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| Autor |
 Vektorräume |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2002-05-01
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Frage:
Ist diese Menge ein Vekorraum?
W={(x1,x2,x3,...)\xk Element von R, x(k+2)=x(k+1)+xk, für alle k Element von N)
versehen mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser skalaren Multiplikation.
(1,2,3,k,k+2,k+1 sind Index von x!!!!
wusste nicht, wie ich den Index hier
tiefersetzen kann)
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Plex_Inphinity
Senior 
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-01
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Hallo,
ja ist einer.
Dazu muß man nur zeigen, dass W bezüglich komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist.
Also dass gilt :
i.) x,y Î W => x+y Î W
und
ii.) x Î W => ax Î W , " a Î R
zu i)
Seien also x = (x_1, x_2 , ...), y = (y_1,y_2,...) Î W
=>
Sei z := (z_1,z_2,...) = (x_1+y_1,x_2+y_2,...) = x+y
=>
z_(k+2) = x_(k+2)+y_(k+2)
= x_(k+1)+x_k + y_(k+1)+y_k
= x_k+y_k + x_(k+1)+y_(k+1)
= z_k + z_(k+1)
=> z Î W
und bei ii) entsprechend.
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 Profil
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
 | Beitrag No.2, eingetragen 2002-05-01
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Hallo, Unbekannter!
Diese Frage ist vor wenigen Tagen schon mal in einem Beitrag aufgetaucht. Den kann ich jetzt leider nicht finden. Deshalb hier nochmal:
Ja, diese Menge mit den beschriebenen Verknuepfungen bildet einen Vektorraum.
Beweis:
Es seien a, b Î W und l Î IR.
Da die Menge aller Folgen in IR mit den beschriebenen Verknuepfungen bekanntlich einen Vektorraum bildet, muessen wir nur Untervektorraum-Kriterien nachweisen.
Es genuegt also zu zeigen:
(i) a+b Î W, und
(ii) la Î W.
Zu (i): Es sei k Î IN gegeben. Dann gilt:
(a+b)k+2 =
ak+2 + bk+2 =
ak+1 + ak + bk+1 + bk =
ak+1 + bk+1 + ak + bk =
(a+b)k+1 + (a+b)k.
Also gilt a+b Î W.
Zu (ii):
(la)k+2 =
l · ak+2 =
l · (ak+1 + ak) =
l · ak+1 + l · ak =
(la)k+1 + (la)k.
Also gilt (la) Î W.
Insgesamt ist W also ein Untervektorraum des Vektorraumes der Folgen in IR.
Gruss, E.
"text-decoration : overline";>Ueberstreichen.
Bei Schwierigkeiten mit NN bitte melden.
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-05-01 17:34 ]
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-05-01
|
Oh, nun hat Plex auch schon geantwortet.
Naja, doppelt haelt immer besser. 
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-05-01 19:43 ]
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