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 Vektorräume und lineare Hüllen |
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daria
Junior 
Dabei seit: 01.12.2001
Mitteilungen: 16
Wohnort: hamburg
 |  Themenstart: 2002-05-08
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guten abend alle zusammen!
finde leider für die folgende aufg. keine lösung-obwohls vermutlich einfach geht.
Bew. od. wiederlegen sie: für reelle vektorräume (V,+,.) und u,v,w e V (mit L = lineare Hülle)gilt:
a) L(u,v) = L(w) => es gibt a,ß e IR : w = au + ßv
b) L(u,v) = L(w) <= es gibt a,ß e IR:w = au + ßv
c)(sei o = Nullvektor und n= vereinigt)
L(u,v)n L(w) ={o} => es gibt a,ß e IR: w = au + ßv
d) (sei o = Nullvektor und n = vereinigt)
L(u,v) n L(w) ={o} <= es gibt a,ß e IR:w = au + ßv
liebe grüße d.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-08
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hallo daria
im prinzip ist das ganz einfach. die lineare hülle einer menge von vektoren ist einfach nur der raum, den man mithilfe dieser vektoren aufspannt. oder anders: mithilfe der vektoren und den unterschiedlichen linearkombinationen der vektoren, also z.B. 2*v + 3*u, kann man jeden punkt dieses raumes, der linearen hülle darstellen.
wenn also L(u,v) = L(w) heißt das eigentlich nur, dass ich genau jeden punkt, den ich mit w erreichen/darstellen kann, auch mithilfe einer linearkombination von u und v darstellen kann - und zwar als av + bu, wobei man diese zwei keoffizienten auf jeden fall findet wegen der vorraussetzung. der rückweg ist analog
und bei c und d glaub ich hast du dich verschrieben. den wen L(v,u) È L(w) = {0} heißt das eigentlich, dass u,v und w linear unabhängig sind und dass heißt soviel wie, dass ich w auf gar keinen fall als linearkomination von u und v schreiben kann.
naja. ich hoffe, es hat dir geholfen.
cu
monsi
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.2, eingetragen 2002-05-08
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hallo nochmal
sorry, hab mich natürlich vertan.
wenn L(u,v) È L(w) ={0} heißt das natürlich, dass u=v=w=0 (Nullvektor) sind und dann finde ich natürlich unendlich viele a und b, mit denen ich w als linearkombination von v und u schreiben kann.
also nochmal sorry
cu
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
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Wohnort: Kiel, Ostsee
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2002-05-08
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Oha, monsi!
Beim Rueckweg solltest Du aber nochmal genau nachdenken...
Gruss, E.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.4, eingetragen 2002-05-08
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oha
du meinst den rückweg von d
denn der ist wohl i.A. falsch.
aber er würde wohl gelten, wenn man es für alle a und b definieren würde. oder?
hab ich gar nicht mehr drüber nachgedacht.
danke auch
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
|  Beitrag No.5, eingetragen 2002-05-08
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Nein, ich meine b). Das ist naemlich i.a. ebenfalls falsch. Da hast Du wohl auch nicht so richtig drueber nachgedacht. 
Gruss, E.
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Plex_Inphinity
Senior
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
 | Beitrag No.6, eingetragen 2002-05-08
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Guten Abend,
a) stimmt.
Beweis:
Lin(u,v) = Lin(w) => " x Î Lin(w) : x Î Lin(u,v) =>
" x ÎLin(w) $ a , b Î IR : x = au+bv =>, da w = 1*w Î Lin(w) , Behauptung
b) stimmt nicht,
Gegenbeispiel:
Sei w= 0*u+0*v = 0
und u ¹ 0
=> Lin(w) = {0} ¹ Lin(u,v) , da 0 ¹ u = 1*u+0*v Î Lin(u,v)
c) und d) kann ich gerade nicht
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Ende
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Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
| Beitrag No.7, eingetragen 2002-05-08
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Hallo, daria!
Plex' Gegenbeispiel fuer b) ist schon sehr gut, weil es wirklich sher einfach ist. Ich kann Dir aber auch noch ein nichttriviales anbieten. Das zeigt, dass b) nicht nur fuer den Nullvektor, sondern auch in ganz 'normalen' Faellen falsch ist.
Betrachte den IR-Vektorraum V := IR2.
Setze u := (0, 1), v := (1, 0), w := (1, 1).
Dann ist w = 1u + 1v.
Weiter ist L(u, v) = V und L(w) = {(r, r): r Î IR} Ì IR2.
Fuer c) betrachte nun den IR-Vektorraum V := IR3.
Setze u := (0, 0, 1), v := (0, 1, 0), w := (1, 0, 0).
Dann ist L(u, v) = {(0, r, s): r, s Î IR} und L(w) = {(r, 0, 0): r Î IR}.
Offensichtlich(?) ist L(u, v) Ç L(w) = {0}, aber es gibt offensichtlich(?) keine a, b Î IR mit w = au + bv.
Zu d):
Betrachte V := IR. Setze u := 1, v := 1, w := 1. Dann ist w = 0u + 1v.
Und es ist L(u, v) = IR und L(w) = IR, also L(u, v)ÇL(w) = IR.
Bei Fragen melden.
Gruss, E.
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Ende
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Dabei seit: 15.03.2002
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|  Beitrag No.8, eingetragen 2002-05-12
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Hallo, Daria!
Hier also nochmal ein paar Erlaeuterungen:
b) Betrachte den IR-Vektorraum V := IR^2.
