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 Quader in Pyramide einbeschrieben |
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Methos
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 |  Themenstart: 2007-05-10
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In eine quadratische Pyramide mit Grundkante a = 5 und Höhe h = 7 wird ein Quader mit ebenfalls quadratischer Grundfläche einbeschrieben, dessen Volumen ein Drittel des Volumens der Pyramide ist. Dieser steht auf dem Pyramidenboden.
Welche Grundkante und welche Höhe hat der Quader?
Hi, habe dieses Problem, komme einfach nicht weiter, denke dass es eine Extremwertaufgabe ist, bin aber nicht so ganz sicher.
Hoffe jemand hier kann mir helfen.
Danke im Voraus
Gruß
Methos
[ Nachricht wurde editiert von Methos am 10.05.2007 13:48:25 ]
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Redfrettchen
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-05-10
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Hallo,
wegen der schönen Symmetrie lässt sich das ganze auf eine eindimensionale Betrachtung vereinfachen, nämlich auf die Betrachtung der Schnittfläche durch den Mittelpunkt der Grundfläche und senkrecht auf zwei Grundseiten der Pyramide. Bequemlicherweise legt man sich den Mittelpunkt der Grundfläche in den Ursprung. Fertige dir ersteinmal eine Skizze davon an.
Durch welche Funktionen lassen sich die äußeren Begrenzungen der Pyramide beschreiben? Wie sind die Größen des Quaders in diesem Modell vertreten und welchen Bedingungen genügen sie?
Gruß
Redfrettchen
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Methos
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-10
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Also die Gerade, die die Seite der Pyramide beschreibt, wäre dann f(x) = 7/5 x + 7 richtig? Der Querschnitt des Quaders besteht dann aus einer horizontalen und einer vertikalen Linie. Gilt dann auch dass der Flächeninhalt des Quaders ein Drittel des Flächeninhalts der Pyramide ist???
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Redfrettchen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2007-05-10
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Deine Funktionsgleichung stimmt fast: Bedenke, dass a=5 die Länge der ganzen Seite der Grundfläche ist und das deine Funktion momentan die Nullstelle 5 hat (ich vermute mal, dass du beim Faktor vor dem x ein Minus vergessen hast).
Das Volumen der Pyramide kann man ja ausrechnen:
V_P = 1/3 * a_P ^2 * h_P
Das des Quaders hat auch eine Formel
V_Q = a_Q ^2 * b_Q (a_Q ist die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und b_Q ist die Höhe).
Aus der Forderung:
V_Q = 1/3 * V_P
folgt
a_Q ^2 * b_Q = 1/9 * a_P ^2 * h_P
Wie lassen sich nun a_Q und b_Q durch Betrachtungen an der Funktion f ausdrücken?
[ Nachricht wurde editiert von Redfrettchen am 10.05.2007 14:48:48 ]
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Methos
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-10
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Okay, also die Funtkion müsste richtig : f(x) = -14/5 x + 7 heißen, richtig???
Es gilt, dass die Gerade mit g(x) = 2 b_q/a_q f schneidet oder? und b_q kann ich durch a_q ausdrücken, dann noch die beiden ausrechnen und fertig????
Wenn ja, dann Danke für eure Hilfe.
Gruß
Methos
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Redfrettchen
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| Beitrag No.5, eingetragen 2007-05-10
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f ist jetzt richtig :)
Deinen Ansatz mit einer Geraden g versteh ich nicht ganz, was soll g darstellen?
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viertel
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2007-05-10
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Hi Methos,
wie wär es mal mit einer ordentlichen Zeichnung (ganz einfach mit DynaGeo-Euklid)?
Aus x ergibt sich ja y, da P nur auf der seitlichen Mittellinie laufen kann (das f(x) von Dir ist richtig).
Und mit x und y kannst Du das Quadervolumen ausrechnen, das ja 1/3 des Pyramidenvolumens sein soll. Damit hast Du nur noch eine Unbekannte x (bedenke, y hängt von x ab). Eine Extremwertaufgabe ist es also nicht.
NACHTRAG: Aber eine blöde Gleichung 3. Grades.
Die 2 positive Lösungen für x hat. Es gibt also 2 Quader, die die Bedingung erfüllen.
Gruß vom 1/4
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 10.05.2007 16:33:25 ]
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Methos
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-10
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Also irgendwie check ich das jetzt gar nicht mehr.
ich setze ja dann y = 175/(36x^2) oder???
und wenn ich dann das für f(x) einsetze bekomme ich wie du sagst eine Gleichung 3ten Grades raus, nämlich : 0 = -504/5 x^3 + 252x -175 . Aber die hat nur eine reelle Lösung, die negativ ist. Was hab ich falsch gemacht?
Gruß
Methos
Sorry, habe falsch gerechnet. muss natürlich 252x^2 sein.
