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| Autor |
  Cauchy Integralformel für gebrochenrationalen Integranden |
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smoker
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.06.2002
Mitteilungen: 84
 |  Themenstart: 2003-05-16
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Moin Leute,
schlage mich grad mit Integralen herum. Komme bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig.
int((2z^2-15z+30)/(z^3-10z^2+32z-32),z,abs(z)=3)
z\el\IC
Habs schon mit Partialbruchzerlegung versucht, bekomm aber nichts hin...
MfG, smoker.
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pendragon302
Senior 
Dabei seit: 29.06.2002
Mitteilungen: 2003
Wohnort: Garbsen/Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-05-16
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Hi!
Wo kommst du denn bei der PBZ nicht weiter?
Was hast du für einen Ansatz gewählt?
Das Nennerpolynom hat die Nullstellen n1,2=4 und n3=2
Somit muss gelten
(2z^2-15z+30)/(z^3-10z^2+32z-32)=A/(z-4)+B/(z-4)^2+C/(z-2)
Jetzt muss du nur noch umformen und A,B,C bestimmen.
zur Kontrolle: Ich hab A=0, B=1 und C=2 als Ergebnis
Jetzt brauchst du nur noch
int(1/(z-4)^2+2/(z-2),z)
berechnen.
Soweit klar?
Bei Fragen meld dich nochmal!
Gruß
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-05-18
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@penny: das geht so leider nicht... die komplexen Zahlen.
@smoker:
Ich vertrau mal auf Pennys Nullstellen. Dann ist die Stelle z=2 die gefährliche Stelle, da die innerhalb der Kurve liegt.
Gelöst wird dieses Integral mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes, wenn ich mich richtig erinner (hab meine Funktionentheorieaufzeichnungen verliehen...) sagt der.
Für eine analytische Funktion f und eine "schöne" geschlossene Kurve im Definitionsgebiet von f, gilt:
f(a)=1/(2|\pi|i)*int(f(z)/(z-a),z)
Dabei ist dies das entsprechende Kurvenintegral.
Du spaltest jetzt deinen Integranden in einen innerhalb des Kreisgebietes analytischen Teil und in den Anteil 1/(z-2) und wendest die Formel an.
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[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-05-18 03:42 ]
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-05-18
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Da Penny schon eine PBZ gemacht hat, geht es sogar besonders schnell. Der Bruch mit (z-4) im Nenner verschwindet, da der Teil analytisch innerhalb des Kreisgebietes ist.
Übrig bleibt der Bruch
2/(z-2)
wenn man darauf Cauchy anwendet, d.h. f als die Funktion konstant 2 wählt, sieht man das Ergebnis fast sofort.
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smoker
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 18.06.2002
Mitteilungen: 84
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-18
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Hi,
die PBZ bekomm ich noch hin, alles danach überfordert mich etwas. kannst du das auch für einen mittelmäßigen Physikstudenten erklären?
MfG, smoker.
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N-man
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| Beitrag No.5, eingetragen 2003-05-18
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hallo smoker.
Sagt dir denn die Cauchysche Integralformel etwas?
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smoker
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-18
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Haben wir in der letzten Vorlesung gehabt, jedoch nicht wirklich verständlich.
Wir haben ein G (Gebiet im Komplexen C) einfach zusammenhängend (ohne Löcher). Dann wird ein Weg [a,b] -> G definiert (geschlossen). Dann gibt es ein H: [0,1]x[a,b] -> G
stetig mit H(0, )=gamma auf [a,b], H(1, )={Pkt.}. Und sei f: G -> C holomorph. Dann gilt:
int(f(z),z,\g)=0
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N-man
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| Beitrag No.7, eingetragen 2003-05-18
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Was du aufgeschrieben hast, ist eher unter Cauchyscher Integralformel bekannt?
So wie ihr es aufgeschrieben habt, ist es wirklich kaum verständlich. :-) Das schöne ist, hat man ein Gebiet, wo eine Funktion f analytisch ist. Und eine geschlossene Kurve in diesem Gebiet. Dann ist das Integral der Funktion f über dieser Kurve gleich 0.
Die Eigenschaft ist sehr schön, weil die Kurve verlaufen kann wie sie will und das Integral ist immer 0.
Leider greift der Satz hier nicht, denn die Kurve umkreist einen Bereich, wo die Funktion eine Nicht-Analytischkeits-Stelle bei z=2 hat.
Man kann also jetzt nicht mehr sicher sein, ob das Integral verschwindet. Es kann sein, ist aber in der Regel nicht so. In dem Fall ist es auch nicht so.
Besonders gut hilft jetzt das, was ich mit Cauchyscher Integralformel gemeint habe. Allgemein besagt die, dass in einem Gebiet eine Funktion f analytisch ist und eine geschlossene Kurve in diesem Gebiet, dann gilt für folgendes Integral entlang der Kurve:
f(a)=1/(2|\pi|i)*int(f(z)/(z-a),z)
Es gibt auch eine allgemeinere Formel, aber die wage ich jetzt nicht aus dem Kopf aufzuschreiben.
Hattet ihr die Formel schon? Wenn ja, geht es sehr einfach. Fals nicht, wird es eher abartig.
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smoker
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-05-18
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Hab sie grad gefunden. Unsere Vorlesung ist leider etwas durcheinander. Was gwnau fang ich denn jetzt damit an?
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N-man
Senior
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Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
| Beitrag No.9, eingetragen 2003-05-18
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*SchweißvonderStirnwisch*
Das macht alles sehr viel einfacher! :-)
Wir wollen so ein abartiges gebrochenrationales Integral berechnen. Wir wissen, dass es höchstwahrscheinlich nicht 0 ist und wir kennen die Cauchysche Integralformel, die helfen könnte ein Integral zu berechnen, denn immerhin steht dort ein Integral.
Allerdings hat die C.I.-Formel eine starke Voraussetzung, die Funktion f muss innerhalb der Kurve analytisch sein. Die Funktion in deinem Integral ist aber nicht analytisch, Probleme macht die Stelle z=2, da diese innerhalb des Kreises liegt. Es gilt aber doch:
(2z^2-15z+30)/(z^3-10z^2+32z-32)=1/(z-2)*(2z^2-15z+30)/(z^2-8z+16)
der zweite Produkt ist innerhalb des Kreises analytisch, denn der Nenner wird nur für z=4 Null. Wir wählen also:
f(z):=(2z^2-15z+30)/(z^2-8z+16)
Und jetzt die Cauchysche Integralformel anwenden:
int((2z^2-15z+30)/(z^3-10z^2+32z-32),z)=int(f(z)/(z-2),z)=2|\pi|i|f(2)=4\pi|i
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