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 Lösung einer homogenen DGL n-ter Ordnung |
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Sirod
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.09.2004
Mitteilungen: 271
Wohnort: Hamm
 |  Themenstart: 2007-03-06
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Hallo!
Ich habe Probleme beim Beweis der Lösung der homogenen DGL n-ter Ordnung.
u^(n) + a_(n-1)*u^((n-1)) + ... + a_0*u = 0
\big\ Definition des Differentialoperators D:
D*u := u'
\big\ Ersetzung der Variablen durch D:
p(\lambda) = \lambda^n + a_(n-1)*\lambda^(n-1) + ... + a_0
=> p(D)u = (D^(n) + a_(n-1)*D^((n-1)) + ... + a_0*D^(0))*u = 0
p(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^v_1 * ... * (\lambda - \lambda_m)^v_m
v_i ist Vielfachheit der Nullstellen, v_1+...+v_n = n
\big\ Partialbruchzerlegung des reziproken Polynoms:
1/p(\lambda) = (q_1(\lambda))/((\lambda-\lambda_1)) +...+ (q_m(\lambda))/((\lambda-\lambda_m)) , deg(q_k) = v_k - 1
Umstellen:
1 = sum(q_k(\lambda)*p_k(\lambda),k=1,m)
p_k(\lambda) = produkt((\lambda-\lambda_j)^v_j,j=1,m)
Wieso wird hier eine Partialbruchzerlegung gemacht?
Jetzt steht hier:
Für ein Gebiet G gilt:
u = q_1(D)*p_1(D)*u + ... + q_m(D)*p_m(D)*u, \forall\ u \el\ C^\inf(G)
also: u = u_1 + ... + u_m mit u_k = q_k(D)*p_k(D)*u
\big\ Wenn u die homogene DGL löst, dann löst u_k die spezielle DGL:
ist mit spezielle Lösung die partikuläre Lösung gemeint?
(D - \lambda_k)^v_k * u_k = 0
\big\ Beweis:
u_k einsetzen:
(D - \lambda_k)^v_k * u_k = (D - \lambda_k)^v_k * q_k(D)*p_k(D)*u
= q_k(D) * (D - \lambda_k)^v_k * p_k(D)*u
= q_k(D) * p(D)*u = 0
Den Sprung von der 2. auf die 3. Zeile im Beweis verstehe ich nicht, dann müsste ja (D - \lambda_k)^v_k*u_k = p(D)*u gelten ???
\big\ Danke!
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n00b2key
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.12.2002
Mitteilungen: 246
Wohnort: Bielefeld
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-03-21
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Hi
Partialbruchzerlegung wird gemacht um zu zeigen, dass die Lösung aus m Teillösungen besteht.
Hier sind wir erst bei der homogenen DGL...Die partikuläre Lösung kommt erst dran, wenn auch störfunktion mit dabei sind. => spezielle Lösung != partikuläre Lösung
Sprung von 2 auf 3:
(D - \lambda_k)^v_k*p_k = p(D)
Das gilt: p_k besteht aus dem charakteristischen polynom ausser der k-ten NS (kürzt sich weg, wegen der partialbruchzerlegung). In deiner Formel für Pk müsste unter dem Produktzeichen noch j!=k stehen
MfG
n00b2key
[ Nachricht wurde editiert von n00b2key am 21.03.2007 00:57:28 ]
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Sirod
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.09.2004
Mitteilungen: 271
Wohnort: Hamm
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-03-21
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Hi! Danke, war schon geklärt, hab vergessen abzuhaken.
Hatte heute Prüfung 
Bis dann, viele Grüße!
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n00b2key
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.12.2002
Mitteilungen: 246
Wohnort: Bielefeld
| Beitrag No.3, eingetragen 2007-03-21
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Hi,
hoffe es ist gut gelaufen. was hat der den gefragt? *gg* und welche aufgabe hat er gestellt?
mfg n00b2key
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Sirod hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sirod hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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