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| Beitrag No.12, eingetragen 2003-05-07
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Man könnte vielleicht argumentativ vorgehen:
Es soll ja x1 + x2 maximiert werden, d.h. beide Zahlen sollen möglichst groß sein. Was ist nun besser, x1 möglichst groß zu wählen, oder x2 möglichst groß zu wählen?
Die 2. Ungleichung sagt:
3*x_1 + 2*x_2 <= 24
Wenn ich also x1 groß wähle, komme ich wegen des Faktors 3 (gegenüber dem Faktor 2) schon mit kleineren Zahlen an meine Schranke.
Die 1. Ungleichung sagt:
x_1*x_2 - 2*x_2 <= 3
Von oben weiß ich schon, daß x1 klein sein sollte. Setze ich nun x1 = 0, so ergibt sich sofort, daß diese Ungleichung für alle x2 ³ 0 erfüllt bleibt, da das Ergebnis ja negativ wird.
Damit ist x1 = 0 und somit x2 = 12 die optimale Wahl.
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Daniel0111
Ehemals Aktiv
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Wohnort: Schulzendorf, Brandenburg
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-07
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Also mich hast du damit überzeugt. Klingt zumindest total logisch. Ich weiß zwar nicht, ob ihm das ausreicht, aber wenn es keine mathematische Lösungsmethode gibt, muß das wohl dann ausreichen. Also nochmal vielen herzlichen Dank für deine Bemühungen. Ich hoffe das reicht aus.
Liebe Grüße
Daniel
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