Setze u := (0, 1), v := (1, 0), w := (1, 1).
Dann ist w = 1u + 1v.
Weiter ist L(u, v) = V und L(w) = {(r, r): r aus IR} ungleich IR^2.
Hier hattest Du nun Fragen:
Zu L(u, v) = V:
Die Behauptung heisst, dass man jeden Vektor aus V als Linearkombination von u und v darstellen kann. Die Vektoren aus IR^2 haben die Gestalt (x, y) wobei x und y reelle Zahlen sind.
Es sei also (x, y) ein beliebiger Vektor aus V = IR^2.
Dann gilt:
yu + xv = y(0, 1) + x(1, 0) = (0, y) + (x, 0) = (x, y).
Also ist (x, y) als Linearkombination von u und v darstellbar.
Anderseits ist auch jede Linearkombination von u und v ein Vektor aus V. Also gilt die behauptete Gleichheit.
Zu L(w) = {(r, r): r aus IR}:
Das bedeutet, dass der Vektorraum aller Linearkombinationen von w gleich dem Vektorraum aller Vektoren der Gestalt (r, r) fuer eine reelle Zahl r ist.
Das ist aber ziemlich offensichtlich. Es gilt die folgende Aequivalenzenkette:
u aus L(w) (aequivalent)
Es existiert ein r aus IR mit u = r * w. (aequivalent)
Es existiert ein r aus IR mit u = r * (1, 1). (aequivalent)
Es existiert ein r aus IR mit u = (r, r). (aequivalent)
u aus {(r, r): r aus IR}.
Also gilt die behauptete Gleichheit.
Zu {(r, r): r aus IR} ungleich IR^2:
Es ist zum Beispiel (1, 0) nicht Element der linken Menge, weil 1 ungleich 0 ist.
c) betrachte nun den IR-Vektorraum V := IR3.
Setze u := (0, 0, 1), v := (0, 1, 0), w := (1, 0, 0).
Dann ist L(u, v) = W := {(0, r, s): r, s aus IR} und
L(w) = U := {(r, 0, 0):r aus IR}.
Das heisst, dass jede Linearkombination von u und v die Gestalt (0, r, s) hat, und dass man jeden Vektor dieser Gestalt auch als Linearkombination von u und v darstellen kann. Entsprechend bei L(w). Wenn Du das nicht siehst, dann kannst Du Dir das genauso wie oben unter "Zu L(w) = {(r, r): r aus IR}" klarmachen. Ich habe die die Gleichheit von zwei Mengen gezeigt, indem ich zwei Inklusionen gezeigt habe. Das kriegst Du bestimmt hin.
Offensichtlich(?) ist L(u, v) n L(w) = {0}, aber es gibt offensichtlich(?) keine a, b aus IR mit w = au + bv.
Das Ç, das Du ja anscheinend gesehen hast, ist im Internet Explorer das Zeichen fuer 'geschnitten', das Du durch das n improvisiert hast. Ich werde das in diesem Beitrag auch so halten. Ausserdem werde ich A c B schreiben fuer "A Teilmenge B", woebi auch A gleich B zugelassen ist.
Zu "Offensichtlich(?) ist L(u, v) n L(w) = {0}":
Die Inklusion {0} c L(u, v) n L(w) ist trivial, weil der Nullvektor in jeder linearen Huelle enthalten ist.
Nun zu L(u, v) n L(w) c {0}. Es sei x = (x1, x2, x3) aus L(u, v) n L(w). Dann gibt es wegen x aus L(u, v) r, s aus IR mit x = ru + sv = r(0, 0, 1) + s(0, 1, 0) = (0, 0, r) + (0, s, 0) = (0, s, r).
Und wegen x aus L(w) gibt es t aus IR mit x = tw = t(1, 0, 0) = (t, 0, 0).
Also gilt: (0, s, r) = (t, 0, 0). Daraus folgt direkt t = s = r = 0.
Also ist x = (0, 0, 0).
Damit ist auch diese Inklusion gezeigt.
Wir haben also u, v, w gefunden, mit L(u, v) n L(w) = {o}. Nun zeigen wir noch, dass es keine a, b aus IR gibt mit w = au + bv.
Das zeigen wir durch Widerspruch:
Annahme: Es seien a, b aus IR mit w = au + bv.
Dann gilt (1, 0, 0) = (0, 0, a) + (0, b, 0) = (0, b, a). Das ist aber ein Widerspruch, weil 0 ungleich 1 ist (in der ersten Komponente).
Damit haben wir ein Gegenbeispiel fuer die Aussage in c) konstruiert.
d): Betrachte V := IR. Setze u := 1, v := 1, w := 1.
Dann ist w = 0u + 1v.
oder w = 1u + 0v richtig?
Ja, genau richtig!
Und es ist L(u, v) = IR und L(w) = IR,
ich kann also jeweils IR mit der Lin.Hülle darstelln.
Wieder richtig! Super!
also L(u, v) n L(w) = IR.
Klar, weil L(u, v) n L(w) = IR n IR = IR.
Wir haben also ein Gegenbeispiel fuer die Behauptung in d) gefunden. Wir haben u, v und w gefunden mit w = au + bv fuer a, b aus IR. Und fuer diese u, v, w gilt aber nicht L(u, v) n L(w) = {o}. Damit ist nachgewiesen, dass die Behauptung d) falsch ist.
Wenn noch Fragen sind, dann musst Du Dich melden. Wenn Du Dich noch heute meldest, dann antworte ich noch bis morgen.
Gruss, E.
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