[ Nachricht wurde editiert von Methos am 10.05.2007 22:58:49 ]
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viertel
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| Beitrag No.8, eingetragen 2007-05-11
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Schreib doch mal in ganzen Sätzen und vollständig auf, was Du rechnest.
Bei so Bruchstücken weiß doch kein Mensch, wo Du Dich unterwegs vergallopiert hast.
So kann ich Dir nur sagen, daß Deine kubische Gleichung falsch ist.
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Methos
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|  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-11
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Sicher, dass du die verbesserte kubische Gleichung meinst???... also inzwischen bin ich nämlich auf die Ergebnisse gekommen, die du genannt hast. Denke, dass das jetzt alles so passt. Vielen Dank für die Hilfe.
Methos
P.S. noch ein Tipp für die Zukunft. Es ist sinnvoll, die Ergebnisse zu posten, damit man überhaupt vergleichen kann, ob man richtig gerechnet hat. So gehe ich einfach mal davon aus, dass ich die richtigen habe, weil ich ebenfalls ein negatives und zwei positive raushabe. 
[ Nachricht wurde editiert von Methos am 11.05.2007 08:13:51 ]
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viertel
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| Beitrag No.10, eingetragen 2007-05-11
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Wenn Du schon einen Post korrigierst, dann korrigier doch gleich die Formel (und schreib dazu, daß Du was korrigiert hast) und schreib nicht in einem Zusatz, was zu korrigieren ist.
Deine korrigierte Formel lautet also
0 = -504/5 x^3 + 252x^2 -175
Und mein Ergebnis ist
- 168*x^3/5 + 84*x^2 - 175/3 = 0
Sind also beide gleich, auch wenn man es nicht auf den ersten Blick sieht \(was mir leider passiert war\). Aber ich hatte Deine unkorrigierte Formel aufgelöst, und da kamen halt die falschen Nullstellen raus.
Und der Hase läuft andersrum:
nicht wir posten Lösungen/Ergebnisse (damit sie einfach nur abgeschrieben werden können, so "Spezialisten" gibt es hier immer wieder), sondern Du postest, was Du hast, und wir schauen drüber, ob es paßt.
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Methos
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-11
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Wieso sollte ich sie einfach abschreiben??? Es ging mir doch um den Lösungsweg!!!! Nein ich meine, es ist so, dass ich ansonsten ja ne Antwort schreib, ihr sagt, falsch, ich die nächste, ihr sagt wieder falsch, etc etc. Da ist es doch sinnvoll, wenn ich die Lösung kenne, die rauskommen muss, da ich dann gleich nochmal von vorne überprüfen kann, wenn meine Lösung nicht die richtige ist und so viel schneller auf den richtigen Rechenweg komme.
Weil es ist halt sehr aufwendig zig mal den Rechenweg hier reinzuschreiben mit der berechneten Lösung.
Naja, ich denke ihr wisst schon, was sinnvoll ist, ihr seid sicher schon länger dabei als ich :-)
Bin wahrscheinlich eher die Ausnahme.
Trotzdem noch schönes WE
Gruß
Methos
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viertel
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| Beitrag No.12, eingetragen 2007-06-03
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Auch wenn hier schon abgehakt war, schreib ich nochmal was dazu:
Meinst Du, es ist nur für Dich Arbeit, einen Lösungsweg zu posten?
\quoteon(Methos)
und [ich] so viel schneller auf den richtigen Rechenweg komme.
\quoteoff
Natürlich, brauchst ja nur abzuschreiben. Ich weiß, daß das nicht Deine Absicht ist, aber Du lernst so nur wenig bis gar nix. Denn etwas Aufgeschriebenes nachzuvollziehen ist oft Kinderkram. Selbst drauf kommen ist die Kunst! Und dabei darf/muß man auch Fehler machen.
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Methos
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-04
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Es ist keine soo große Arbeit den Lösungsweg zu posten.
Allerdings wäre der ja falsch gewesen. Dann krieg ich einen Tipp was ich beachten soll, und poste nochmal den ganzen Weg, dann wieder ein kleiner Fehler, etc. etc.
Außerdem, wenn ich selbst draufgekommen wäre hätte ich ja nicht gefragt, ich hab ja nicht um den vollständigen Lösungsweg gebeten, sondern nur um die Ergebnisse, die ich dann sofort vergleichen kann und sehe ob richtig oder falsch und dann kann ich nochmal ansetzen, wenn ich aber hier schreibe muss ich ja wieder warten bis rotes oder grünes Licht kommt.
Sei es wie es sei, ich habs ja jetzt verstanden, wie man an solche Aufgaben rangeht.
Da ich aber anscheinend viele Leute mit meiner Fragerei aufgeregt bzw. genervt habe (sonst würde ja nicht noch Wochen danach an meine Moral appelliert werden), möchte ich mich dafür entschuldigen. War nicht meine Absicht solchen Unmut auf mich zu ziehen. Ich hoffe, das hat keine Auswirkungen, wenn ich mal in Zukunft ne Frage hab.
Gruß
Methos
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